21.3实际问题与一元二次方程（第3课时几何问题）（培优教学课件）数学人教版九年级上册

人教版·九年级上册 21.3 实际问题与一元二次 方程（第3课时 几何问题） 第二十一章 一元二次方程 学 习 目 标 1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程. 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识. a h a a a b a h h a b r 如图，请计算下列图形的面积. S=ah S=a2 S=ab S=ah S=(a+b)h S= r2 复习引入 探究 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周彩色的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？ 分析：这本书的长宽之比_________,正中央的矩形长宽之比_____，上下边衬与左右边衬之比______. 27:21=9:7 9:7 9:7 设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是： (27-9a):(21-7a)=9(3-a):7(3-a)=9:7 互动新授 解：设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm，根据题意，列出方程: 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三. (27-18x)(21-14x)=27×21 整理，得 16x2-48x+9=0 解得x1=(舍去) 所以9x=1.8 cm，7x=1.4 cm 答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm. 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试. 互动新授 解：设中央的矩形的长、宽分别为9ycm、7ycm，根据题意，列出方程： 9y·7y=27×21 整理，得y2= 解得y1=(不合题意，舍去) 答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm. 互动新授 例1 在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为xm，且x＜20. 可列方程 (32-x)(20-x)=540， 解得x1=50(舍去)，x2=2. 答：道路的宽为2m. x 20-x 32-x 看作将道路平移至矩形两边 典例精析 分析：设AB长为x米．则BC长为_______米； 例2 如图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m. (1)若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽； (2)若墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ (3)能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由． 35-2x A B C D 解：(1)设AB=xm，则CD=xm,BC=(35-2x)m 依题意可列方程为x·(35-2x)=150， 整理，得-2x2+35x-150=0. 解这个方程，得x1=7.5，x2=10. 当AB=7.5m时，BC=20m，当AB=10m时，BC=15m. 答：这个长方形鸡场的长与宽分别为20m，7.5m或15m，10m； 典例精析 例2 如图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m. (1)若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽； (2)若墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ (3)能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由． A B C D 解：(2)当墙长为18 m，BC=20 m时， 18 m＜20 m 不合题意，舍去. 所以此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m，10m； 18m 典例精析 解：(3)设AB=ym，则BC=(35-2y)m． 依题意可列方程为 y·(35-2y)=160， 整理，得 -2y2+35y-160=0. 此时 Δ=352－4×(-2)×(-160)=1225－1280＜0， 原方程没有实数根， 所以，用35 m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场． 例2 如图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m. (1)若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽； (2)若墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ (3)能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由． A B C D 典例精析 1.如图所示，在一幅长80 cm，宽50 cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如果要使挂图的总面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是(　　) A.x2＋130x-1400=0 B.x2-65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2＋65x-350=0 D 小试牛刀 1.现要在一个长为40 m，宽为26 m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864 m2，那么小道的宽度应是(　　) A．1 m B．2 m C．2.5 m D．3 m B 课堂检测 解:设剪去的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体盒子的底面长为(10-2x)cm，宽为(8-2x) cm， 依题意，得(10-2x)(8-2x)=24， 解得x=2或x=7(不合题意，舍去)． ∴剪去的小正方形的边长为2 cm. 2.如图，一块矩形铁皮的长为10 cm，宽为8 cm，现在它的四个角上剪去四个相同的小正方形，做成底面积为 24 cm2的无盖的长方体盒子，求剪去的小正方形的边长. 课堂检测 1.如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为80m2？ 解：设矩形鸡场AB长为xm，则BC长为(25-2x+1)m. 由题意得 x(25-2x+1)=80， 解得 x1=5，x2=8. 当x=5时，26-2x=16>12(舍去)； 当x=8时，26-2x=10<12. 故所围矩形鸡场的长为10m，宽为8m. A B C D 1 m 拓展训练 解:（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米， 依题意列方程得：（60﹣x+2）x=300， 解这个方程得：x1=12，x2=50， ∵28＜50，∴x2=50（不合题意，舍去）， ∴x=12． 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米. 2.如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m． (1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米； (2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由． 拓展训练 2.如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m． (1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米； (2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由． （2）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米， 依题意列方程得：（60﹣x+2）x=500， △=622-4000=-156＜0， 则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园． 答：不能围成500平方米的矩形花园． 拓展训练 几何图形与一元二次方程问题 列方程依据 常见几何图形面积是等量关系. 常见类型 长宽比例问题 小路宽度问题 一边靠墙围成的区域面积 课堂小结 1.如图，在宽为20米，长为30米的长方形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积为551平方米，则修建的道路的宽应为(　　) A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 A 课后作业 解:设AB长为x m，则BC长为(50-2x)m. 根据题意，得x(50-2x)=300. 解得 x1=10，x2=15. 当x=10时，AD=BC=50-2x=30>25，不合题意，所以x=10应该舍去． 当x=15时，AD=BC=50-2x=20<25，所以x=15满足条件． 答：AB的长为15 m. 2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长． 课后作业 1.如图，在长方形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度运动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t s. (1)问几秒后△PBQ的面积等于8 cm2? (2)是否存在t使△PDQ的面积等于26 cm2? 解：(1)∵AP=t cm，QB=2t cm，∴PB=(6-t)cm. ∴×(6-t)×2t=8，解得t1=2，t2=4. 答：2s或4s后△PBQ的面积等于8cm2. 培优作业 (2)是否存在t使△PDQ的面积等于26 cm2? 解：(2)假设存在t使△PDQ的面积为26 cm2， 则6×12-6t-t(6-t)-3(12-2t)=26， 整理得，t2-6t＋10=0， ∵b2－4ac=36-4×1×10=-4＜0， ∴原方程无解， 答：不存在t使△PDQ的面积等于26 cm2. 培优作业 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$