第04讲 解三角形（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 解三角形 目录 01 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1正弦定理 4 知识点2 余弦定理 4 知识点3 三角形面积公式 5 知识点4 常用结论 5 题型破译 6 题型1 正弦定理解三角形 6 【易错分析】易忽视三角形解的个数 题型2 余弦定理解三角形 6 题型3 三角形解个数问题 7 【方法技巧】三角形的解的个数 题型4 判断三角形形状 8 题型5 三角形周长问题 8 题型6 三角形面积问题 10 题型7 三角形最值问题 12 题型8 三角形中线问题 14 【方法技巧】三角形中线方法 题型9 三角形角平分线问题 16 【方法技巧】三角形角平分线方法 题型10 三角形实际应用 19 04真题溯源·考向感知 21 05课本典例·高考素材 22 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）掌握正、余弦定理及其变形 （2）理解并应用三角形面积公式 （3）解决三角形度量相关问题 单选题 填空题 解答题 北京卷T16（13分） 北京卷T16（13分） 北京卷T7（4分） 考情分析： 解三角形是北京卷数学的核心考点，每年必考1题，主要以选择题、中档解答题形式呈现。高频考查正弦定理、余弦定理及面积公式，涉及边角互化、判断三角形形状、多解问题等基础内容。 复习目标： 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 3.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 4.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题. 知识点1正弦定理 1正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 2正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 自主检测在中，已知，，，则为（    ） A． B． C． D． 知识点2 余弦定理 1余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 2余弦定理的推论 ； ； 自主检测在中，三个内角，，的对边分别为，，.若，则 . 知识点3 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 自主检测在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 知识点4 常用结论 在三角形中的三角函数关系 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥若 ⑦若或 题型1 正弦定理解三角形 例1-1记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 例1-2在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则 . 易错分析 易忽视三角形解的个数 两边和其中一边的对角，若用正弦定理求角,会有多解的情况。这是由于正弦函数在在区间内不严格单调，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。 【变式训练1-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型2 余弦定理解三角形 例2-1在中，满足，则（    ） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 例2-2的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的面积． 【变式训练2-1】在中，已知，，的周长为9，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知的三个内角A，，的对边分别为，，．若，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】在中，，，锐角C满足， 题型3 三角形解个数问题 例3-1已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3-2如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 方法技巧 三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【变式训练3-1】在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 【变式训练3-2】在中，角的对边分别为，则的解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练3-3】在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 题型4 判断三角形形状 例4-1在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 例4-2设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练4-1】在中，若对任意恒成立，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定 【变式训练4-2】在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式训练4-3】已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型5 三角形周长问题 例5-1在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长． 例5-2在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，的面积为，求的周长． 【变式训练5-1】已知的三个角的对边分别为，且. (1)求； (2)的边上的高为，，求的周长. 【变式训练5-2】在中，内角所对的边分别为，已知，，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长 【变式训练5-3】在中， 内角所对的边分别为， 已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 题型6 三角形面积问题 例6-1已知的内角，，所对的边分别为，，，且 (1)求； (2)若，为的角平分线，且，求的面积． 例6-2在中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知． (1)问：中是否必有一个内角为钝角，说明理由； (2)从下列四个条件中选取三个，使得存在，并求出的面积． ①；②；③；④． 【变式训练6-1】在中，. (1)求的大小； (2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使存在，求的面积. ①，②，③. （注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分） 【变式训练6-3】在中，. (1)求的值； (2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练6-4】在中， (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求 的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 题型7 三角形最值问题 例7-1在中，角，，所对的边分别为，，，，． (1)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积； 条件①：； 条件②：； 条件③：． (2)若，求周长的取值范围． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 例7-2在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的周长； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 【变式训练7-1】设向量，.函数. (1)求的单调增区间； (2)求在上的零点； (3)在中，若，且边，直接写出周长的取值范围. 【变式训练7-2】已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． (1)求角A的大小； (2)若，求周长的最大值． 【变式训练7-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①，②，③，，. (1)求角C； (2)若，求周长的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 题型8 三角形中线问题 例8-1在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 例8-2已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若， ①求周长的取值范围； ②若为边上的中线，，求的面积． 例8-3在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 方法技巧 三角形中线方法 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式训练8-1】在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 【变式训练8-2】已知函数，且. (1)求a的值和函数的最小正周期； (2)求不等式的解集； (3)在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长. 【变式训练8-3】设的内角、、的对边分别为、、，已知、 (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 题型9 三角形角平分线问题 例9-1已知，，分别为角，，的对边，. (1)求； (2)若，，点在边上，且是的角平分线，求. 例9-2已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 方法技巧 三角形角平分线方法 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 1内角平分线定理： 核心技巧：或 2等面积法 核心技巧 3角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式训练9-1】已知在中，角所对的边长分别为，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）________． (1)求； (2)若，的角平分线与相交于点D，且，求的面积． 【变式训练9-2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 【变式训练9-3】已知的内角的对边分别是，已知. (1)求角的大小； (2)若为上一点，且，为的角平分线，求线段的长. 题型10 三角形实际应用 例10-1文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 例10-2人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． (1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； (2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 【变式训练10-1】，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 【变式训练10-2】如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点．现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/h，该救援船到达D点需要 h． 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 1．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是 A． B． C． D． 2．在中，，，，则 A． B． C． D． 3．在中，，，，是边上的一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，，求的长．（精确到0.001） 5．为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为，前进 后，到达B处测得塔尖的仰角为，试计算东方明珠塔的高度．（精确到，，，）    6．如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）    4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 解三角形 目录 01 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1正弦定理 4 知识点2 余弦定理 4 知识点3 三角形面积公式 5 知识点4 常用结论 6 题型破译 6 题型1 正弦定理解三角形 6 【易错分析】易忽视三角形解的个数 题型2 余弦定理解三角形 8 题型3 三角形解个数问题 9 【方法技巧】三角形的解的个数 题型4 判断三角形形状 12 题型5 三角形周长问题 14 题型6 三角形面积问题 17 题型7 三角形最值问题 22 题型8 三角形中线问题 28 【方法技巧】三角形中线方法 题型9 三角形角平分线问题 34 【方法技巧】三角形角平分线方法 题型10 三角形实际应用 38 04真题溯源·考向感知 43 05课本典例·高考素材 47 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）掌握正、余弦定理及其变形 （2）理解并应用三角形面积公式 （3）解决三角形度量相关问题 单选题 填空题 解答题 北京卷T16（13分） 北京卷T16（13分） 北京卷T7（4分） 考情分析： 解三角形是北京卷数学的核心考点，每年必考1题，主要以选择题、中档解答题形式呈现。高频考查正弦定理、余弦定理及面积公式，涉及边角互化、判断三角形形状、多解问题等基础内容。 复习目标： 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 3.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 4.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题. 知识点1正弦定理 1正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 2正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 自主检测在中，已知，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，由正弦定理得， 而，即，所以. 故选：A 知识点2 余弦定理 1余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 2余弦定理的推论 ； ； 自主检测在中，三个内角，，的对边分别为，，.若，则 . 【答案】/0.25 【详解】因为， 则. 故答案为：. 知识点3 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 自主检测在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，在中，，，， 则的面积为. 故选：C. 知识点4 常用结论 在三角形中的三角函数关系 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥若 ⑦若或 题型1 正弦定理解三角形 例1-1记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由三角形内角和可得， 由正弦定理可得，解得. 故选：D. 例1-2在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则 . 【答案】 【详解】由正弦定理得， 又，，，所以， 其中，，故为锐角，所以. 故答案为： 易错分析 易忽视三角形解的个数 两边和其中一边的对角，若用正弦定理求角,会有多解的情况。这是由于正弦函数在在区间内不严格单调，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。 【变式训练1-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理，得， 又，则有，所以. 故选：B 【变式训练1-2】在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为、，故，所以，可得，故. 故选：B. 【变式训练1-3】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 因为，所以，可得，解得. 因为，，所以. 由正弦定理得，故，解得. 故选：C 题型2 余弦定理解三角形 例2-1在中，满足，则（    ） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 【答案】D 【详解】， 又，故. 故选：D 例2-2的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由余弦定理， 因，则得． （2）因，由余弦定理， 可得：，即， 解得或（舍）， 所以． 【变式训练2-1】在中，已知，，的周长为9，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，，的周长为9，则， 则， 又，则. 故选：C. 【变式训练2-2】已知的三个内角A，，的对边分别为，，．若，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】, 则由余弦定理，. 故选：B 【变式训练2-3】在中，，，锐角C满足， 【答案】 【详解】由，且为锐角，得， 由余弦定理，得，解得， 由余弦定理得. 故答案为： 题型3 三角形解个数问题 例3-1已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. 例3-2如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 方法技巧 三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【变式训练3-1】在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：因为， 所以，， 所以有，即， 所以， 所以三角形为钝角三角形，只有一个解. 故选：A. 【变式训练3-2】在中，角的对边分别为，则的解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】因为，， ， 因为，所以， 所以的值有两个， 即的解有2个， 故选：C 【变式训练3-3】在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 题型4 判断三角形形状 例4-1在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【详解】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 例4-2设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 【变式训练4-1】在中，若对任意恒成立，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定 【答案】B 【详解】,两边平方得到：， 因为若对任意恒成立，所以， 即 化简不等式得： ， 由余弦定理得：，化简得：， 所以，为直角三角形. 故选：B 【变式训练4-2】在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【变式训练4-3】已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 题型5 三角形周长问题 例5-1在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 因为，则， 故． （2）∵，且, ∴， ∵，， ∴，解得， ∵，∴， ∴， ∴. （3）∵，∴， 由余弦定理得， ∴， 又，∴，则， ∴， 于是的周长． 例5-2在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 所以，又， 所以； （2）因为，的面积为， 则，解得，所以的周长为. 【变式训练5-1】已知的三个角的对边分别为，且. (1)求； (2)的边上的高为，，求的周长. 【答案】(1) (2)28 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 因为，且， 所以，即， 又因为，则， 所以，解得. （2）由题意结合正弦定理得， 不妨设，则， 由余弦定理得， 解得，由三角形面积公式得， 得到，解得. 故，即的周长为28. 【变式训练5-2】在中，内角所对的边分别为，已知，，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长 【答案】(1) (2)18 【详解】（1）由，，且，得， 在中，由正弦定理得， 整理得，而，则，又， 所以. （2）由的面积为，得，即， 由余弦定理得，解得， 所以的周长. 【变式训练5-3】在中， 内角所对的边分别为， 已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由正弦边角关系，， 所以， 所以，，可得. （2）由（1）知，又, 则，，则， 由余弦定理， 所以的周长为. 题型6 三角形面积问题 例6-1已知的内角，，所对的边分别为，，，且 (1)求； (2)若，为的角平分线，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，， 因为， 所以， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以． （2）因为为的平分线，则， 因为， 则， 即，化简得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得， 所以的面积． 例6-2在中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知． (1)问：中是否必有一个内角为钝角，说明理由； (2)从下列四个条件中选取三个，使得存在，并求出的面积． ①；②；③；④． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)选①③④， 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 在中，， ， 所以不等式整理为， 即，因为， 所以，所以B为钝角； （2）若满足①②，由B为钝角，则A，C为锐角， 及，可得， 所以不符合B为钝角，故①②不同时成立， 所以③④两个条件必选， 由③④可知，所以，所以②不成立，因此选①③④： 由正弦定理可得， 即，所以，又，所以，在三角形中，， 所以或，而由（Ⅰ）可得， 所以可得； 所以； 所以． 【变式训练6-1】在中，. (1)求的大小； (2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使存在，求的面积. ①，②，③. （注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由正弦定理，， . ，故. （2）①不存在； ②， 故. 由有，故. 故. ③由余弦定理，， 于是，解得（负值舍去）. 因为，所以， .解得（负值舍去）. 故. 【变式训练6-3】在中，. (1)求的值； (2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由可得， 由余弦定理可得，即，因此； 又，可得 （2）若选择条件①：； 由余弦定理可得， 整理可得，此时，该方程无实数根， 即条件①使不存在； 若选择条件②：； 由正弦定理可得， 联立，解得； 由可得，即， 解得或（舍）， 此时条件②使存在且唯一，符合题意； 所以其面积为 若选择条件③： 易知， 利用正弦定理可得， 由可得，即， 解得或（舍）， 此时条件③使存在且唯一，符合题意； 所以其面积为. 【变式训练6-4】在中， (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求 的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由正弦定理有：，又， 所以，又，所以，所以， 所以； （2）由（1）有，，由余弦定理有：， 条件①：， 由正弦定理有：，又有， 所以，又，所以有两个解，不满足题意； 条件②：， 由正弦定理有：，又有，又， 所以有唯一解，当时，由有，解得， 所以； 条件③：， 由，又由正弦定理得， 由条件②即可求解. 题型7 三角形最值问题 例7-1在中，角，，所对的边分别为，，，，． (1)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积； 条件①：； 条件②：； 条件③：． (2)若，求周长的取值范围． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）选条件①：，由正弦定理得， 即，解得， 故无解，所以不存在； 选条件②：，由余弦定理得， 则，解得或， 当时，； 当时，. 选条件③：，则， 由正弦定理得，则， 又 ， 所以. （2）由，则，则为钝角， 因为，所以， 又， 则的周长为 ， 因为，所以，则， 所以， 即周长的取值范围为． 例7-2在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的周长； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理得，所以， 所以，由余弦定理，， 因，则. （2）由余弦定理，，即， 又，由条件知，所以， 所以，，. 所以周长为. （3）由可得： 由正弦定理，，即得：， 则 由为锐角三角形可得，，解得：， 则，，故得， 即面积的取值范围为. 【变式训练7-1】设向量，.函数. (1)求的单调增区间； (2)求在上的零点； (3)在中，若，且边，直接写出周长的取值范围. 【答案】(1)， (2)或或或或 (3) 【详解】（1）， 令，解得，， 因此单调增区间为，. （2），即， 因为，所以，所以或或或或， 解得或或或或，所以在上的零点为或或或或； （3）由（1）知，，所以， 又因为，所以，由正弦定理， 所以，， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 即，所以周长的取值范围为. 【变式训练7-2】已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． (1)求角A的大小； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)12 【详解】（1）， ，                                    则，                                                               ，， 又，； （2），， 由余弦定理得，                                            即，， 所以,（当且仅当时取“＝”），                       故，，                                                         的最大值为8，的最大值为12， 周长的最大值为12． 【变式训练7-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①，②，③，，. (1)求角C； (2)若，求周长的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选① 由正弦定理及，， 又， ，，又，. 选② 由，， 即，. ，，，. 选③ ，... 化简得，. 又，. （2）由余弦定理得， 又，当且仅当时等号成立. ，，当且仅当时等号成立. .又，. 周长的取值范围为. 题型8 三角形中线问题 例8-1在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，结合正弦定理得， 因，则，则， 若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则， 因为AC边上的中线，则， 则 ， 则. 故选：C 例8-2已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若， ①求周长的取值范围； ②若为边上的中线，，求的面积． 【答案】(1) (2)① ；② 【详解】（1）法一：由正弦定理得． 从而，即， 又中，∴， 又，所以． 法二：由余弦定理得， 化简得， 则， 又，所以． （2）(ⅰ)法一：由正弦定理得， 则，，∵，∴． 的周长为 ． 又∵，∴，故， ∴周长的取值范围是． 法二：由余弦定理得， 所以． ∵，∴， ∴(当且仅当时取得等号)． 又∵， ∴周长的取值范围是． (ⅱ)在中，由余弦定理得，即． 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得． ∵，∴，∴． 所以，． 例8-3在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即. （2）因为， 即. 则， 因为， 所以. （3）因为，由余弦定理知：， ， 即， ， 故， 解得：或. 方法技巧 三角形中线方法 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式训练8-1】在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数值得，解得（舍去）或， 因为是的中点，所以， 所以， 所以，即边上的中线的长为. 【变式训练8-2】已知函数，且. (1)求a的值和函数的最小正周期； (2)求不等式的解集； (3)在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长. 【答案】(1)，. (2)，. (3)， 【详解】（1）因为. 由. 所以. 所以函数的最小正周期为：. （2）由，. ，. 所以不等式的解集为，. （3）因为，所以. 由题意：，所以， 所以. 如图： 设，，， 在中，由余弦定理得：① 在中，由余弦定理得：② ①②得：. 在，由余弦定理得：. 所以，因为，所以. 所以，即. 【变式训练8-3】设的内角、、的对边分别为、、，已知、 (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由及正弦定理得: ， 即， 因为，则，即， 可得，故． （2）在中，由余弦定理可得， 所以， 因为为边上的中线，所以， 所以． ，故 题型9 三角形角平分线问题 例9-1已知，，分别为角，，的对边，. (1)求； (2)若，，点在边上，且是的角平分线，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. 可化为. 所以 由正弦定理可得， 由余弦定理可得：，所以：. （2）三角形如图所示. 由是的角平分线得， 法一：， 又， 所以. 法二：因为， 所以. . 例9-2已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，，由D为BC中点，得，而， 所以. （3）由的面积为，得，解得， 由为内角的角平分线，得， 由，得， 因此，，当且仅当时取等号， 所以线段AD长的最大值为. 方法技巧 三角形角平分线方法 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 1内角平分线定理： 核心技巧：或 2等面积法 核心技巧 3角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式训练9-1】已知在中，角所对的边长分别为，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）________． (1)求； (2)若，的角平分线与相交于点D，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若选①， ， 由正弦定理得， 由，得，即， 又，所以； 若选②， ，得， 由余弦定理得， 又，所以. （2）因为平方，则， 又， 即， 整理得，得； 又， 得，即， 则，解得或（舍去）， 所以的面积为. 【变式训练9-2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又， 所以. （2）因为，， 所以由余弦定理得， 即， 所以， 即（当且仅当时，等号成立）， 因为， 所以，解得， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立）， 所以长度的最大值为. 【变式训练9-3】已知的内角的对边分别是，已知. (1)求角的大小； (2)若为上一点，且，为的角平分线，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 故，故即， 因，故 （2） 由角平分线定理得：，则， 在中，由余弦定理得：，得， 由得：， 得. 题型10 三角形实际应用 例10-1文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，设， 则， 又， 所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 故选：B. 例10-2人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． (1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； (2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 【答案】(1)答案见解析 (2)不能捕猎成功，原因见解析 【详解】（1）由题意作图如下： 则，， ，． 由正弦定理，可得． 因此或120°， 当时，，猎豹与羚羊之间的距离为， 当，，猎豹与羚羊之间的距离为. （2）由题意作图如下： 设捕猎成功所需的最短时间为t， 在中，，，，． 由余弦定理得：． 整理得：． 设，显然， 因猎豹能坚持奔跑最长时间为，且． ∴猎豹不能捕猎成功． 【变式训练10-1】，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 【答案】C 【详解】过点作⊥于点， 在中，，，设，则， 所以，解得（海里）， 所以，故， 在中，，，， 由余弦定理得， 故（海里）， 故该救援船到达点所需的最短时间为（小时）. 故选：C 【变式训练10-2】如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 因为，，所以， 又，所以，所以， 在中，， 所以山高. 故选：A 【变式训练10-3】如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点．现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/h，该救援船到达D点需要 h． 【答案】 【详解】由题意，， ， 在中，由正弦定理得， 所以. 又,， 所以在中，由余弦定理得 ，所以. 该救援船到达D点需要. 故答案为：. 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 3．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6 (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 1．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，，， 由正弦定理得：， 又为三角形的内角， ， 故只有一解，本选项不合题意； 、，，， 由正弦定理得：， 又为钝角，为锐角， 故的度数只有一解，本选项不合题意； 、，，， 由正弦定理得：， 又为钝角，为锐角， 故的度数只有一解，本选项不合题意； 、，，， 由正弦定理得：， ，，即， 则满足题意的有两解，本选项符合题意， 故选：． 2．在中，，，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意有，由余弦定理得，由正弦定理得. 3．在中，，，，是边上的一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图 由题意可知；， 所以由正弦定理得：， 在中，由余弦定理可知， ． 所以． 故选：C． 4．在中，，，，求的长．（精确到0.001） 【答案】11.148 【详解】由题意可知，因为， 且， 所以, 由正弦定理得， 所以. 5．为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为，前进 后，到达B处测得塔尖的仰角为，试计算东方明珠塔的高度．（精确到，，，）    【答案】 【详解】    根据题意作出图形如图，由已知得，，，， 在中，由正弦定理可得，则， 在直角中，， 即东方明珠塔的高度约为. 6．如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）    【答案】 【详解】由题可知，，，， 设乙船速度为，则. 于是在中，由正弦定理可得：， 即，解得， 所以，乙船的航行速度大约是.    4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$