专题练习：抽象函数的周期性与对称性-2026届高三数学一轮复习

专题练习——抽象函数的对称性与周期性 【归纳总结】函数对称性的判断方法 1. 平移得对称 是偶函数关于直线对称， 是奇函数关于对称 2. 由式子关系特点得对称——“和为常数有对称” ①轴对称：自变量互为相反数，函数值相等。 如f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． ②中心对称：自变量互为相反数，函数值互为相反数（和为定值）。 如，则函数关于点对称． 3. 根本：换元法，回到定义 【归纳总结】函数周期性的判断方法 1.由对称性得周期 ①两点：（a,0）,（b,0）→ 周期T= ②两轴：直线x=a,直线x=b → 周期T= ③一点一轴：（a,0）,直线x=b → 周期T= 2.由式子关系特点得周期——“差为常数有周期” 常用结论： f(x)＝f(x+a) → 周期T= f(x+a)＝f(x+b) → 周期T= f(x+a)+f(x+b)=c → 周期T= f(x+a)= → 周期T= 3.根本：换元法、递推法 ①递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a. ②换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． （一）平移得对称 1．（25四川成都高三下联考）已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 3．（24浙江高一下联考）（多选）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数是周期函数 4．（24黑龙江高一上期中）（多选）已知函数的定义域为，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集不正确的为（   ） A． B． C． D． 5．（24湖南邵阳高三下冲刺卷）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． （二）由式子关系得对称性 6．（25江西宜丰高一下月考）定义在上的函数满足，且对任意的，，都有，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24江苏徐州高一上期末）（多选）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（   ） A．是以2为周期的函数 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D． 8．（25辽宁盘锦高三下联考）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 9．（25山东泰安高三适应考试）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 10．（25河南高三下模拟）（多选）已知函数定义域为，函数是的导函数，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 11．（24河南南阳高一上联考）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数有3个零点 D．当时， 12．（25安徽黄山高三上月考）已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，都有成立．若m，n是关于x的方程的两个不等实根，则关于t的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 13．（24湖南娄底高一上期末）已知函数是定义上的偶函数，且，若在区间上是减函数，则（   ） A．在区间上是增函数，在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 （三）对称性一般推导 14．（25新高考测评卷）（多选）已知定义在上的函数和满足，则（    ） A．若为奇函数，则的图象关于点对称 B．若为偶函数，则的图象关于直线对称 C．若为偶函数，则的图象关于直线对称 D．若为奇函数，则 15．（25安徽合肥高三下模拟）（多选）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 16．（25江西南昌高二下期末）已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（   ） A． B．为奇函数 C．的周期为 D．的值域为 17．（25内蒙古高二下期末）（多选）已知函数的定义域为，且，，，则下列四个结论正确的是（   ） A．8是的周期 B．图象关于直线对称 C． D． 18．（25湖北黄冈高二下期末）（多选）已知函数的定义域均为是奇函数，且满足 ，则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数是周期为4的函数 D． （四）周期性 19．（24江苏徐州高三下模拟）若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 20．（25山东临沂高三下模拟）（多选）已知定义在上的函数满足，，且，则（    ） A．的最小正周期为4 B． C．函数是奇函数 D． 21．（25新高考模拟卷）定义在上的函数满足，，若，则等于（    ） A．50 B． C．100 D． 22．（24安徽江淮高三上联考）已知函数满足，且，则（    ） A． B． C．0 D．2024 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$专题练习——抽象函数的对称性与周期性 【归纳总结】函数对称性的判断方法 1. 平移得对称 是偶函数关于直线对称, 是奇函数关于对称 2. 由式子关系特点得对称——“和为常数有对称” ①轴对称:自变量互为相反数,函数值相等。 如f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称. f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称. ②中心对称:自变量互为相反数,函数值互为相反数(和为定值)。 如,则函数关于点对称. 3. 根本:换元法,回到定义 【归纳总结】函数周期性的判断方法 1.由对称性得周期 ①两点:(a,0),(b,0) 周期T= ②两轴:直线x=a,直线x=b 周期T= ③一点一轴:(a,0),直线x=b 周期T= 2.由式子关系特点得周期——“差为常数有周期” 常用结论: f(x)=f(x+a) 周期T= f(x+a)=f(x+b) 周期T= f(x+a)+f(x+b)=c 周期T= f(x+a)= 周期T= 3.根本:换元法、递推法 ①递推法:若f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以周期T=2a. ②换元法:若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,x=t+a,则f(t)=f(t+2a),所以周期T=2a. (一)平移得对称 1.(25四川成都高三下联考)已知是定义在上的函数,则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用函数对称性的定义、奇偶性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若函数的图象关于点成中心对称图形,且函数的定义域为, 则,即, 设,则函数的定义域为, 则,即函数为奇函数, 因此,“的图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选:C. 2.(多选)对于定义在上的函数,若是奇函数,是偶函数,且在上单调递减,则( ) A. B. C. D.在上单调递减 【答案】ABC 【分析】根据函数的奇偶性结合函数的对称性结合函数的单调性分别判断各个选项即可. 【详解】令,因为是奇函数, 所以, 即的图象关于点对称. 令,因为是偶函数, 所以, 即的图象关于直线对称. A选项,由,令,可得, 由,令,可得,故A正确. B选项,由,令,可得,故B正确. C选项,由,令,可得,故C正确. D选项,由在上单调递减,结合的图象关于点对称,可知在上单调递减, 由可知在上单调递减,又的图象关于直线对称,则在上单调递增,故D错误. 故选:ABC. 3.(24浙江高一下联考)(多选)已知函数的定义域为为偶函数,为奇函数,且在上单调递增,则( ) A. B.为函数图象的一条对称轴 C.函数在上单调递增 D.函数是周期函数 【答案】ABD 【分析】根据题意可得,,从而可得出函数的对称性及周期性,再逐一判断即可. 【详解】因为为奇函数,所以, 令,可得,故A正确; 由于为偶函数,, 所以的图象关于直线对称,故B正确; 因为为奇函数,所以,则, 所以关于对称, 因为在上单调递增,所以在上单调递增, 又函数的图象关于直线对称,所以在上单调递减,故C错误; 由,所以, 所以是周期为8的周期函数,故D正确. 故选:ABD. 【点睛】方法点睛:函数的三个性质:单调性、奇偶性和周期性,在高考中一般不会单独命题,而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,并结合奇偶性求函数值,多以选择题、填空题的形式呈现,且主要有以下几种命题角度: (1)函数的单调性与奇偶性相结合,注意函数的单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性. (2)周期性与奇偶性相结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解; (3)周期性、奇偶性与单调性相结合,解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解. 4.(24黑龙江高一上期中)(多选)已知函数的定义域为,是偶函数,,在上单调递增,则不等式的解集不正确的为( ) A. B. C. D. 【答案】BCD 【分析】由已知得函数的对称性,结合单调性解不等式. 【详解】函数的定义域为,是偶函数,则的图象关于直线对称, 在上单调递增,则在上单调递减, ,不等式即, 所以有,即,解得, 故BCD选项中的解集不正确. 故选:BCD. 5.(24湖南邵阳高三下冲刺卷)(多选)已知函数的定义域为,为奇函数,为偶函数,且对任意的,,都有,则( ) A.是奇函数 B. C.的图象关于对称 D. 【答案】BC 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件,推得是周期为4的周期函数,结合周期函数的性质求值,利用单调性比较大小,逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数,所以 ,即函数关于对称,C正确; 由函数关于对称可知, 又因为为偶函数,所以 ,即函数关于对称, 则, 所以,即, 所以,所以是周期为4的周期函数, 所以,又, 所以,所以,所以,B正确; 是偶函数,A错误; 对任意的,且,都有,不妨设, 则,由单调性的定义可得函数在上单调递增, 又由函数关于对称,所以在上单调递增 又,, 所以,得,D错误. 故选:BC 【点睛】关键点点睛:本题考查抽象函数,解题关键是合理利用抽象函数的单调性,奇偶性周期性分析题意,然后逐个选项分析即可. (二)由式子关系得对称性 6.(25江西宜丰高一下月考)定义在上的函数满足,且对任意的,,都有,若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由条件,可知函数关于对称,由对任意都有,可知函数在时单调递增,然后根据单调性和对称性即可得到,化简即可求解. 【详解】因为,所以函数的图象关于直线对称, 又对任意的,,都有, 所以在上单调递增, 若,则, 解得, 即的取值范围是. 故选:C. 7.(24江苏徐州高一上期末)(多选)已知定义在上的函数满足,且是奇函数,则( ) A.是以2为周期的函数 B.的图象关于直线对称 C.的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【分析】对于A,由题及周期函数定义可完成判断;对于B,由题可得4是的一个周期,为图象一条对称轴,据此可完成判断;对于C,由及可得为图象的一个对称中心,然后由B中所得周期可判断选线正误;对于D,利用赋值法结合,可得,然后由题可得,据此可完成判断. 【详解】对于A,若是以2为周期的函数, 则,但由题目条件不能得到只有满足题意,故A不一定正确; 对于B,, 则4是的一个周期,又为奇函数, 则, 则,故为偶函数,为图象一条对称轴, 又,则的图象关于直线对称,故B正确; 对于C,由为奇函数,可得为图象的一个对称中心, 又由B分析,,则的图象关于点对称,故C正确; 对于D,因,令,则, 得,则 . 又由为奇函数,则,令可得 结合为偶函数,可得,故,故D正确. 故选:BCD 8.(25辽宁盘锦高三下联考)已知定义域均为的函数,满足,,,若,则下列说法错误的是( ) A.的图象关于y轴对称 B.为的一个周期 C. D. 【答案】C 【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性,求出周期,确定对称轴,求函数值的和分别判断各个选项. 【详解】因为,所以,又因为,所以,所以,所以的图象关于y轴对称,故A正确; 又因为,所以,所以,即, 所以,所以,故B正确; 在中,令,得,所以,故C错误; 因为,所以,所以,所以,, 故,故D正确. 故选:C 9.(25山东泰安高三适应考试)已知函数是定义在上的可导函数,且满足,,当时,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先判断函数的周期性,从而得到导数的周期性,再根据导函数的对称性和周期性可求 . 【详解】由可得, 所以函数周期是,且的周期也是. 因为,故, 故的图象关于直线对称. 对求导得,. 则 故选:B. 10.(25河南高三下模拟)(多选)已知函数定义域为,函数是的导函数,,,则下列说法正确的是( ) A. B.的一个周期为2 C.的图象关于对称 D. 【答案】ACD 【分析】由推出关于对称,即可判断A;对求导可得关于对称,又由推出关于对称,由两个对称即可推出的周期为4,进而得到的对称轴,即可判断;通过代入特殊值,求出及,再利用周期求出,即可判断D. 【详解】,关于对称,,故A正确; 对求导可得, 即,关于对称, 又,关于对称, 的一个周期为4,关于对称,故B错误,故C正确; 将代入,可得, 将代入,可得, ,, ,故D正确. 故选:ACD. 11.(24河南南阳高一上联考)已知是定义在R上的偶函数,且对任意,有,当时,,则下列结论正确的是( ) A. B. C.函数有3个零点 D.当时, 【答案】C 【分析】利用条件等式,变形,化简,判断函数的周期性,即可判断AB,画出函数和的部分图象,利用数形结合判断交点个数,即可判断C,利用奇偶性和周期性求函数的解析式,判断D. 【详解】因为,且为偶函数,所以 ,故A错误; 由,得,,所以,故B错误; 令,可得, 作函数和的部分图象如下图所示,由 可知,两个函数图象有3个交点,故C正确; 当时,,则,故D错误. 故选:C. 【点睛】关键点点睛:本题的关键是判断函数的周期性和对称性. 12.(25安徽黄山高三上月考)已知定义域为R的函数满足,且对任意的,,都有成立.若m,n是关于x的方程的两个不等实根,则关于t的不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由韦达定理可得出,,由对称性可得,分析函数的单调性,对称性,将所求不等式变形为,结合函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】因为是关于的方程的两个不等的实根, 所以,解得,且, 由,, 所以,函数的图象关于点对称,则,且, 又对任意的,都有成立, 所以在上单调递增,则该函数在上也为增函数, 从而可知,函数在R上为增函数, 由,可得, 解得,又, . 故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是由函数的对称性得到,并结合函数单调性求解. 13.(24湖南娄底高一上期末)已知函数是定义上的偶函数,且,若在区间上是减函数,则( ) A.在区间上是增函数,在区间上是增函数 B.在区间上是增函数,在区间上是减函数 C.在区间上是减函数,在区间上是增函数 D.在区间上是减函数,在区间上是减函数 【答案】B 【分析】根据函数关于轴和轴对称,利用已知区间的单调性求解. 【详解】因为,所以函数关于成轴对称, 所以区间与区间,区间与关于对称, 由函数在区间上是减函数,可知函数在上是增函数, 又函数是偶函数,所以函数在上是增函数, 所以函数在上是减函数, 故选:B (三)对称性一般推导 14.(25新高考测评卷)(多选)已知定义在上的函数和满足,则( ) A.若为奇函数,则的图象关于点对称 B.若为偶函数,则的图象关于直线对称 C.若为偶函数,则的图象关于直线对称 D.若为奇函数,则 【答案】AB 【分析】应用函数的奇偶性结合已知等式计算求解对称中心及对称轴判断A,B,C,再根据倒序相加计算求解判断D. 【详解】选项A:因为为奇函数,所以,所以, 所以,因此的图象关于点对称,故A正确; 选项B:因为为偶函数,所以,所以, 所以,因此的图象关于直线对称,故B正确; 选项C:由可得,所以, 因为为偶函数,所以,所以, 所以,所以的图象关于直线对称,无法得到其他对称轴,故C不正确; 选项D:由选项C知与同时成立, 因为为奇函数,所以,所以, 所以,因此, 设, 则, 所以 , 所以,故D不正确. 故选:AB. 15.(25安徽合肥高三下模拟)(多选)已知函数的定义域为,且,,则( ) A. B., C.的图象关于点对称 D.为偶函数 【答案】ACD 【分析】A选项,令得,令得;D选项,令得,令得,故,的一个周期为1,,所以,故为偶函数,D正确;BC选项,令,结合函数周期,得到,令得,所以,故,故B错误,C正确. 【详解】A选项,中,令得, 又,故,解得, 中,令得,故,A正确; D选项,中,令得 ,即,, 中,令得 ,即, 因为,所以,故, 故的一个周期为1, 故,所以,故为偶函数,D正确; B选项,中,令得 , 由于,,故, 由于的一个周期为1,故, 所以,解得, 中,令得 , 又,故,, 所以,故, 故不存在,,B错误; 由上可知,,故的图象关于点对称,C正确. 故选:ACD 16.(25江西南昌高二下期末)已知是定义在上且不恒为的连续函数,若,,则( ) A. B.为奇函数 C.的周期为 D.的值域为 【答案】D 【分析】对于A,B,C利用赋值法即可判断,对于D,令和,再结合函数的对称性即可判断. 【详解】令得,因为不恒为,所以,所以A错误; 令得,得,则为偶函数,所以B错误; 令得, 则, 则,得周期为,所以C错误; 令得,,即, 令得,即关于中心对称 ,即, 所以,所以D正确. 故选:D. 17.(25内蒙古高二下期末)(多选)已知函数的定义域为,且,,,则下列四个结论正确的是( ) A.8是的周期 B.图象关于直线对称 C. D. 【答案】ACD 【分析】令,可得是偶函数,由,可得图象关于点对称,可判断B;进而可求得周期判断A;利用周期与对称性计算可判断CD. 【详解】令,可得, 所以,所以是偶函数, 又因为,所以,所以, 又由,可得, 所以图象关于点对称,故B错误; 又由和偶函数性质,可得, 所以,所以, 即是函数的周期,故8也是的周期,故A正确; 则,故C正确; 又 ,, 则 ,故D正确. 故选:ACD. 18.(25湖北黄冈高二下期末)(多选)已知函数的定义域均为是奇函数,且满足 ,则( ) A.函数的图象关于点对称 B.函数的图象关于直线对称 C.函数是周期为4的函数 D. 【答案】ABC 【分析】由是奇函数,可判断A;由已知可得判断B;由已知等式推出,可推出函数的周期,判断C;再结合赋值法可判断D. 【详解】函数的定义域均为是奇函数,则, 即函数的图象关于点对称,A正确; 又,则, 即,即,故的图象关于直线对称,B正确; 由,可得, 即得,结合,得, 即,则, 故函数是周期为4的函数,C正确; 由,令,得,令,得, 由,令,得, 可得, 故,则,D错误, 故选:ABC (四)周期性 19.(24江苏徐州高三下模拟)若定义在R上的函数满足,是奇函数,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据给定条件,求出函数的周期,及和,再逐项计算判断得解. 【详解】由,得,则,即函数的周期为4, 由是R上的奇函数,得,即, 于是,,即, 因此,AB错误; 由,取,得,则, 因此,取,得, 于是, 则,C错误,D正确. 故选:D 【点睛】思路点睛:涉及抽象函数等式问题,利用赋值法探讨函数的性质,再借助性质即可求解. 20.(25山东临沂高三下模拟)(多选)已知定义在上的函数满足,,且,则( ) A.的最小正周期为4 B. C.函数是奇函数 D. 【答案】AB 【分析】据题意,通过赋值得到,,即可判断A;令,可求出,由周期性可判断B;令,得到,由周期性,可证明是奇函数,假设函数是奇函数,推出矛盾,判断C;由周期性及对称性可计算D. 【详解】对于A,因为, 所以,, 所以,故的最小正周期为4,A正确; 对于B,因为, 令,则, 所以, 由A可知,,故B正确; 对于C, 因为,① 令,则, 所以, 所以,② 由①②,所以,即,故为奇函数, 若函数是奇函数,则, 所以,即, 所以, 所以的最小正周期为2,与选项A矛盾,故C错误; 对于D,因为为奇函数,且,所以, 又因为的最小正周期为4,所以, 因为 所以,, 所以 , , 以此类推, 所以,故D错误. 故选:AB 【点睛】方法点睛:本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质,关键是根据已知条件判断出的周期. 以下是抽象函数周期性质的一些总结,可以适当总结记忆: 设函数 , (1)若,则函数的周期为; (2)若,则函数的周期为; (3)若,则函数的周期为; (4)若,则函数的周期为; (5)若,则函数的周期为. 21.(25新高考模拟卷)定义在上的函数满足,,若,则等于( ) A.50 B. C.100 D. 【答案】B 【分析】根据已知可得的周期是4,且、为对称轴,进而得,则,即可得,结合周期性求函数值即可. 【详解】由,得, 所以,可得的周期是4. 由,知的一条对称轴是, 所以,即也是的对称轴, 由,令得, 由是的对称轴,得,所以. 又,知. 由是的对称轴,得,, , , , 以此类推,可得. 故选:B 22.(24安徽江淮高三上联考)已知函数满足,且,则( ) A. B. C.0 D.2024 【答案】B 【分析】根据题意,求出是的一个周期,利用周期性求解答案. 【详解】,, ,所以是的一个周期, 又,,, 所以. . 故选:B. 【点睛】关键点睛:本题解题的关键是根据条件判断是的一个周期,再求出,,利用周期性求解. 试卷第1页,共3页 第 1 页 共 17 页 学科网(北京)股份有限公司 $$