21.3实际问题与一元二次方程（题型专练）数学人教版九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程 题型一、传染问题 1．（2025·全国·专题练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 【答案】(1) (2)医院至少需要设置167个重症病房 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据在每轮传染中平均1个人传染了x个人，列出代数式即可； （2）先根据两轮传染后，有100人患上流感，列出方程求出的值，进而求出三轮传染后的总人数，设医院需要设置y个重症病房，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第一轮被传染的人数为x，第二轮被传染的人数是， 两轮传染后，患上流感的人数为． （2）由题意，得， 解得（舍去），， 经过第三轮传染后，患上流感的人数为． 设医院需要设置y个重症病房，则设置个普通病房． 由题意，得， 解得， 为正整数， ， ∴医院至少需要设置167个重症病房． 题型二、增长率问题 5．（2025·辽宁大连·模拟预测）某苹果园种植一种优质苹果，随着果树的成长，该苹果园的总产量从年的吨增加到年的吨． (1)求这个苹果园总产量平均每年增产的百分率； (2)若平均每年增产的百分率率不变，年该苹果园的总产量能突破吨吗?请说明理由． 【答案】(1)这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； (2)能，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据苹果园两年的产量列一元二次方程求出平均增长率，根据平均增长率计算出年果园的总产量． 设这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是，可列方程，解方程可得这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； 根据平均增长率计算出年该苹果园的总产量，根据计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：设这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； （2）解：年该苹果园的总产量能突破吨， 理由如下： 吨， ， 年该苹果园的总产量能突破吨． 6．（2025·湖南长沙·三模）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． (1)请问每次降价的百分率为多少？ (2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 【答案】(1) (2)120盒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，建立方程求解即可； （2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒，根据利润不低于2000元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为120， 答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒． 7．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 8．（2025·安徽合肥·三模）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售型汽车总量为万辆，销售单价为万元，请用代数式填表： 年份 年销售型汽车总量/万辆 年销售型汽车单价/万元 年销售型汽车总额/亿元 2023 ____________ 2025 ____________ (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】(1) (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，2023年销售型汽车总额为亿元， 2025年销售型汽车总额为亿元， 故答案为：； （2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 9．（2025·辽宁沈阳·二模）随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 【答案】(1)该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； (2)不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务；至少需要增加4名员工． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出5月份的任务量是解题关键． （1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，列出方程求解即可； （2）首先求出4月份的销量，进而得出25名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数． 【详解】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得：（不合题意舍去）． 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； （2）∵每月新能源汽车销量的增长率相同， ∴四月份的新能源汽车销量为：， ∵每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，现有25名负责交付的员工， ∴， ∴不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务； ∴需要增加员工（名）， 即至少需要增加4名员工． 题型三、面积问题 10．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米． (1)矩形的面积为， 求出的长； (2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)6米 (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确的识图，掌握矩形的面积公式，准确的列出方程，是解题的关键． （1）根据题意，求出的长，利用矩形的面积为长乘宽，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）同（1）列出方程，判断判别式的符号，即可得出结论． 【详解】（1）解：设矩形的一边长为， 则：， 由题意，得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； ， ∴的长为 6 米； （2）解：不能，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∴一元二次方程没有实数根， ∴矩形的面积不能为． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）工人师傅将一块长为、宽为的矩形薄铁皮的四角各裁掉一个相同的正方形（如图①），然后把四周折起来焊成一个长方体容器（如图②，薄铁皮厚度不计） (1)若长方体容器的底面面积为，则裁掉的正方形的边长为多少？ (2)若要求制作的长方体容器的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面的处理费用为每平方分米0．5元，底面的处理费用为每平方分米2元．当裁掉的正方形的边长为多少时，总费用最低？最低为多少？ 【答案】(1)裁掉的正方形的边长为 (2)当边长为时，总费用最低，最低为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设裁掉的正方形的边长为，列方程求解即可； （2）设总费用为y元，根据题意得到，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设裁掉的正方形的边长为， 由题意，得，解得（不合题意，舍去）， 即裁掉的正方形的边长为； （2）解：设总费用为y元， 则． 由题意，得，解得 根据二次函数的性质可知，当边长为时，总费用最低，最低为（元）． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造．先在正方形空地一边修一条4m宽的小路，再在另一边修一条5m宽的小路，剩余部分用于栽种鲜花，面积为．求原正方形空地的边长．（用两种方法解答） 【答案】20m 【详解】方法一：解：设原正方形空地的边长为xm． 根据题意，得． 整理，得， 解得（不合题意，舍去），． 故原正方形空地的边长为20m． 方法二：解：设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分是长为，宽为的长方形． 根据题意，得． 整理，得， 解得（不合题意，舍去），． 故原正方形空地的边长为20m． 13．（24-25·黑龙江哈尔滨·期中）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形．设边的长为（单位：米），矩形的面积为（单位：平方米）． (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若矩形的面积为50平方米，且，请求出此时的长． 【答案】(1) (2)5米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，对于长方形的面积公式要熟记．注意本题，因此可根据这个条件舍去不合题意的解． （1）根据长方形的面积公式求出与之间的函数关系式． （2）根据矩形的面积为50平方米，即，即可列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ； （2）解：由题意可得，， 解得，， 当时，不符合题意,应舍去， ∴的长为5米． 14．（2025·江苏盐城·三模）我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠圃”：种植基地一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为 米)，另三面用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为平方米(中间篱笆忽略不计)，求此时边的长； (2)若每平方米可收获千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为． (2)该片菜地最多可收获千克的菜． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． （1）设，则，依题意列方程计算即可． （2）设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【详解】（1）设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． （2）设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 题型四、销售问题 15．（2025·湖南·模拟预测）个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． (1)设涨价x元，则每天的销售量为______斤； (2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 【答案】(1) (2)售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式． （1）根据每天的销售量为原来销售量500斤减去涨价导致减少的销售量即可； （2）根据利润（定价进价）销售量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，涨价x元，则每天的销售量为斤， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 当时，售价为元，元，，符合题意； 当时，售价为元，元，，不符合题意； ∴红橙售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元． 16．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 【答案】(1)每件衬衫应降价20元 (2)每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． （1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解． （2）列出商场平均每天赢利y与衬衫降价x之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意得， 整理得， 解得，． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元． （2）解：设商场平均每天赢利y元，则 ； ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元． 17．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元？ 【答案】(1) (2)当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 把点和代入，得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得． 解得，． ∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍， ∴． ∴不符合题意，舍去． 答：当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元． 18．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 19．（2025·河南驻马店·三模）排球垫球作为河南中考体育“运动健康技能类”选考项目，成为同学们选考热点，排球的销量也一直在增加．某体育用品店，销售一种排球，进价为每个16元，按照每个30元销售，平均每月能卖出200个．调查发现，在不亏本的情况下，为减少库存，售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个． (1)合合说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500个．”请你判断合合的说法是否正确，并说明理由； (2)该体育用品店期望销售该排球平均每月的销售利润为2860元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请你用方程的思想说明该采纳谁的意见． 【答案】(1)合合的说法不正确，理由见解析； (2)采纳销售员乙的意见，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500个，根据“售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论； （2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为2860元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论． 【详解】（1）解：合合的说法不正确，理由如下： 设售价降低元，平均每月的销售量能达到500个， 依题意得，， 解得， 降价后每个的售价为（元）， 进价为每个16元，， 平均每月的销售量能达到500个时会亏本， 合合的说法不正确． （2）解：采纳销售员乙的意见，理由如下： 设售价降低元，可使平均每月的销售利润为2860元， 依题意，得， 整理，得， 解得，， 降价1元或3元都能达到销售利润为2860元的目标； 降低售价可以增加销售量，从而减少库存， 应采纳销售员乙的意见． 20．（24-25·浙江杭州·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． ①当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10080元？ ②求此停车场的月租金收入最多为多少元？ 【答案】(1)道路的宽是6米 (2)①10元或40元；最多为10125元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，正确理解题意列出对应的方程和式子是解题的关键． （1）设道路的宽为米，根据阴影部分的面积等于一个长，宽为的长方形面积建立方程求解即可； （2）①设月租金上涨元，停车场的月租金收入为10080元，则每个停车位的租金为元，租出的停车位为个，据此根据总租金为10080元建立方程求解即可； ②设月租金上涨元，停车场的月租金收入为元，同①可列出y关于b的代数式，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：设道路的宽为米， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽是6米； （2）解：①设月租金上涨元，停车场的月租金收入为10080元， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：， 答：每个车位的月租金上涨10元或40元时，停车场的月租金收入为10080元； ②设月租金上涨元，停车场的月租金收入为元， 根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为10125． 答：此停车场的月租金收入最多为10125元． 题型五、几何动点问题 21．（24-25·安徽滁州·期中）如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． ∴，， 则； 故答案为：． （2）解：∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 22．（24-25·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 23．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)时，的长度等于 (3)存在的值，使得五边形的面积等于，此时， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积等于长方形面积减去的面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵点的速度为，点的速度为，运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴当时，， 解得：或（舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：∵五边形的面积等于，五边形的面积等于长方形面积减去的面积， ∴， 解得：，， ∵当点运动到点时，两点停止运动，， ∴， ∴， ∴存在的值，使得五边形的面积等于，此时，． 题型六、数字表格问题 24．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 25．（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键． 设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 26．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【答案】(1) (2)最小的数为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）观察日历表即可推出； （2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理． 【详解】（1）解：观察图形可得， 故答案为：； （2）解：设最小的数为，则． 由题意可得，整理得， 解得（舍去）， 最小的数为20． 27．（2025·安徽芜湖·二模）【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【答案】； ； 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【分析】本题主要考查了数字与图形的规律、解一元二次方程，解决本题的关键是根据数字与图形的规律得到关于的一元二次方程． 根据图案中“▲”的个数的变化规律得到第个图案中“▲”的个数即可； 根据图案中“★”的个数的变化规律得到第个图案中“★”的个数即可； 根据图案中“▲”的个数的变化规律和“★”的个数的变化规律得到关于的一元二次方程，解方程求出即可． 【详解】解：第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为； 故答案为：； 解：第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， ， 第个图案中，“★”的个数为； 故答案为：； 设第个图案中“▲”的个数的倍比“★”的个数多， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 题型七、工程问题 28．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 29．（22-23·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 30．（22-23·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 题型八、行程问题 31．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 32．（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 【答案】(1) (2)飞机滑行的最远距离为 (3)此时飞机的滑行速度是 (4)飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）设y关于t的函数解析式为，利用待定系数法求解，令，即可求出t的取值范围即可； （2）根据滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，代入数值计算即可求解； （3）根据行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，即，建立关于t的一元二次方程即可求解； （4）设飞机滑行的距离为，求出飞机滑行的距离与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即可得出结论． 【详解】（1）解：设y关于t的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， y关于t的函数解析式为， 当时，则， 解得， y关于t的函数解析式； （2）解：根据题意：飞机滑行的最远距离为， 答：飞机滑行的最远距离为； （3）解：，， ，即， 解得：或（舍去）， 答：此时飞机的滑行速度是； （4）解：设飞机滑行的距离为， 则飞机滑行的距离与时间t的关系式为：， 通勤车与飞机之间的距离为：， 令通勤车与飞机之间的距离0，则，即， 解得或（舍去）， 在飞机滑行时，通勤车与飞机之间的距离为0， 飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 33．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 题型九、图表信息问题 34．（21-22·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 35．（21-22九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 36．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． (1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； (2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1400元； (2)不能，理由见解析； (3)存在，（）． 【分析】本题考查销售问题中的数量关系，一元二次方程的应用和整数解的讨论，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）销售额=销售单价销售数量，根据题意作答即可； （2）根据题意得到每套书降价x元时销售额，建立方程求解即可； （3）根据题意建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以书店每套书涨价5元，估计每天获得总销售额是1400元； （2）不能，由题意可得：， 解得或， 因为x为整数且，所以都不满足题意，都舍去， 所以每套书降价x元（x为整数，）时，每天获得的销售额不能与题（1）中的总额相等； （3）存在，由题意可得：， 整理得， 解得使两种方案的销售额相等，此时． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）项目式学习： 【项目背景】 在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略． 【市场调研】 经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下． 水果每千克售价降低金额（元） 每天销售量（千克） 0 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … … 【目标任务】 于是，商店运营项目组面临两个关键任务： 任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低元，需准确计算出每天的销售量（用舍的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据支持． 任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升． 请完成这两个任务． 【答案】任务一：千克；任务二：降低2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：先根据表格数据得到每千克的售价每降低元，一天可多售出千克，再利用每天的销售量，即可用含的代数式表示出一天的销售量； 任务二：利用总利润每千克的销售利润每天的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务一：解：根据表格数据：每千克的售价每降低元，一天可多售出千克 若将这种水果每千克的售价降低元，则每天的销售量是千克； 任务二：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 故商店需将水果每千克的售价降低元． 3．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． 任务3 根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】任务一：20%；任务二：；任务三：50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x,根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 【详解】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； 任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 4．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 【答案】(1) (2)，底面正三角形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）设裁去的正方形边长为，由题意得：，再解一元二次方程即可； （2）延长交于点，由题意可设，设，在中，，则，那么，在中，，，则，过点作于点，则，则，而，则，解得，再代入①即可求解． 【详解】（1）解：设裁去的正方形边长为， 由题意得：， 解得：或（不合题意，舍）， 答：裁去的正方形边长； （2）解：延长交于点， ∵等边， ∴， 由矩形可得： ∴设， 由题意得：四边形为矩形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴由勾股定理得：， ∵ ∴ ∵， ∴ 过点作于点，则， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等， ， ∴， 将代入， 则 解得：， ∴等边三角形边长为． 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)3； (2)； (3)不存在，理由见解析； (4)1或3． 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 故答案为：； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 【答案】（1）40；（2）；（3） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）由储物位置的底面尺寸判断即可； （2）设裁去小长方形的宽为，长为，列方程求解，再计算体积即可； （3）根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；； 故答案为：40； （2）设裁去小长方形的宽为，长为， 则， 解得：（舍去），； 则体积为； （3）由题意可得阴影部分的长为， 储物盒的底面长为， 则需要裁出的正方形为图中③，④两块， 裁出的正方形的边长为， 底面的宽为， ． 答：储物盒的底面积为． 3（24-25八年级下·重庆·期末）荣昌区助农主播通过直播宣传家乡，成功吸引大量游客，促进了荣昌区非物质文化遗产夏布的销售，其夏布专卖店4月A款夏布制品销售额36000元，B款夏布制品销售额24000元，且B款复布制品的销量是A款复布制品的两倍，已知每件A款夏布制品的售价比每件B款复布制品的售价多240元． (1)求每件A款夏布制品和B款夏布制品的售价分别是多少元？ (2)为推广非遗文化，该夏布专卖店在5月推出促销活动，A款夏布制品售价保持不变，B 款夏布制品售价在4月的基础上降低．统计5月的销量和销售额发现：A款夏布制品的销量在4月的基础上增加，B款夏布制品的销量在4月的基础上增加．两款夏布制品的总销售额比4月增加了，求a的值． 【答案】(1)每件A款夏布制品的售价为360元，B款夏布制品的售价为120元； (2)10 【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程． （1）设每件A款夏布制品的售价为x元，B款夏布制品的售价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每件A款夏布制品的售价为x元，B款夏布制品的售价为元， ∴， 解得方程是原方程的解， ∴每件A款夏布制品的售价为360元，B款夏布制品的售价为120元； （2）解：根据题意得：4月份A款夏布制品的销量为100件，B款夏布制品的销量为200件， 则有 解得：，（不合题意 ，舍去） 故． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照元/份出售时，估计每天只能售出份，售价每降价元，就能多售出份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： 元/碗 碗 (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理． ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗； ②直接写出当凉面定价__________元/碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元． 【答案】(1)； (2)9元 (3)①每碗凉面的定价为10元时，当天米线、凉面销售总量最多，为270碗；②8 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意列出，待定系数法求得； （2）根据题意得，解一元二次方程，即可求解． （3）①根据题意得出，设米线和凉面销售总量为，则，根据一次函数的性质，即可求解； ②根据销量乘以定价，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 设 当时，，当时， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意， 解得：， ∵为整数， ∴，即每碗米线定价元 （3）解：①∵，即 设米线和凉面销售总量为，则 ∵ 随的增大而增大 又∵ ∴当取得最大值时，最大值为 ∴每碗凉面的定价为元时，当天米线和凉面销售总量最多，为碗； ②依题意， 解得：或（舍去） 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3实际问题与一元二次方程 题型一、传染问题 1．（2025·全国·专题练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 题型二、增长率问题 5．（2025·辽宁大连·模拟预测）某苹果园种植一种优质苹果，随着果树的成长，该苹果园的总产量从年的吨增加到年的吨． (1)求这个苹果园总产量平均每年增产的百分率； (2)若平均每年增产的百分率率不变，年该苹果园的总产量能突破吨吗?请说明理由． 6．（2025·湖南长沙·三模）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． (1)请问每次降价的百分率为多少？ (2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 7．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 8．（2025·安徽合肥·三模）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售型汽车总量为万辆，销售单价为万元，请用代数式填表： 年份 年销售型汽车总量/万辆 年销售型汽车单价/万元 年销售型汽车总额/亿元 2023 ____________ 2025 ____________ (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 9．（2025·辽宁沈阳·二模）随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 题型三、面积问题 10．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米． (1)矩形的面积为， 求出的长； (2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）工人师傅将一块长为、宽为的矩形薄铁皮的四角各裁掉一个相同的正方形（如图①），然后把四周折起来焊成一个长方体容器（如图②，薄铁皮厚度不计） (1)若长方体容器的底面面积为，则裁掉的正方形的边长为多少？ (2)若要求制作的长方体容器的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面的处理费用为每平方分米0．5元，底面的处理费用为每平方分米2元．当裁掉的正方形的边长为多少时，总费用最低？最低为多少？ 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造．先在正方形空地一边修一条4m宽的小路，再在另一边修一条5m宽的小路，剩余部分用于栽种鲜花，面积为．求原正方形空地的边长．（用两种方法解答） 13．（24-25·黑龙江哈尔滨·期中）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形．设边的长为（单位：米），矩形的面积为（单位：平方米）． (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若矩形的面积为50平方米，且，请求出此时的长． 14．（2025·江苏盐城·三模）我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠圃”：种植基地一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为 米)，另三面用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为平方米(中间篱笆忽略不计)，求此时边的长； (2)若每平方米可收获千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 题型四、销售问题 15．（2025·湖南·模拟预测）个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． (1)设涨价x元，则每天的销售量为______斤； (2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 16．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 17．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元？ 18．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 19．（2025·河南驻马店·三模）排球垫球作为河南中考体育“运动健康技能类”选考项目，成为同学们选考热点，排球的销量也一直在增加．某体育用品店，销售一种排球，进价为每个16元，按照每个30元销售，平均每月能卖出200个．调查发现，在不亏本的情况下，为减少库存，售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个． (1)合合说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500个．”请你判断合合的说法是否正确，并说明理由； (2)该体育用品店期望销售该排球平均每月的销售利润为2860元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请你用方程的思想说明该采纳谁的意见． 20．（24-25·浙江杭州·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． ①当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10080元？ ②求此停车场的月租金收入最多为多少元？ 题型五、几何动点问题 21．（24-25·安徽滁州·期中）如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 22．（24-25·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 23．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型六、数字表格问题 24．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 25．（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 26．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 27．（2025·安徽芜湖·二模）【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 题型七、工程问题 28．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 29．（22-23·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 30．（22-23·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 题型八、行程问题 31．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 32．（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 33．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 题型九、图表信息问题 34．（21-22·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 35．（21-22九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 36．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． (1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； (2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）项目式学习： 【项目背景】 在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略． 【市场调研】 经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下． 水果每千克售价降低金额（元） 每天销售量（千克） 0 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … … 【目标任务】 于是，商店运营项目组面临两个关键任务： 任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低元，需准确计算出每天的销售量（用舍的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据 支持． 任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升． 请完成这两个任务． 3．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． 任务3 根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 4．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 5．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 3（24-25八年级下·重庆·期末）荣昌区助农主播通过直播宣传家乡，成功吸引大量游客，促进了荣昌区非物质文化遗产夏布的销售，其夏布专卖店4月A款夏布制品销售额36000元，B款夏布制品销售额24000元，且B款复布制品的销量是A款复布制品的两倍，已知每件A款夏布制品的售价比每件B款复布制品的售价多240元． (1)求每件A款夏布制品和B款夏布制品的售价分别是多少元？ (2)为推广非遗文化，该夏布专卖店在5月推出促销活动，A款夏布制品售价保持不变，B 款夏布制品售价在4月的基础上降低．统计5月的销量和销售额发现：A款夏布制品的销量在4月的基础上增加，B款夏布制品的销量在4月的基础上增加．两款夏布制品的总销售额比4月增加了，求a的值． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照元/份出售时，估计每天只能售出份，售价每降价元，就能多售出份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： 元/碗 碗 (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理． ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗； ②直接写出当凉面定价__________元/碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$