22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（1）y=ax²+k（题型专练）数学人教版九年级上册

22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（1）y=ax²+k 题型一、二次函数y=ax²+k的基本性质 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）下列二次函数中，最大值为1的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 4．（24-25九年级上·福建福州·期中）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 5．（23-24九年级上·天津津南·阶段练习）抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 题型二、二次函数y=ax²+k的增减性问题 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 8．（2025·河南洛阳·一模）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 9．（18-19九年级·河南信阳·阶段练习）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则下列说法错误的是（　　） A．y1＝y2，则x1＝﹣x2 B．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 C．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 D．抛物线的对称轴是y轴 题型三、关于二次函数y=ax²+k性质的叙述问题 10．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．向右平移3个单位得到 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标为 11．（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 题型四、二次函数y=ax²+k的图象问题 12．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 13．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 14．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型五、二次函数y=ax²+k的解析式 15．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 16．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为，求该抛物线对应的函数表达式． 17．（23-24九年级上·河北·阶段练习）二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图像开口向________，顶点坐标________，对称轴为________； (3)通过计算判断点是否在函数的图像上． 题型六、画二次函数y=ax²+k的图象 18．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)在直角坐标系中画出该函数图象； (3)写出此函数的开口方向、对称轴及顶点坐标； (4)已知点，，都在此函数图象上，试比较，，的大小． 19．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 题型七、二次函数y=ax²+k的平移问题 20．（24-25九年级上·陕西西安·期末）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 21．（20-21九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，如图，直线AB经过点，点，与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为6． （1）求a的值； （2）若将抛物线沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． 22．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 题型一、二次函数y=ax²+k的函数值范围 23．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 24．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 25．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二、二次函数y=ax²+k与几何性质的计算 26．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 27．（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线交轴于点（点在点右侧），交轴于点．将抛物线绕点旋转，得到抛物线，它与轴的另一个交点为点，顶点为点．若四边形为矩形，则应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型三、二次函数y=ax²+k的实际应用 29．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度，一同学站在门内，在离门脚B点远的D处，垂直于地面立起一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式． (2)求出该大门的高h． 32．（2025九年级下·全国·专题练习）（1）一辆宽的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线隧道（从正中通过），为了保证安全，车顶离隧道顶部至少要的距离，货车的限高为多少？ （2）若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，货车的限高应是多少？    题型四、二次函数y=ax²+k与几何综合问题 33．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知地物线的顶点坐标为． (1)抛物线的解析式为 ； (2)已知点，点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m，求线段的长（用含有字母m的式子表示）； (3)抛物线上是否存在点P，使得的值最小，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 34．（23-24九年级上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点与点是关于点对称点．过点的直线 其中与轴相交于点，过点作直线平行于轴，是直线上一点，且． (1)填空：点的坐标为 ；点的坐标为 用含的式子表示； (2)求线段的长用含的式子表示)； (3)点是否一定在抛物线上？说明理由． 题型五、二次函数y=ax²+k的新定义问题 35．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 36．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）二次函数，线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B， (1)抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ，B点坐标(用含a的式子表示) ； (2)已知点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围． 39．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图1，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点C． (1)直接写出直线和抛物线的解析式； (2)设直线与抛物线交于D，E两点（D在E左边），与射线交于点F，若，求m的值； (3)如图2，点M在第四象限的抛物线上运动，点N与点M关于y轴对称，直线分别交直线，x轴于P，Q，G三点，若，求t的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（1）y=ax²+k 题型一、二次函数y=ax²+k的基本性质 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的、所表示的意义．二次函数的顶点坐标是． 【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该抛物线的顶点坐标：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）下列二次函数中，最大值为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，有最大值，为，据此即可作答． 【详解】解：A、，，开口方向向上，有最小值，且为1，不符合题意； B、，，开口方向向上，有最小值，且为，不符合题意； C、，，开口方向向下，有最大值，且为，不符合题意； D、，，开口方向向下，有最大值，且为1，符合题意； 故选：D 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的的性质，根据抛物线的对称轴为即可得出答案 【详解】解：抛物线的对称轴是，即为轴， 故选：D 4．（24-25九年级上·福建福州·期中）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（23-24九年级上·天津津南·阶段练习）抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 【答案】 下 轴(或) 低 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握平移规律是解题的关键． 题型二、二次函数y=ax²+k的增减性问题 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，正比例函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．根据一次函数以及二次函数的增减性即可进行解答． 【详解】A：为一次函数，斜率，故当增大时，始终增大，不符合条件． B：是开口向下的抛物线，顶点在原点．当时，函数在对称轴左侧随增大而递增，不符合条件． C：开口向下，顶点为．当时，函数同样随增大而递增，不符合条件． D：是开口向上的抛物线，顶点为．当时，函数在对称轴左侧随增大而递减，符合条件． 故选：D． 7．（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得在轴右侧，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 二次函数图象开口向上，对称轴为轴， 在轴右侧，随的增大而增大， ， ， 故选：A． 8．（2025·河南洛阳·一模）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题关键是正确应用对称性．由，得到轴的距离大于到轴的距离，由抛物线的对称轴为轴，开口向上，即可得． 【详解】解：由， 得到轴的距离大于到轴的距离， 由抛物线的对称轴为轴，开口向下， 得． 故选：B． 9．（18-19九年级·河南信阳·阶段练习）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则下列说法错误的是（　　） A．y1＝y2，则x1＝﹣x2 B．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 C．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 D．抛物线的对称轴是y轴 【答案】B 【分析】由于抛物线y=x2-1的图象关于y轴对称，开口向上，分别判断如下：若y1=y2，则x1=-x2；若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，若x1＜x2＜0，则在对称轴的正侧，y随x的增大而减小． 【详解】解：A、若y1＝y2，则x1＝﹣x2，说法正确； B、若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，说法错误； C、若x1＜x2＜0，则在对称轴的正侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，说法正确； D、抛物线的对称轴是y轴，说法正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 题型三、关于二次函数y=ax²+k性质的叙述问题 10．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．向右平移3个单位得到 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及性质及二次函数的平移．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵抛物线， ，即开口向下，故A选项错误； ∵将抛物线向右平移3个单位得到，故B选项错误； ∵， ∴对称轴是直线，故C选项正确； 线的顶点坐标为，故D选项错误． 故选：C． 11．（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，进而得到当时，y随x增大而减小，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，最小值为， ∴A选项错误，符合题意； 当时，，则图象与y轴的交点坐标为，故B选项正确； ∴当时，y随x增大而减小，故C选项正确； ∵对称轴为轴，故D选项正确． 故选：A． 题型四、二次函数y=ax²+k的图象问题 12．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答． 本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向． 【详解】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误． 故选：A． 13．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解． 先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号． 【详解】解：∵抛物线一定不经过第一、二象限， ∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴，可排除选项，； ∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点， ∴，可排除， 故选：B ． 14．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 题型五、二次函数y=ax²+k的解析式 15．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴当时，． 16．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为，求该抛物线对应的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握解析式与系数的关系是解决本题的关键． 首先根据题意得到，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：抛物线与的开口大小相同，开口方向相反 将点的坐标代入， 得： 该抛物线对应的函数表达式为． 17．（23-24九年级上·河北·阶段练习）二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图像开口向________，顶点坐标________，对称轴为________； (3)通过计算判断点是否在函数的图像上． 【答案】(1)； (2)上；；y轴 (3)不在 【分析】（1）将点代入解析式求解即可得到答案； （2）根据二次函数的性质直接判断即可得到答案； （3）令代入解析式求出与比较即可得到答案； 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴开口向上，对称轴为y轴，顶点为， 故答案为：上；；y轴； （3）解：当时， ， ∴点不在函数的图像上； 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，解题的关键是求出解析式，熟练掌握二次函数的性质． 题型六、画二次函数y=ax²+k的图象 18．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)在直角坐标系中画出该函数图象； (3)写出此函数的开口方向、对称轴及顶点坐标； (4)已知点，，都在此函数图象上，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)此函数的开口方向向下、对称轴为直线，顶点坐标为； (4) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的图象和性质，比较二次函数值的大小，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）将点代入二次函数解析式，求出的值即可； （2）分别求出二次函数与轴和轴的交点，即可画出函数图象； （3）根据（2）函数图象即可作答； （4）将的值代入二次函数解析式，分别求出、、的值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：， 令，则，解得：， 二次函数与轴的交点为和， 令，则， 二次函数与轴的交点为，且为顶点， 该函数图象如下： （3）解：由（2）函数图象可知，此函数的开口方向向下、对称轴为直线，顶点坐标为； （4）解：当时，； 当时，； 当时，； ， ． 19．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)上，4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 题型七、二次函数y=ax²+k的平移问题 20．（24-25九年级上·陕西西安·期末）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 【答案】(1)新抛物线解析式为； (2)点在这个新抛物线上． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． （1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解； （2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． 【详解】（1）解：根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为； （2）解：将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 21．（20-21九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，如图，直线AB经过点，点，与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为6． （1）求a的值； （2）若将抛物线沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． 【答案】（1）；（2）6． 【分析】（1）首先求得直线的解析式，然后根据面积求得点的纵坐标，然后代入求得其横坐标，代入二次函数即可求解； （2）根据题意得平移后的抛物线为，把代入即可得到结论． 【详解】解：设点，直线的解析式为， 将、分别代入， 得，， 故， 的面积 ， 再把代入，得， 所以， 把代入到中得：； （2）设向下平移个单位才能使得平移后的抛物线经过点， 则平移后的抛物线为， 把代入得， 向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数与图象相结合的应用，难度中等．解题关键是利用三角形面积求出点P的坐标． 22．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，分别连接、，从而若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4，进而可得轴，又上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线，从而，可得四边形为平行四边形，结合平移的性质，从而阴影部分的面积为平行四边形的面积，进而得解． 【详解】解：如图，分别连接、． ∵若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4， ∴轴． 又∵上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又由平移可得， ∴阴影部分的面积为平行四边形的面积． 故答案为：24． 题型一、二次函数y=ax²+k的函数值范围 23．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 根据二次函数，对称轴为y轴，得时，随的增大而减小，,与关于y轴对称，得当时，随的增大而减小，然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：，对称轴为y轴， 时，随的增大而减小， ，,与关于y轴对称， 时，的最大值； 当时，最小． 的取值范围是． 故答案为：． 24．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 25．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，当时，y随的x增大而增大， 那么时取得最小值，时取得最大值， 最小值为，最大值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程- ， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时 时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当时， 此时时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：． 故选：B． 题型二、二次函数y=ax²+k与几何性质的计算 26．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明．可得，．再根据，．得，，由列出m、n得关系式即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ∴， ． ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ∴，， ∵， ∴， ． ， ． ． 故选：B． 27．（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线交轴于点（点在点右侧），交轴于点．将抛物线绕点旋转，得到抛物线，它与轴的另一个交点为点，顶点为点．若四边形为矩形，则应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标及矩形的性质和中心对称的性质．由矩形性质得，即可求解． 【详解】解：令，得， ， 令，得， ， ，， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 故选：． 28．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故B点坐标为， 过点A作于D， ∵四边形是正方形， ∴上等腰直角三角形， ∴， ∴A点坐标为， ∵二次函数的图象经过正方形的顶点A， ∴， 解得， ∴A点坐标为， ∵平移后的抛物线顶点为点， ∴平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 题型三、二次函数y=ax²+k的实际应用 29．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设抛物线解析式为，由已知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题，合理建立坐标系是解本题的关键． 【详解】建立如图所示坐标系，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为 抛物线过， 把代入 ， 两壁灯之间的水平距离为， 故选：C． 30．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，两点间的距离，利用平方差公式因式分解，设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则，根据“焦点”定义可知：，，则，根据两点间的距离可得，然后解出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图， 设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则， 根据“焦点”定义可知：，， ∵点为抛物线顶点坐标， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴，， 由得：， ∴， 即：， 整理得：， ∴， ∴，解得：， ∴焦点的坐标为， 故选：． 31．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度，一同学站在门内，在离门脚B点远的D处，垂直于地面立起一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式． (2)求出该大门的高h． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了二次函数的应用——拱门问题．建立适当的直角坐标系，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象和性质，是解答题目的关键． （1）以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则该函数解析式为（），把代入解方程组即得； （2）代入计算即得． 【详解】（1）以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 则， 设该函数解析式为（）， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为； ∴代入， 得． 故该大门的高度． 32．（2025九年级下·全国·专题练习）（1）一辆宽的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线隧道（从正中通过），为了保证安全，车顶离隧道顶部至少要的距离，货车的限高为多少？ （2）若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，货车的限高应是多少？    【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的应用，主要利用了二次函数的图象的对称性，待定系数法求二次函数解析式，以及求二次函数值等知识． （1）根据跨度求出点的坐标，然后设抛物线顶点式形式，然后把点的坐标代入求出的值，即可得解；再根据车的宽度为2，求出时的函数值，再根据限高求出可装货物的最大高度即可； （2）利用时，代入表达式求出的值，进而得出答案． 【详解】解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示：   隧道跨度为8米，隧道的顶端坐标为， 、关于轴对称， ， 点的坐标为， 设抛物线顶点式为， 把点坐标代入得，解得， 抛物线解析式为， 车的宽度为，车从正中通过， 时，， 货车安全行驶装货的最大高度为（米），即货车的限高为； （2）若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，如图所示：    由题意可得：当时，， 故货车限高为（米）． 题型四、二次函数y=ax²+k与几何综合问题 33．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知地物线的顶点坐标为． (1)抛物线的解析式为 ； (2)已知点，点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m，求线段的长（用含有字母m的式子表示）； (3)抛物线上是否存在点P，使得的值最小，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标知，抛物线的对称轴为y轴，则，把点代入解析式求得c，即可求得函数解析式； （2）由题意得，由勾股定理即可求得； （3）过点P，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，D；由（2）知，则，此时点P的横坐标为1，从而求得点P的纵坐标，得点P的坐标． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点坐标知，抛物线的对称轴为y轴，则； 把点代入中，得：， ∴； 故答案为：； （2）解：∵点P的横坐标为m，且在抛物线上， ∴； 由勾股定理得； （3）解：存在点P，使得的值最小； 如图，过点P，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，D； 则； 由（2）知， ∴， 当点P在上时，取得最小值，此时点P的横坐标为1， ∴点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，得到是求解的关键． 34．（23-24九年级上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点与点是关于点对称点．过点的直线 其中与轴相交于点，过点作直线平行于轴，是直线上一点，且． (1)填空：点的坐标为 ；点的坐标为 用含的式子表示； (2)求线段的长用含的式子表示)； (3)点是否一定在抛物线上？说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)点一定在抛物线上，理由见解析 【分析】（1）由抛物线解析式可求得点坐标，再利用对称可求得点坐标，然后用表示出点坐标，； （2）过作于点，条件可知点在轴上方，设点纵坐标为，可表示出、的长．在中，利用勾股定理可求得，则可求出的长， （3）根据（2）得出点坐标，代入抛物线解析式可判断点在抛物线上． 【详解】（1）的顶点的坐标为， 原点关于点的对称点的坐标为 点坐标为， 直线解析式为， 解得：， ． 故答案为； （2）解：点坐标为， 直线解析式为， 令，解得， ， 点只能在轴上方， 过作于点，    设， 则，， ． 在，由勾股定理可得， 即，解得， ． （3）， 点坐标为， 当时，代入抛物线解析式可得， 点一定在抛物线上． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于的长的方程是解题的关键． 题型六、二次函数y=ax²+k的新定义问题 35．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)； (3)． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质． （1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可； （2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可； （3）由（2）的结论，列式整理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同， ∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等； 故答案为：①③； （2）解：设交轴于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设点坐标为，代入抛物线， 得， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴，∴； （3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为， 抛物线的“完美三角形”的斜边长为， ∵， ∴， 整理得． 36．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 37．（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）二次函数，线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及其性质、线段平移规律，根据线段平移特点求出坐标，再讨论二次函数与线段一个交点的情况，利用排除法即可求解． 【详解】解：，，线段向下平移3个单位得到线段， ∴，， ∴直线解析式为， 二次函数， 当图象过点时，将坐标代入函数式，得，解得， 此时联立解得， ∵， ∴与抛物线有两个交点，故不符合条件； 故排除D选项； 当图象过点时，将坐标代入函数式，得，解得， 此时联立解得， ∵， ∴与抛物线只有一个交点，故符合条件； 故排除A选项； 当时，联立解得， ∵， ∴与抛物线只有一个交点，故符合条件； 故排除B选项． 故选：C． 38．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B， (1)抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ，B点坐标(用含a的式子表示) ； (2)已知点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围． 【答案】(1)y轴，， (2)或． 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答． （1）根据抛物线的解析式直接得出对称轴，顶点坐标；根据题意得出点A的坐标，再利用关于x轴对称的点的坐标规律得出点B坐标； （2）分和两种情况分别讨论，画图图像，求出a的范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为， 当时，， ∴， ∴点A关于x轴的对称点为点B的坐标为， 故答案为：y轴，，； （2）解：当时，点在y轴负半轴上， 当点P恰好在抛物线上时，代入得：， 解得：或（舍）， 当点Q恰好在抛物线上时，代入得：， 解得：或（舍）， ∴当时，抛物线与线段恰有一个公共点； 当时，点在y轴正半轴上， 同理可知： 当点P恰好在抛物线上时，代入得：， 解得：（舍）或， 当点Q恰好在抛物线上时，代入得：， 解得：（舍）或， ∴当时，抛物线与线段只有一个公共点； 综上：若抛物线与线段恰有一个公共点，a的取值范围是或． 39．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图1，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点C． (1)直接写出直线和抛物线的解析式； (2)设直线与抛物线交于D，E两点（D在E左边），与射线交于点F，若，求m的值； (3)如图2，点M在第四象限的抛物线上运动，点N与点M关于y轴对称，直线分别交直线，x轴于P，Q，G三点，若，求t的值． 【答案】(1)， (2)3或 (3)3或5 【分析】（1）把代入，即可得，，，设直线的解析式为，运用待定系数法即可作答； （2）设直线与y轴交于点G，点F的坐标为，分两种情况：当时，由，得，得E的坐标为．得，解得；当时，得，得E的坐标为．得解得； （3）设M的坐标为，N的坐标为，直线的解析式为，得，解得，得．得得点P的坐标为，同理，直线的解析式为，得点Q的坐标为．当时，由，得，解得；当时，，解得． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，或， ∴，， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为． （2）解：设直线与y轴交于点G， 则点F的坐标为． 当时， ∵， ∴， ∴由中点坐标得点E的坐标为． ∴， 整理得， 解得或（舍去）； 当时， ∵， ∴， ∴点E的坐标为． ∴， 整理得， 解得或（舍去）． 综上所述，m的值为3或． （3）解：设点M的坐标为， 则点N的坐标为， 而， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． 与直线联立， 得点P的坐标为， 同理，可得直线的解析式为：， 点Q的坐标为． 当时，， 由， 解得； 当时，， 由， 解得．      综上所述，t的值为3或5． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练运用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数与一次函数图象性质，轴对称的性质，两点间的距离，分类讨论，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$