21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（培优教学课件）数学人教版九年级上册

人教版·九年级上册 21.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系 第二十一章 一元二次方程 学 习 目 标 1.掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算. 3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊-一般-特殊的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神. 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 3.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？ b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根. b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根. b2-4ac<0时,方程无实数根. ax2+bx+c=0（a≠0） 复习引入 解下列方程并完成填空： (1)=0 (2)2−2 =0 (3)2 2+3 -2=0. 方程 两根 两根和 x1+x2 两根积 x1x2 x1 x2 x2−2x=0 2x2+3x-2=0 3 4 12 7 0 2 2 0 -2 -1 - 思考：观察方程的系数与两根的和与积有什么联系？ 互动新授 思考 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0   互动新授 x2 + p x + q = 0 x2 - (x1+x2)x + x1x2 = 0   这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.   于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： (x1+x2)=-p，x1x2=q. 互动新授 思考 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 根据求根公式可知， x1+x2= + =-=- x1x2 = ×== 即： x1+x2=-，x1x2= . 互动新授 因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： x1+x2=-，x1x2= . 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 如果把上述方程ax2+bx+c=0（a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？ 互动新授 ax2 + bx + c = 0（a≠0） x2 + x + = 0 x2 - (x1+x2)x + x1x2 = 0   x1+x2=-，x1x2= . 注意：(1)不是一般式的，要化成一般式. (2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0. 互动新授 例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 分析：考查对根与系数x1+x2=-，x1x2=的应用. 解:(1)a=1，b=-6，c=-15. Δ=b2 -4ac=(-6)2-4×1×(-15)=96>0. ∴方程有两个实数根. ∴x1+x2=-=6,x1x2==-15. 典例精析 (2)a=3，b=7，c=-9. Δ=b2 -4ac=72-4×3×(-9)=157>0. ∴方程有两个实数根. ∴x1+x2=-=-,x1x2==-3. 例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 典例精析 (3)方程化为一般形式为4x2-5x+1=0 a=4，b=-5，c=1. Δ=b2 -4ac=(-5)2-4×4×1=9>0. ∴方程有两个实数根. ∴x1+x2=-= , x1x2==. 例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 典例精析 例5 已知方程2x2-8x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1+x2=1+x2=4， 即：x2=3. 由于x1•x2=1×3=, 得：m=6. 答：方程的另一个根是3，m=6. 典例精析 1.设x1、x2为方程x2+4x-5=0的两个根，则: （1）x1+x2= , （2) x1·x2= , （3) = , （4) ， -4 -5 26 -8 小试牛刀 1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ 　） A．﹣2 B．1 C．2 D．0 2.知实数 a，b 分别满足 a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且 a≠b， 则 的值是( ) A. B. C. D. D A 课堂检测 3.不解方程，求下列方程两根的和与积： (1)x2-2x=13 (2)3x2+2=1-6x (3)7x2-4=6x2+2x (4)2x2-2x+2=4x+6 解：(1)方程化为x2-2x-13=0. x1+x2=-(-2)=2，x1x2=-13. (2)方程化为3x2+6x+1=0. x1+x2=-2，x1x2=. (3)方程化为x2-2x-4=0. x1+x2=-(-2)=2，x1x2=-4. (4)方程化为2x2-6x-4=0. x1+x2=-=3，x1x2=-2. 课堂检测 解:（1）， ∵，∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，， ∵，∴，∴， 解得：，，∴，即m=． 1.已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 拓展训练 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么 x1+x2=-，x1x2=. 课堂小结 1.如果-1是方程2x2-x+m=0的一个根，则另一个根是 ，m = . 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= . 1 -2 -3 课后作业 解:（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式，解得k>． （2）解：由题意得：，解得或， 由（1）已得：k>，则的值为2． 1.已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围；(2)若，求k的值． 培优作业 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$