专题1.2等差数列（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题1.2 等差数列 教学目标 1、理解等差数列概念，能够利用概念判断、证明等差数列；能够解等差中项问题； 2、掌握等差数列的通项公式与前n项和公式及变形，理解等差数列的通项公式、前n项和公式与一次函数(二次函数)的关系，能熟练进行等差数列的基本量计算； 3、掌握等差数列的常用性质及应用； 4、能在实际应用问题中发掘出等差数列关系，从而解决实际应用题； 教学重难点 1、重点：(1)等差数列的有关概念；(2)等差数列通项公式及变形；(3)等差数列的前n项和公式；(4)等差数列的常用性质． 2、难点：(1)片段和；(2)奇数项和与偶数项和；(3)等差数列前n项和的最值；(4)等差、等比数列综合. 知识点01 等差数列的有关概念 1、等差数列有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列叫做等差数列． 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示， 定义的表达式为(n∈N*)或an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项：如果a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项，此时，2A＝a+b. 【即学即练】在等差数列中，若，那么( ) A．4 B．5 C．6 D．7 知识点02 等差数列的通项公式 () 变形：(,)，即(,) 与函数关系：(一次函数) 【即学即练1】(通项公式)在等差数列中，，则( ) A．19 B．23 C．27 D．30 【即学即练2】(通项公式变形)在等差数列中，，则( ) A．12 B．13 C．14 D．15 知识点03 等差数列前n项和公式 变形：.(二次函数常数项为0) 【即学即练】若等差数列前项和为，，则( ) A． B．10 C． D．12 知识点04 等差数列的性质 1.角标和：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am+an＝ap+aq＝； 2.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等差数列，则{λan}，仍然是等比数列； 3.衍生等差数列 (1)等间距等差：等差数列{an}中，an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…也是等差数列，公差为； (2)片段和(等长度等差)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差，公差为， (3)算术平均值等差：也是等差数列，公差为；若;则：. 6.常用结论 (1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可列出关于a1和d的方程(组)求解． (2)等差数列涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，(知三求二)． (3)(i)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则－＝nd，. 注意：若项数为n(偶数)，则－，. (ii)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则()S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(b). (iii)若项数为，则，，，S2n－1＝(2n－1)an，. (4)若两个等差数列的前n项和分别为：，则：； (5)等差数列中，若，则． (6)等差数列中，若，则． (7)等差数列中，若，则． 【即学即练1】(角标和)(2024甲卷文T5)等差数列的前项和为，若，(    ) A． B． C．1 D． 【即学即练2】(片段和)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(　　) A．100 B．120 C．390 D．540 【即学即练3】(等间距等差)记等比数列，若，则( ) A．3 B．9 C．27 D．81 【即学即练4】(奇数项和与偶数项和)已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 【即学即练5】两个等差数列的前n项和分别为：，已知，则___，___. 知识点05 判断、证明等差数列 1.判断、证明等比数列常用的方法： (1)定义法：(n∈N*)或an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)数列是等差数列． 【提醒】用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解． 比如，满足an－an－1＝1(n≥3)的数列{an}并不能判定为等差数列，因为不能确定起始项a2－a1是否等于1． (2)等差中项法：数列是等差数列． (3)通项公式法：数列是等差数列． (4)前项和公式法：数列是等差数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 2.判断数列不是等差数列：只需判断存在连续三项不成等差数列即可． 【即学即练】已知数列的前项和为，若，则有(    ) A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 知识点06 等差数列与函数的关系 1.等差数列与一次函数的关系 (其中) 当时，是关于n的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列． 2.等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数且常数项为0．利用二次函数性质可研究其最值。 3.求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法 【即学即练】已知为等差数列的前n项和，且，，则当取最大值时，n=____. 题型01 等差数列的基本量计算 【典例1】(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T3)记为等差数列的前项和，若，则( ) A. 112 B. 122 C. 132 D. 142 【变式1-1】(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T4)记为等差数列的前项和，若，则( ) A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 【变式1-2】(2025届四川省成都市石室成飞中学高三上8月月考T4)设为等差数列的前项和，已知，则的值为( ) A. 64 B. 14 C. 12 D. 3 【变式1-3】(2025·浙江金华·二模)已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为 . 题型02 等差数列的角标和性质 【典例2】已知数列是等差数列，，则(    ) A．4 B． C． D． 【变式2-1】如果等差数列中，，那么(    ) A．14 B．12 C．28 D．36 【变式2-2】(2024·广东广州·模拟预测)在等差数列中，若，则(    ) A．45 B．6 C．7 D．8 【变式2-3】设是等比数列，且，，则 ． 题型03 等差数列的片段和性质 【典例3】(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T4)等差数列中，， 则( ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【变式3-1】(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T4)等差数列前项和为，若，则( ) A. 34 B. 39 C. 42 D. 45 【变式3-2】(2025届四川省巴中市高三零诊考试T4)是等差数列前n项和，若，则( ) A. 44 B. 56 C. 68 D. 84 【变式3-3】设等差数列的前n项和为，若，，则______ 题型04 奇数项和与偶数项和 【典例4】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则______. 【变式4-1】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【变式4-3】(2024黑龙江三模)已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式；(2)设求数列的前20项和. 题型05 两个等差数列的关系 【典例5】设等差数列的前n项和分别为：，且，则______. 【变式5-1】两个等差数列的前n项和分别为：，已知，则______. 【变式5-2】两个等差数列的前n项和分别为：，已知，则______. 【变式5-3】已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，是正整数，设，则数列的前项和　　． 题型06 判断、证明等差数列 【典例6】已知数列满足，． 证明：是等差数列，并求出的通项． 【变式6-1】已知数列各项为正数，满足，，则(    ) A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【变式6-2】(多选)(2023安徽芜湖模拟)下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有(    ) A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【变式6-3】(2024江苏南通二模)设数列的前项和为，若，. (1)求，，并证明：数列是等差数列；(2)求. 题型07 等差数列的最值问题 【典例7】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-1】(2025届成都市川师附中二诊模拟T13)等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为______． 【变式7-2】(2025·山西临汾·二模)记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为(    ) A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【变式7-3】设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是(    ) A． B． C． D． 题型08 含绝对值的等差数列求和问题 【典例8】(2023·全国·高考真题)记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式；(2)求数列的前项和． 【变式8-1】记为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式；(2)求的值． 【变式8-2】(2024高三上陕西汉中期末)设等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求． 【变式8-3】已知是数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和． 题型09 等差数列综合问题 【典例9】(2025届成都市郫都区高三三模T6)数列是等差数列，且，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【变式9-1】(2025届江西省多所学校第一次大联考T10)下列函数中，存在数列使得和都是公差不为0的等差数列的是( ) A. B. C. D. 【变式9-2】(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T5)已知数列，则“”是“数列是等差数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【变式9-3】(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T8)已知实数构成公差为的等差数列，若，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 题型10 等差数列的实际应用 【典例10】从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度为(    ) A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式10-1】现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为(    ) A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升 【变式10-2】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为(    ) A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【变式10-3】《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍．若要使莞的长度是蒲的长度的2倍，则需要的时间为(　　) A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 一、单选题 1.已知等差数列满足，且，则首项(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.(2024吉林长春东北师大附中高三七模)在等差数列中，，是方程的两根，则的前6项和为(    ) A．48 B．24 C．12 D．8 3.(2025·四川雅安·二模)记为等差数列的前项和，若，，则(   ) A． B． C． D． 4.(湖北武汉华师一2024届高三考前测试)已知数列的前项和为，若是等差数列，且，，则(    ) A．1 B． C．10 D． 5.在等差数列中，若，则下列说法错误的是(    ) A． B． C．的最大值为 D．满足的的最大值为 6.在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，(    ) A．10 B．11 C．12或13 D．13 7.(2025·山东临沂·二模)已知为正项等差数列，若，则的最大值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 8.(山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试)设数列满足，，，，则满足的的最大值是(    ) A．7 B．9 C．12 D．14 二、多选题 9.已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则(    ) A．= B．当n = 6或7时，取得最小值 C．数列的前10项和为50 D．当n≤2023时，与数列(m N)共有671项互为相反数． 10.(2024·黑龙江吉林·二模)已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则(    ) A． B． C． D． 11.(2024福建泉州模拟)等差数列中，，，若，，则(    ) A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值 三、填空题 12.已知等差数列的前n项和为，若，，则 ． 13.一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是300，则此数列的项数为 ． 14.(山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷)若函数的四个零点成等差数列，则 ． 四、解答题 15.设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和. 16.已知一个等差数列前10项的和是，前20项的和是. (1)求这个等差数列的前n项和.(2)求使得最大的序号n的值. 17.已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式；(2)求使成立的的取值集合. 18.已知等差数列中， (1)求数列的通项公式(2)若单调递增，，求数列前项和的最小值 19.已知等差数列满足，． (1)求；(2)数列满足，为数列的前项和，求． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 22 页 专题 1.2 等差数列 教学目标 1、理解等差数列概念，能够利用概念判断、证明等差数列；能够解等差中项问题； 2、掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式及变形，理解等差数列的通项公式、前 n项和公式与一次 函数(二次函数)的关系，能熟练进行等差数列的基本量计算； 3、掌握等差数列的常用性质及应用； 4、能在实际应用问题中发掘出等差数列关系，从而解决实际应用题； 教学重难点 1、重点：(1)等差数列的有关概念；(2)等差数列通项公式及变形；(3)等差数列的前 n项和公式；(4)等差 数列的常用性质． 2、难点：(1)片段和；(2)奇数项和与偶数项和；(3)等差数列前 n项和的最值；(4)等差、等比数列综合. 知识点 01 等差数列的有关概念 1、等差数列有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列叫做等差数列． 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d表示， 定义的表达式为��+1 − �� = �(n∈N*)或 an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． 第 2 页 共 22 页 (2)等差中项：如果 a，A，b成等比数列，那么 A叫做 a与 b的等比中项，此时，2A＝a+b. 【即学即练】在等差数列 na 中，若�3 = 10, �7 = 2，那么�5 =( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C【解】根据等差中项，可得 2�5= �3 + �7 = 10 + 2 = 12，所以�5 = 6.故选：C. 知识点 02 等差数列的通项公式 �� = �1 + (� − 1)�(n ∈ N∗) 变形：�� = �� + (� −�)�(m ∈ N∗,n ∈ N∗)，即 d = �n−�m n−m (m ∈ N ∗,n ∈ N∗,m ≠ n) 与函数关系：�� = �� + �(一次函数) 【即学即练 1】(通项公式)在等差数列{ }na 中，�1 = 3, �4 = 15，则�6 =( ) A．19 B．23 C．27 D．30 【答案】C【解】由�4 = �1 + 3� ⇒ 15 = 3 + 3� ⇒ � = 4，得�6 = 3 + 5 × 4 = 23.故选：B. 【即学即练 2】(通项公式变形)在等差数列{ }na 中，�3 = 2, �5 = 4，则�13 =( ) A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D【解】由�3 = 2, �5 = 4 得 d = 4−2 5−3 = 1，所以�13 = �5 + 8� = 4 + 8 × 1 = 12.故选：A. 知识点 03 等差数列前 n 项和公式 �� = ��1 + �(�−1) 2 � = �(�1+��) 2 ； 变形：�� = � 2 �2 + (�1 − � 2 )� = ��2 + ��.(二次函数常数项为 0) 【即学即练】若等差数列 na 前n项和为 nS ，�1 = 1, �4 = 5，则�7 =( ) A． 19 2 B．10 C． 21 2 D．12 【答案】A【解】由�4 = 5 得 4�1 + 4×3 2 d = 5 ⇒ 4+ 6� = 5 ⇒ � = 1 6 ，故�7 = 7 × 1 + 7×6 2 × 1 6 = 21 2 ；故选：C． 知识点 04 等差数列的性质 1.角标和：若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am+an＝ap+aq＝2�k； 2.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等差数列，则{λan}， ��� + ��� 仍然是等比数列； 3.衍生等差数列 (1)等间距等差：等差数列{an}中，an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…也是等差数列，公差为 kd； (2)片段和(等长度等差)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差，公差为n2d， (3)算术平均值等差： �� � 也是等差数列，公差为 � 2 ；若�� = �� � ;则：�1 = �1，�' = 1 2 �, �� = �1 + �−1 2 . 6.常用结论 (1)在等差数列{an}中，a1与 d是最基本的两个量，一般可列出关于 a1和 d的方程(组)求解． (2)等差数列涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，(知三求二)． (3)(i)若等差数列{an}的项数为偶数 2n，则S偶－S奇＝nd， S 奇 S 偶 = �n �n+1 . 注意：若项数为 n(偶数)，则S偶－S奇 = n 2 d， S 奇 S 偶 = �n 2 �n+1 2 . 第 3 页 共 22 页 (ii)若等差数列{an}的项数为奇数 2n＋1，则(�)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(b) S 奇 S 偶 = n+1 n . (iii)若项数为 2 1n  ，则 ( 1) nS n a 偶 ， nS na奇 ， nS S a 奇 偶 ，S2n－1＝(2n－1)an， 1 S n S n   奇 偶 . (4)若两个等差数列 �� , �� 的前 n项和分别为：��, ��，则： �� �� = �2�−1 �2�−1 ； (5)等差数列 �� 中，若 �� = �, �� = �,(� ≠ �)，则��+� = 0． (6)等差数列 �� 中，若 �� = �, �� = �, (� ≠ �)，则��+� =− (� + �)． (7)等差数列 �� 中，若�� = ��(� ≠ �)，则��+� = 0． 【即学即练 1】(角标和)(2024 甲卷文 T5)等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 9 1S  ， 3 7a a  ( ) A． 2 B．73 C．1 D． 2 9 【答案】D【解】�9 = 9(�1+�9) 2 = 9(�3+�7) 2 = 1，故�3 + �7 = 2 9 ；故选：D 【即学即练 2】(片段和)已知等差数列{an}的前 10项和为 30，它的前 30项和为 210，则前 20项和为( ) A．100 B．120 C．390 D．540 【答案】A【解】因为 �� 等差，所以 S10，S20－S10，S30－S20也等差，即 2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 即 2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得 S20＝100． 【即学即练 3】(等间距等差)记等比数列 na ，若�4 = 1, �13 = 81，则�10 =( ) A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D【解】由等比数列的性质，可得�1 = �4, �2 = �7, �3 = �10, �4 = �13成等比数列， 其公比满足：(�')3 = �4 �1 = 27，所以�' = 3，所以�10 = �1 × (�')2 = 1 × 32 = 9.故选：A. 【即学即练 4】(奇数项和与偶数项和)已知等差数列{an}的公差为 4，其项数为偶数，所有奇数项的和为 15，所有偶数项的和为 55，则这个数列的项数为( ) A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B【解】因为 d＝4，S 奇＝15，S 偶＝55， 所以 S 偶－S 奇＝ n 2 d＝2n＝40，所以 n＝20，故选 B． 【即学即练 5】两个等差数列 �� , �� 的前 n项和分别为：��, ��，已知 �� �� = 7�+2 �+3，则 �7 �7 =___， �3 �5 =___. 【答案】 93 16 ； 15 4 【解】(1) �7 �7 = �13 �13 = 7×13+2 13+3 = 93 16.故答案为: 93 16 . (2)因为�� �� = 7�+2 �+3 = 7� 2+2� �2+3� ；故可设 �� = (7�2 + 2�)�, �� = (�2 + 3�)�, 则 �3 = �3 − �2 = (7 × 9 + 6)� − (7 × 4 + 4)� = 69� − 24� = 45�, �5 = �5 − �4 = (25 + 15)� − (16 + 12)� = 40� − 28� = 12�, 所以 �3 �5 = 45� 12� = 15 4 .故答案为: 93 16 ； 15 4 . 知识点 05 判断、证明等差数列 1.判断、证明等比数列常用的方法： (1)定义法：��+1 − �� = �(n∈N*)或 an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)⇔数列 �� 是等差数列． 第 4 页 共 22 页 【提醒】用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解． 比如，满足 an－an－1＝1(n≥3)的数列{an}并不能判定为等差数列，因为不能确定起始项 a2－a1是否等于 1． (2)等差中项法：2��+1 = �� + ��+2(� ∈ �∗) ⇔数列 �� 是等差数列． (3)通项公式法：�� = �� + �⇔数列 �� 是等差数列． (4)前 n项和公式法：�� = ��2 + �� ⇔数列 �� 是等差数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 2.判断数列不是等差数列：只需判断存在连续三项不成等差数列即可． 【即学即练】已知数列 �� 的前�项和为��，若�� + 2 = 2�� � ∈ N∗ ，则有( ) A． �� 为等差数列 B． �� 为等比数列 C． �� 为等差数列 D． �� 为等比数列 【答案】B【分析】AB选项，根据�� = �1, � = 1 �� − ��−1, � ≥ 2 ，求出 �� 为公比为−1的等比数列，A错误，B 正确；CD选项，再求出�1 = 2, �2 = 0, �3 = 2，根据等差数列和等比数列的定义得到 CD错误. 【解】AB选项，当� = 1 得�1 + 2 = 2�1，解得�1 = 2， �� + 2 = 2�� � ∈ N∗ ①，当� ≥ 2时，��−1 + 2 = 2��+1，② 式子①-②得�� − ��−1 = 2��，故�� =− ��−1， 所以 �� 为 2, − 2,2, − 2⋯，是公比为−1的等比数列，A错误，B正确； CD选项，由于�1 = 2, �2 = 0, �3 = 2，故�2 − �1 ≠ �3 − �2，故 �� 不是等差数列， 由于�2 = 0，故 �� 不是等比数列，CD错误.故选：B 知识点 06 等差数列与函数的关系 1.等差数列与一次函数的关系 �� = �1 + (� − 1)� = �� + �(其中 k = d, t = �1 − �) 当 d ≠ 0时，��是关于 n的一次函数；当 d > 0 时，数列为递增数列；当 d < 0 时，数列为递减数列． 2.等差数列前 n项和公式可变形为�� = � 2 �2 + (�1 − � 2 )� = ��2 + ��.当 d ≠ 0时，它是关于 n的二次函数且 常数项为 0．利用二次函数性质可研究其最值。 3.求等差数列{an}的前 n项和 Sn的最值的方法 【即学即练】已知��为等差数列 �� 的前 n 项和，且�2 = 35，�3 = 13，则当��取最大值时，n=____. 第 5 页 共 22 页 【答案】7【解】方法一：设 �� 公差为 d，由题意得 2�1 + � = 35, �1 + 2� = 13, ⇒ �1 = 19,� =− 3, 则�� = 19� + �(�−1) 2 × ( − 3) =− 3 2 �2 + 41 2 � =− 3 2 (� − 41 6 )2 + 1681 24 ，由 n ∈ N∗，所以 n = 7 时，��取得最大值. 注：也可用对称轴 n = 41 6 = 7 − 1 6 ，但 n ∈ N∗，所以 n = 7时，��取得最大值. 方法二：设 �� 公差为 d，由题意得 2�1 + � = 35, �1 + 2� = 13, ⇒ �1 = 19,� =− 3,则�� = �3 + (� − 3)� =− 3� + 22， 令 −3� + 22 ≥ 0, −3(� + 1) + 22 ≤ 0, ⇒ 19 3 ≤ � ≤ 22 3 ，由 n ∈ N∗，所以 n = 7； 即数列 �� 的前 7 项均为正数，从第 8 项起各项均为负数， 所以 n = 7 时，��取得最大值.故答案为：7. 题型 01 等差数列的基本量计算 【典例 1】(2025 届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测 T3)记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 3 34, 6a S  ，则 12S  ( ) A. 112 B. 122 C. 132 D. 142 【答案】C【解】 3 1 3 1 2 4 3 3 6 a a d S a d        ，解得 1 0 2 a d    ，所以   12 1 12 12 1 12 132 2 S a d      ；故选：C 【变式 1-1】(2025 届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考 T4)记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 3 9 6 714, 63a a a a   ，则 7S  ( ) A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 【答案】A【解】  na 是等差数列， 3 9 62 14a a a    ，即 6 7a  ，所以 6 77 6 9,a aa a   故公差 7 6 1 62, 5 3d a a a a d        ，  7 6 77 3 2 21 2 S        ，故选：A 【变式 1-2】(2025 届四川省成都市石室成飞中学高三上 8 月月考 T4)设 nS 为等差数列 na 的前 n项和，已 知 3 86, 72a S  ，则 6a 的值为( ) A. 64 B. 14 C. 12 D. 3 【答案】C【解】利用等差数列求和公式，知道 1 88 8 722 a aS    ，即 1 8 18a a  . 1 8 3 618a a a a    ，且 3 6a  ，则 6 12a  ；故选：C. 【变式 1-3】(2025·浙江金华·二模)已知数列 na 为等差数列， nS 为其前 n项和，满足 3 5S  ， 12 32S  ，则 8a 的值为 . 【答案】3【分析】设出公差，根据求和公式建立方程组，求得首项与公差，利用通项，可得答案. 【解】设等差数列 na 的公差为 d，则 3 1 12 1 3 23 5 2 12 1112 32 2 S a d S a d           ，化简可得 1 1 3 3 5 6 33 16 a d a d      ，解得 1 13 9 2 9 a d       ， 第 6 页 共 22 页 所以 8 1 7 3a a d   .故答案为：3 . 题型 02 等差数列的角标和性质 【典例 2】已知数列 na 是等差数列， 3 5 1 2 2 a a  ，则 5 10 8a a a   ( ) A．4 B． 2 C． 4 D． 8 【答案】C【分析】利用下标和性质计算可得. 【解】因为 3 5 1 2 2 a a  ，则 3 52 4a a  ，又 5 3 72a a a  ，则  3 3 7 4a a a   ，解得 7 4a   ， 所以 5 10 8 7 8 8 7 4a a a a a a a        .故选：C 【变式 2-1】如果等差数列 na 中， 3 4 5 12a a a   ，那么 1 2 7a a a       ( ) A．14 B．12 C．28 D．36 【答案】C【解】∵ 3 4 5 12a a a   ，∴ 43 12a  ，则 4 4a  ，又 1 7 2 6 3 5 42a a a a a a a      ， 故 1 2 7 47 28a a a a        .故选:C. 【变式 2-2】(2024·广东广州·模拟预测)在等差数列 na 中，若 2 5 19 22 28a a a a    ，则 12a  ( ) A．45 B．6 C．7 D．8 【答案】C【分析】利用等差数列的性质求解. 【解】因为    2 5 19 22 2 22 5 19 124 28a a a a a a a a a         ，所以 12 7a  .故选：C 【变式 2-3】设 na 是等比数列，且 1 2 3 1a a a   ， 2 3 4 2a a a   ，则 5 6 7a a a   ． 【答案】16【分析】利用等比数列通项的性质求解即可． 【解】因为 na 是等比数列，设其公比为q， 所以 2 3 4 1 2 3 2a a a q a a a       ，则 45 6 7 1 2 3 16a a a q a a a       ，所以  5 6 7 1 2 316 16a a a a a a      .故答案为：16 题型 03 等差数列的片段和性质 【典例 3】(2025 届湖南省宁远县三中等高三上入学联考 T4)等差数列 na 中，�3 + �5 + �7 + �9 + �11 = 100， 则�1 + �13 =( ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C【解】由题意 5�7 = 100，所以�7 = 20，所以�1 + �13 = 2�7 = 40.故选：C. 【变式 3-1】(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T4)等差数列 na 前 n项和为 nS ，若 5 1011, 24S S  ， 则 15S  ( ) A. 34 B. 39 C. 42 D. 45 【答案】B【解】由�5, �10 − �5, �15 − �10成等差数列， 则2(�10 − �5) = �5 + (�15 − �10)，即 2(24 − 11) = 11 + (S15 − 24)，故�15 = 39.故选：B 【变式 3-2】(2025 届四川省巴中市高三零诊考试 T4) nS 是等差数列 �� 前 n项和，若 4 812, 40S S  ，则 12S  ( ) 第 7 页 共 22 页 A. 44 B. 56 C. 68 D. 84 【答案】D【解】由题意可得 4S ， 8 4S S ， 12 8S S 成等差数列，所以  8 4 4 12 82 S S S S S    ， 因为 4 12S  ， 8 40S  ，则 1256 12 40S   ，解得 12 84S  ；故选：D. 【变式 3-3】设等差数列 �� 的前 n 项和为��，若�3 = 9，�6 = 36，则�7 + �8 +⋯+ �15 =______ 【答案】189【解】由等差数列性质知：�3，�6 − �3, �9 − �6, �12 − �9, �15 − �12也成等差数列. 其公差为�' = (�6 − �3) − �3 = (36 − 9) − 9 = 18 所以�3，�6 − �3, �9 − �6, �12 − �9, �15 − �12依次是：9、27、45、63、81； 所以�7 + �8 +⋯+ �15 = �15 − �6 = (�15 − �12) + (�12 − �9) + (�9 − �6) = 81 + 63 + 45 = 189. 故答案为：189. 题型 04 奇数项和与偶数项和 【典例 4】已知等差数列 na 的项数为奇数，且奇数项的和为 40，偶数项的和为 32，则 5a  ______. 【答案】8【解】设等差数列{ }na 有奇数项 1k 项， *( )k N ，偶数项为k项，公差为d． 奇数项和为 40，偶数项和为 32， 1 3 2 140 ka a a     ， 2 4 232 ka a a   ，  1 2 1 1 ( 1)( )40 ( 1) 2 k k k a a k a       ，  2 2 132 2 k k k a a k a      ；即 40 1 32 k k   ，解得： 4k 即等差数列{ }na 共9项，且  1 99 5 9 9 72 5 a a S a      ； 5 8a  ；故答案为：8 【变式 4-1】已知等差数列 na 的前 30 项中奇数项的和为A，偶数项的和为 B，且 45B A  ，2 615A B  ， 则 na  ( ) A．3 2n B．3 1n  C．3 1n D．3 2n  【答案】B【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【解】设等差数列的公差为d ，首项为 1a ， 则 15 45B A d   ，所以 3d  ， 因为 2 615A B  ，即 2 45 615A A   ，则 660A  ， 等差数列的奇数项是以 1a 为首项， 2d为公差的等差数列，等差数列 na 的前 30 项中奇数项有 15 项， 所以 1 15 1415 6 660 2 A a     ，得 1 2a  ， 所以    1 1 2 3 1 3 1na a n d n n        .故选：B 【变式 4-2】已知等差数列 na 共有 2 1n  项，奇数项之和为 60，偶数项之和为 54，则 n  ． 【答案】10【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【解】奇数项有 n项，偶数项有 n 1 项， 所以奇数项和为  1 2 1 2 n n n a a na   ，偶数项和为     2 2 2 1 1 2 n n n a a n a     ， 故 60 1 54 n n   ，解得 10n  .故答案为：10 第 8 页 共 22 页 【变式 4-3】(2024 黑龙江三模)已知等差数列 na 的公差 0d  ， 2a 与 8a 的等差中项为 5，且 4 6 24a a  . (1)求数列 na 的通项公式；(2)设 2 , 1 , n n n n a n b n a a       为奇数， 为偶数，求数列 nb 的前 20 项和 20T . 【分析】(1)根据等差中项求出 5 5a  ，再根据 4 6 24a a  求出公差d ，最后根据等差数列的通项公式，求出 na 的通项公式；(2)先写出 nb ，对 n为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出 20T . 【解】(1)因为 na 为等差数列，且 2a 与 8a 的等差中项为 5， 所以 2 8 52 5 2a a a    ，解得 5 5a  ， 因为 4 6 24a a  ，所以 (5 )(5 ) 24d d   ，解得 1d   ， 因为 0d  ，所以 1d  ，所以 5 ( 5) 5 ( 5)n n d n na a       ， 故数列 na 的通项公式为 na n ； (2)由题知， , 1 , ( 2) n n n b n n n      为奇数， 为偶数， 即 , 1 1 1 , 2 2 n n n b n n n         为奇数， 为偶数， 所以 20 1 2 3 4 19 20T b b b b b b       1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 19 2 2 4 2 4 6 2 20 22                                1 19 10 1 1 1 5100 2 2 2 22 22 2205 22              ， 故数列 nb 的前 20 项和 20T 为 220522 . 题型 05 两个等差数列的关系 【典例 5】设等差数列 �� , �� 的前 n 项和分别为：��, ��，且 �� �� = 2�+1 3�−2，则 �5+�11 �4+�12 =______. 【答案】 31 43 【解】因为 �� , �� 都是等差数列，所以 �� �� = �2�−1 �2�−1 所以. �5+�11 �4+�12 = 2�8 2�8 = �8 �8 = �15 �15 = 2×15+1 3×15−2 = 31 43；故答案为： 31 43 【变式 5-1】两个等差数列 �� , �� 的前 n 项和分别为：��, ��，已知 �� �� = 3�+1 2�−3，则 �3 �3 =______. 【答案】 16 7 【解】因为 �� , �� 都是等差数列，所以 �� �� = �2�−1 �2�−1 所以 �3 �3 = �5 �5 = 3×5+1 2×5−3 = 16 7；故答案为： 16 7 . 【变式 5-2】两个等差数列 �� , �� 的前 n 项和分别为：��, ��，已知 �� �� = 3�+2 �+2，则 �3 �2 =______. 【答案】 31 8 【解】 �� �� = 3�+2 �+2 = 3� 2+2� �2+2� ，所以设 �� = (3�2 + 2�)� �� = (�2 + 2�)� ⇒ �3 = (3 × 9 + 4)� = 31�, �2 = (4 + 4)� = 8�, ⇒ �3 �2 = 31 8 ； 故答案为： 31 8 . 【变式 5-3】已知数列 �� , �� 都是公差为 1的等差数列，其首项分别为�1, �1，且�1 + �1 = 8，��是正整数， 设�� = ���(� ∈ � ∗)，则数列 �� 的前 n项和�� = ． 【答案】 �2+13� 2 【解】由已知可得： �� = �1 + � − 1, �� = �1 + � − 1, 所以�� = �1 + �� − 1 = �1 + (�1 + � − 1) − 1 = �1 + �1 + � − 2 = 8 + � − 2 = � + 6； 第 9 页 共 22 页 所以 �� 为�1 = 7,d3 = 1 的等差数列， 所以�� = � × 7+ �(�−1) 2 × 1 = � 2+13� 2 ．故答案为： �2+13� 2 ． 题型 06 判断、证明等差数列 【典例 6】已知数列 na 满足 1 2 3 a  ，  *1 22 3 n n n aa n a     N ． 证明： 1 1na       是等差数列，并求出 na 的通项 na ． 【解】由 1 2 2 3 n n n aa a    ，可得 1 11 2 3 n n n aa a     ， ∴   1 2 21 1 1 1 1 13 2 1 1nn n n n n aa a a a a            ，即 1 1 1 2 1 1n na a      ，∵ 1 2 3 a  ，即 1 1 3 1a    ， ∴ 1 1na       是以 3 为首项， 2 为公差的等差数列，∴ 1 2 1 1n n a     ，即 2 2 1n na n   ． 【变式 6-1】已知数列 �� 各项为正数， �� 满足��2 = ����+1，�� + ��+1 = 2��+1，则( ) A． �� 是等差数列 B． �� 是等比数列 C． �� 是等差数列 D． �� 是等比数列 【答案】C【分析】可知数列 �� 的每一项都是正数，由已知条件可得出 �� + ��+2 = 2 ��+1，结合等差 中项法判断可得出结论. 【解】因为数列 �� 各项为正数， �� 满足��2 = ����+1，�� + ��+1 = 2��+1， 故对任意的� ∈ �∗，��+1 = ��+��+1 2 > 0，则�� = ��2 ��+1 > 0，所以，数列 �� 的每一项都是正数， 所以， ����+1 + ��+1��+2 = 2��+1，可得 �� + ��+2 = 2 ��+1， 由等差中项法可知，数列 �� 是等差数列，故选：C. 【变式 6-2】(多选)(2023安徽芜湖模拟)下面是关于公差� > 0 的等差数列 �� 的四个命题，其中正确的有( ) A．数列 �2�−1 是等差数列 B．数列 2�� − 1 是等差数列 C．数列 �� � 是递增数列 D．数列 �� + 3�� 是递增数列 【答案】ABD【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差� > 0，逐一写出四个选项的通项公式， 利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可. 【解】设等差数列的首项为�1，所以�� = �1 + (� − 1)� = �� + �1 − �， 对于 A，由�� = �� + �1 − �，则�2�−1 = �(2� − 1) + �1 − � = 2�� + �1 − 2�，所以�2�+1 − �2�−1 = 2�， 即数列 �2�−1 是等差数列为公差为 2�的等差数列，故 A正确； 对于 B，由�� = �� + �1 − �，所以 2�� − 1 = 2�� + 2�1 − 2� − 1， 则 2��+1 − 1 − 2�� − 1 = 2�(� + 1) + 2�1 − 2� − 1 − 2�� + 2�1 − 2� − 1 = 2�， 所以数列 2�� − 1 是以公差为 2�的等差数列，故 B正确； 对于 C，由�� = �� + �1 − �，可得 �� � = ��+�1−� � = � + �1−� � ， 当�1 − � ≥ 0时，数列 �� � 不是递增数列，故 C不正确； 对于 D，由�� = �� + �1 − �，可得�� + 3�� = 4�� + �1 − �， 第 10 页 共 22 页 所以 ��+1 + 3�(� + 1) − �� + 3�� = 4� > 0，所以数列 �� + 3�� 是递增数列，故 D正确；故选：ABD 【变式 6-3】(2024江苏南通二模)设数列 �� 的前�项和为��，若�� − 1 2 �� = �2 + 1，� ∈ �∗. (1)求�1，�2，并证明：数列 �� + ��+1 是等差数列；(2)求�20. 【答案】(1)�1 = 4，�2 = 2；(2)420【分析】(1)直接代入� = 1可得�1 = 4，再代入� = 2，结合�1的值求出 �2 = 2；再由�� − 1 2 �� = �2 + 1仿写出��−1 − 1 2 ��−1 = � − 1 2 + 1，作差后得到�� + ��−1 = 4� − 2，即可 证明结果.(2)由(1)知数列 ��+1 + �� 为等差数列，然后代入等差数列的前�项和公式求解即可. 【解】(1)当� = 1 时，由条件得�1 − 1 2 �1 = 2，所以�1 = 4. 当� = 2 时，由条件得 �1 + �2 − 1 2 �2 = 5，所以�2 = 2. 因为�� − 1 2 �� = �2 + 1，所以��−1 − 1 2 ��−1 = � − 1 2 + 1(� ≥ 2)， 两式相减得：�� − 1 2 �� + 1 2 ��−1 = 2� − 1，即�� + ��−1 = 4� − 2， 所以 ��+1 + �� − �� + ��−1 = 4 � + 1 − 2 − 4� − 2 = 4， (2)由(1)知�� + ��−1 = 4� − 2，所以�� + ��+1 = 4 � + 1 − 2 = 4� + 2， 所以数列 ��+1 + �� 为等差数列，首项为�1 + �2 = 6， 所以�20 = �1 + �2 + �3 + �4 +⋯+ �19 + �20 = 10× �1+�2 + �19+�20 2 ， 所以�20 = 4 × 2 − 2 + 4 × 4 − 2 +⋯+ 4 × 20 − 2 = 10× 6+78 2 = 420. 题型 07 等差数列的最值问题 【典例 7】已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则 Sn取得最大值时 n的值为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D【解】法一：设数列{an}的公差为 d，则由题意得， �1 + 5� + �1 + 7� = 6, (9�1 + 9×8 2 �) − (6�1 + 6×5 2 �) = 3,解得 �1 = 15, � =− 2, 所以 an＝－2n＋17，所以 a8＞0，a9＜0，所以 Sn取得最大值时 n的值是 8，故选 D． 法二：设数列{an}的公差为 d，则由题意得， �1 + 5� + �1 + 7� = 6, (9�1 + 9×8 2 �) − (6�1 + 6×5 2 �) = 3,解得 �1 = 15, � =− 2, 则 Sn＝15n＋ �(�−1) 2 × ( − 2)＝－(n－8)2＋64，所以当 n＝8时，Sn取得最大值，故选 D． 【变式 7-1】(2025 届成都市川师附中二诊模拟 T13)等差数列 na 的前 n项和为 nS ，公差为 d，已知 1 0a  且 12 7 0a d  ．则使 0nS  成立的最小正整数 n的值为______． 【答案】9【分析】先由 12 7 0a d  求得 1 2 7 d a  ，由 0nS  求得 n的取值范围，从而求得正确答案. 【解】因为 12 7 0a d  ， 1 2 7 d a  ，所以   21 1 1 1 8 2 7 7n n n d ana n aS n       ， 又 1 0a  ，由 21 1 8 0 7 7n aS n a n    ，可得  2 8 8 0n n n n    ，即 8n  ， 所以使 0nS  成立的最小正整数 n的值为 9；故答案为：9 【变式 7-2】(2025·山西临汾·二模)记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，公差 0d  ，且 2020 2021 0a a  ，则 nS 取 第 11 页 共 22 页 得最小值时 n为( ) A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【答案】C【分析】由题意可得数列 na 前 2020项全为负，从 2021开始为正，可得结论. 【解】因为公差 0d  ，所以数列 na 单调递增，所以 2020 2021a a ，又 2020 2021 0a a  ，所以 2020 20210, 0a a  ， 所以数列 na 前 2020项全为负，从 2021开始为正，所以前 2020项的和 2020S 为 nS 的最小值，故 2020n  . 故选：C. 【变式 7-3】设等差数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 12 0S  ， 13 0S  ，则以下选项中，最大的是( ) A． 12S B． 7S C． 6S D． 1S 【答案】C【解】因为 12 0S  ，所以    1 12 6 712 12= 0 2 2 a a a a     ，所以 6 7 0a a  ， 又因为 13 0S  ，所以  1 13 713 2 13= 0 2 2 a a a    ，所以 7 0a  ， 又 6 7 0a a  ，所以 6 0a  ， 所以 na 为递减数列，且前6项为正值，从第7项开始为负值， 所以   6maxnS S ，故选：C. 题型 08 含绝对值的等差数列求和问题 【典例 8】(2023·全国·高考真题)记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，已知 2 1011, 40a S  ． (1)求 na 的通项公式；(2)求数列 na 的前 n项和 nT． 【解】(1)设等差数列的公差为d， 由题意可得 2 1 10 1 11 10 910 40 2 a a d S a d          ，即 1 1 11 2 9 8 a d a d      ，解得 1 13 2 a d     ， 所以  13 2 1 15 2na n n     ， (2)因为   213 15 2 14 2n n n S n n      ， 令 15 2 0na n   ，解得 15 2 n ，且 *nN ， 当 7n 时，则 0na  ，可得 21 2 1 2 14n n n nT a a a a a a S n n                 ； 当 8n 时，则 0na  ，可得    1 2 1 2 7 8n n nT a a a a a a a a                         2 2 27 7 72 2 14 7 7 14 14 98n nS S S S S n n n n             ； 综上所述： 2 2 14 , 7 14 98, 8n n n nT n n n         . 【变式 8-1】记 nS 为等差数列 na 的前 n项和， 14 8 18S S  ， 2 10 0a a  ． (1)求数列 na 的通项公式；(2)求 100 1 k k a   的值． 第 12 页 共 22 页 【解】(1)设等差数列 na 的首项和公差分别为 1a、d， 由题意可知 14 8 1 1 1 14 13 8 714 8 18 2 2 2 10 0 S S a d a d a d             ， 化简得 1 1 22 119 18 2 10 0 a d a d      ，解得 1 2 10 d a    ， 所以  10 2 1 2 12na n n      ． (2)由(1)知：当 6, *n n N 时， 0na  ；当1 5, *n n  N 时， 0na  ， 所以         100 1 2 3 4 5 6 7 8 100 1 k k a a a a a a a a a a                         1 2 100 1 2 3 4 52a a a a a a a a                   100 5 100 99 5 42 100 10 2 2 5 10 2 2 2 S S                  1 0 0 0 9 9 0 0 6 0 8 9 6 0     ． 【变式 8-2】(2024 高三上陕西汉中期末)设等差数列 na 的前 n项和为 nS ， 5 3a  ， 5 35S  ． (1)求 na 的通项公式；(2)设数列 na 的前 n项和为 nT ，求 10T ． 【分析】(1)设出 na 的公差为d ，利用等差数列通项公式和前 n项和公式求解即可； (2)由(1)判断出 na 前六项为正，后四项为负，进而利用前 n项和公式求解即可. 【解】(1)设等差数列 na 的公差为d ， 5 3a  ， 5 35S  ， 5 1 5 1 4 3 5 45 35 2 a a d S a d         ，解得 1 11a  ， 2d   ， 故 1 ( 1) 13 2na a n d n     . (2)由(1)知 2 13na n   ， 2d   ， 6 1a  ， 7 1a   ， 2 (11 13 2 ) 12 2n n nS n n    ，  10 1 2 10 1 2 6 7 8 9 10T a a a a a a a a a a               6 10 6 6 102 52S S S S S      ． 【变式 8-3】已知 nS 是数列 na 的前 n项和， 2 n nS na ， 2 3a  ． (1)求数列 na 的通项公式；(2)若 16n nb a  ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 【分析】(1)利用 na 与 nS 的关系，结合累乘法即可求出数列 na 的通项公式； (2)分 6n  和 6n  利用等差数列的求和公式求解即可. 【解】(1)由 2 n nS na ，则 1 12 ( 1)n nS n a   ，两式相减得： 1 12 ( 1)n n na n a na    ，整理得： 1( 1) n nn a na  ， 即 2n  时， 1 1 n n a n a n    ，所以 2n  时， 1 3 2 1 2 2 1 2 2 3 3( 1) 2 3 1 n n n n n a a a n na a n a a a n n                  ， 又 1n  时， 1 12a a ，得 1 0a  ，也满足上式． 故 3( 1)na n  ． (2)由(1)可知： 16 |19 3 |n nb a n    ． 第 13 页 共 22 页 记 19 3nC n  ，设数列 nC 的前 n项和 nT ． 当 6n  时， 2(16 19 3 ) 3 35 2 2n n n n nT      ； 当 6n  时， 1 2 6 7n nT C C C C C                    2 2 6 6 6 3 35 3 35 2042 102 2 2n n n n n nT T T T T                综上： 2 2 3 35 , 6 2 3 35 204, 6 2 n n n n T n n n        题型 09 等差数列综合问题 【典例 9】(2025 届成都市郫都区高三三模 T6)数列 1 na       是等差数列，且 2 4 1 1, 5 9 a a  ，数列 nb 的前 n项和为 nS ， 若 1n n nb a a  ，则使不等式 5 33n S  成立的 n的最小值为( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式求得 na ，进而得到 nb ，再利用裂项相消法求 nS ，解对应的不 等式即可得解. 【解】因为 1 na       为等差数列，且 2 4 1 1, 5 9 a a  ，则 2 4 1 15, 9 a a   ，所以其公差为 9 5 2 2 d   ， 1 2 1 1 5 2 3d a a      ，所以   1 3 1 2 2 1 n n n a       ，则 1 2 1n a n   ， 所以    1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3n n n b n n n a a n            ，则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 2 3 5 2 2 1 2 3 2 3 2 3 33n S n n n                           ， 又 *Nn ，解得 15n  ，即 n的最小值为16；故选：C. 【变式 9-1】(2025 届江西省多所学校第一次大联考 T10)下列函数中，存在数列 na 使得 1 2 3, ,a a a 和      1 2 3, ,f a f a f a 都是公差不为 0的等差数列的是( ) A.   tanf x x B.   2logf x x C.   2024f x x D.   1lg 1 xf x x    【答案】AD【解】该题可转化为判断选项所给函数与一次函数是否存在 3个交点，且其中一个交点是另外 两个交点的中点，即可满足题意， A选项，   tanf x x 为奇函数，过原点的直线与   tanf x x 有多个交点(包含原点)， 其中原点为两个对称交点的中点，满足题意，故 A正确； B选项，由于   2logf x x 与一次函数 y kx m  最多两个交点，不可能有三个交点，故 B错误； C选项，   2024f x x 为偶函数，且与二次函数图象形状类似，与一次函数 y kx m  最多两个交点，不可 能有三个交点，故 C错误； D选项，令 1 0 1 x x    ，解得 1 1x   ，故   1lg 1 xf x x    的定义域为  1,1 ， 第 14 页 共 22 页 又    1 1lg lg 1 1 x xf x f x x x           ，故   1lg 1 xf x x    为奇函数， 1 21 1 1 xt x x        在  1,1x  上单调递增，且 lgy t 在  0,t  上单调递增， 由复合函数单调性可知，  f x 在  1,1 上单调递增， 且  0 0f  ， 1x 时，   1lg 1 xf x x    趋向于， 故过原点的直线可以与奇函数   1lg 1 xf x x    存在三个交点，其中一个为原点， 且原点是另外两个交点的中点，故 D正确；故选：AD. 【变式 9-2】(2025 届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试 T5)已知数列 �� ，则 “  2 2 2 3n n na a a n n     N， ”是“数列 �� 是等差数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解】先判断充分性： 2 2 2 22 ,n n n n n n na a a a a a a         ， 令  2n k k  N ，则 2 2 2 2 2 2 4 2 ,k k k ka a a a a a        数列 �� 的偶数项成等差数列， 令  *2 1n k k  N ，则 2 1 2 1 2 1 2 3 3 1 ,k k k ka a a a a a          数列 �� 的奇数项成等差数列， 但数列 �� 不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3， ∴“  *2 2 2 3,n n na a a n n    N ”不是“数列 �� 是等差数列”的充分条件； 再判断必要性：若数列 �� 是等差数列，则 2 2 2 21 12 2 2 2 2 n n n n n n n n n n a a a a a aa a a a              ， 2 22 n n na a a    ，∴“  *2 2 2 3,n n na a a n n    N ”是“数列 �� 是等差数列”的必要条件； 综上，“  *2 2 2 3,n n na a a n n N     ”是“数列 �� 是等差数列”的必要不充分条件.故选：B. 【变式 9-3】(2025 届山东省招远二中等校高三上摸底联考 T8)已知实数 , ,a b c构成公差为 d 的等差数列，若 16, 0abc b  ，则实数 d 的取值范围为( ) A.   , 2 3 2 3,    B.   , 2 2,     C.   , 5 5,     D.   , 3 3,     【答案】A【解】因为实数 , ,a b c构成公差为 d 的等差数列， 所以  2 2, , 16a b d c b d abc b b d       ，所以 2 2 16 ( 0)d b bb   ， 构造函数       3 2 2 2 816 ( 0), b f b b b f b b b       ， 当  , 2b   时，   0f b  ，此时 ( )f b 单调递减，当  2,0b  时，   0f b  ，此时 ( )f b 单调递增， 所以 ( )f b 的最小值为  2 12f   ，所以    2 12, , , 2 3 2 3,d d          ；故选：A. 第 15 页 共 22 页 题型 10 等差数列的实际应用 【典例 10】从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二 个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气 日影长度之和为 85.5 尺，则谷雨这一天的日影长度为( ) A．5.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺 【答案】A【解】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二 个节气为： 1 2 3 12, , , ,a a a a ，且其公差为d， 依题意有： 1 4 7 31.5a a a   ， 1 2 9 85.5a a a    ， 4 5 31.5 85.510.5, 9.5 3 9 a a     ，公差 5 4 1d a a    ， 则 9 5 4 9.5 4 5.5a a d     ，所以谷雨这一天的日影长度为5.5尺，故选：A 【变式 10-1】现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为 0.5 升，最大的三只茶 壶容积之和为 2.5 升，则从小到大第 5 只茶壶的容积为( ) A．0.25 升 B．0.5 升 C．1 升 D．1.5 升 【答案】B【解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 1 2 9, ,a a a ， 由题意可得 1 2 3 7 8 90.5, 2.5a a a a a a      ， 所以 2 82 8 2 8 53 0.5,3 2.5 1, 0.52 a aa a a a a         ，故选：B 【变式 10-2】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、 己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法 是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比 如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新 开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023 年是癸卯年，请问： 在 100 年后的 2123 年为( ) A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【答案】A【解】由题意得：天干可看作公差为 10 的等差数列，地支可看作公差为 12 的等差数列， 由于100 10 10  ，余数为 0，故 100 年后天干为癸，由于100 12 8 4   ，余数为 4， 故 100 年后地支为未， 综上：100 年后的 2123 年为癸未年.故选：A . 【变式 10-3】《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞 生日自倍．”意思是今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每 天长高为前一天的两倍．若要使莞的长度是蒲的长度的 2倍，则需要的时间为( ) A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 【答案】A【解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， ∴蒲的生长构成首项为 4，公比为1 2 的等比数列，其前 n项和为 Sn＝ 4 1−(12) � 1−12 ＝8－( 1 2 )�−3， 第 16 页 共 22 页 又由莞第一天长高一尺，每天长高为前一天的两倍，则莞的生长构成首项为 1，公比为 2的等比数列， 其前 n项和为 Tn＝ 1×1－2n 1－2 ＝2n－1，又∵Tn＝2Sn，∴2n－1＝2× 8－( 1 2 )�−3 ，解得 n＝4或 n＝0(舍去)． 一、单选题 1.已知等差数列 na 满足 2 3 14a a  ，且 4 2 8a a  ，则首项 1a  ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可. 【解】设等差数列 na 的公差为d ，因为 2 3 14a a  ，且 4 2 8a a  ， 所以 2 3 1 4 2 2 3 14 2 8 a a a d a a d         ，所以 1 1 4 a d    .故选：A 2.(2024 吉林长春东北师大附中高三七模)在等差数列 na 中， 2a ， 5a 是方程 2 8 0x x m   的两根，则 na 的 前 6 项和为( ) A．48 B．24 C．12 D．8 【答案】B【分析】利用韦达定理确定 2 5 8a a  ，根据等差数列性质有 2 5 1 6 8a a a a    ，在应用等差数 列前 n项和公式即可求解. 【解】因为 2a ， 5a 是方程 2 8 0x x m   的两根，所以 2 5 8a a  ， 又因为 na 是等差数列，根据等差数列的性质有： 2 5 1 6 8a a a a    ， 设 na 的前 6 项和为 6S ，则  1 66 6 3 8 24 2 a a S       .故选：B 3.(2025·四川雅安·二模)记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 3 7 10a a  ， 5 9 65a a  ，则 n S n  ( ) A．14 n B． 2n  C．12 n D． 4n 【答案】D【分析】根据等差数列的性质求出 5a 与 9a 的值，进而求出首项 1a 和公差 d，再根据等差数列的前 n项和公式求出 nS ，最后得出 n S n 的表达式. 【解】已知{ }na 是等差数列，根据等差数列的性质可得 3 7 5 5 52 10a a a a a     ，则 5 5a  . 又因为 5 9 65a a  ，所以 95 65a  ，解得 9 13a  . 设等差数列{ }na 的公差为 d，根据等差数列通项公式 1 ( 1)na a n d   ，可得 5 1 9 1 4 5 8 13 a a d a a d        .解得 2d ， 1 3a   . 根据等差数列的前 n项和公式可得 2( 1)( 3) 2 3 ( 1) 4 2n n nS n n n n n n           . 将 2 4nS n n  代入 n S n 可得： 2 4 4nS n n n n n     . 故选：D. 4.(湖北武汉华师一 2024 届高三考前测试)已知数列 na 的前 n项和为 nS ，若 n S n       是等差数列，且 10 0S  ， 第 17 页 共 22 页 36 2 18S S  ，则 1a  ( ) A．1 B． 9 C．10 D． 10 【答案】B【分析】由 36 2 18S S  ，变形得 366 3 3S S  ，求得数列 n S n       的公差为1，再利用 10 0S  结合等 差数列的通项公式即可得解. 【解】设数列 n S n       的公差为d ，首项为 1a 由 36 2 18S S  ，两边同除以 6 得： 366 3 3S S  ， 3 3d  ，解得 1d  又 10 0S  ，即 10 1 9 010 S a d   ，解得 1 9a   ；故选：B 5.在等差数列 na 中，若 4 9 22 8a a a   ，则下列说法错误的是( ) A． 1 9a  B． 10 45S  C． nS 的最大值为 45 D．满足 0nS  的 n的最大值为19 【答案】D【解】设公差为 d，则  4 9 2 2 22 2 2 7 3 16 24 16 8a a a d a d a d d          ，解得： 1d   ； 对于 A，  1 2 8 1 9a a d      ，A正确； 对于 B， 10 1 10 910 90 45 45 2 S a d     ，B正确； 对于 C，     2 2 1 1 1 1 19 1 19 3619 2 2 2 2 2 2 8n n n n n S na d n n n n                   ， 当 9n  或10时，  max 1 1 361 45 2 4 8n S      ，C正确； 对于 D，由 2 1 19 0 2 2n S n n    得：0 19n  ，又 n N ，满足 0nS  的 n的最大值为18，D错误. 故选：D. 6.在等差数列 na 中，已知 1 0a  ，且 8 17S S ，则当 nS 取最大值时， n  ( ) A．10 B．11 C．12 或 13 D．13 【答案】C【解】因为在等差数列 na 中， 17 8 0S S  所以 9 10 11 12 13 14 15 16 17a a a a a a a a a         9 17a a       10 16 11 15 12 14 13 139 0a a a a a a a a         ， 所以 13 0a  ， 又因为 1 0a  ，所以可知等差数列为递减数列，且前 12 项为正，第 13 项以后均为负， 所以当 nS 取最大值时，n=12 或 13．故选：C． 7.(2025·山东临沂·二模)已知 na 为正项等差数列，若 3 74 8a a  ，则 1 3a a 的最大值为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C【分析】由题意求得 1 8 2 3 da  ，0 4 d ，进一步将所求转换为关于 d的二次式子即可求解. 第 18 页 共 22 页 【解】    3 7 1 1 14 4 2 6 3 2 8a a a d a d a d        ，解得 1 8 2 3 da  ，由于 na 为正项等差数列， 则 1 8 2 0 3 0 da d       ，解得0 4 d ，     1 3 8 2 8 48 2 8 2 2 3 3 9 d dd da a d              22 2 8 2 4 28 2 4 2 8 9 9 2 d dd d             ， 等号成立当且仅当 11, 2d a  ，所以 1 3a a 的最大值为 8.故选：C. 8.(山东省济南市山东师范大学附属中学 2025 届高三上学期高考模拟考试)设数列 na 满足 1 1a  ， 2 2 1 2n na a   ， 2 1 2 1n na a   ， *Nn ，则满足 4na n  的 n的最大值是( ) A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】C【分析】根据已知条件可得 2 3a  ， 2 1 2 1 1n na a   ， 2 2 2 1n na a   ，所以 2 1na  是首项为 1，公差 为 1 的等差数列， 2na 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，分别求得 n为奇数时， 1 2n na  ； n为偶数时， 2 2n na   ，代入不等式求出符合条件的 n的值即可得 n的最大值. 【解】数列 na 满足 1 1a  , 2 2 1 2n na a   , 2 1 2 1n na a   ，则 2 3a  ，  2 1 2 2 1 2 11 2 1 1n n n na a a a         ，即 2 1 2 1 1n na a   ，①  2 2 2 1 2 22 1 2 1n n n na a a a        ， 2 2 2 1n na a   ，② 当 n是奇数时, 由①得，  1 11 1 2 2n na n     ， 由 4na n  ，得 1 4 2 n n   ，解不等式，得 7 9n   ， 又 *Nn ,所以此时 n的最大值是 9； 当 n是偶数时, 由②得， 2 2n na   ， 由 4na n  ，得 2 42 n n   ，解不等式，得 4 12n   ， 而 *Nn ,所以此时 n的最大值是 12. 综上可知, n的最大值是 12.故选：C. 二、多选题 9.已知 na 为等差数列，前n项和为 nS ， 1 10a  ，公差 d = −2 ，则( ) A． 4S = 7S B．当 n = 6 或 7 时， nS 取得最小值 C．数列 na 的前 10 项和为 50 D．当 n≤2023 时， na 与数列 3 10m  (m N)共有 671 项互为相反数． 第 19 页 共 22 页 【答案】AC【解】对于 A，等差数列{ }na 中， 1 10a  ，公差 2d   ， 则 1 ( 1) 2 12na a n d n      ， 7 4 5 6 7 63 0S S a a a a      ，故 A 正确； 对于 B，由 A 的结论， 2 12na n   ，则 6 0a  ，由 d = −2 当 6n  时， 0na  ， 6 0a  ，当 6n  时， 0na  ， 则当 5n  或 6 时， nS 取得最大值，且其最大值为 (10 0) 6 30 2    ，B 错误； 对于 C, 1 2 10 1 2 6 7 8 9 10 6 2 4 6 8 30 20 50a a a a a a a a a a S                    ,故 C 正确， 对于 D，由 2023n≤ ，则 2023 4034na a   ， 则数列{ }na 中与数列{3 10}m  中的项互为相反数的项依次为： 16 ， 22 ， 28 ，， 4030 ， 可以组成以 16 为首项， 6 为公差的等差数列，设该数列为{ }nc ，则 10 6nc n   ， 若 10 6 4030nc n     ，解可得 670n  ，即两个数列共有 670 项互为相反数，D错误．故选：AC． 10.(2024·黑龙江吉林·二模)已知数列 na 是公差为 d的等差数列， nS 是其前 n项的和，若 1 0a  ， 2000 2024S S ， 则( ) A． 0d  B． 2012 0a  C． 4024 0S  D． 2012nS S 【答案】ACD【分析】由题意可得 2001 2024 0a a  ，从而可求出 1 2 4023 d a  ，即可判断 A；再结合等差数列 的性质及前n项和公式即可判断 BCD. 【解】因为 2000 2024S S ，所以 2001 2002 2024 0a a a    ， 所以  2001 202424 0 2 a a  ，所以 2001 2024 2012 2013 12 4023 0a a a a a d      ， 又因为 1 0a  ，所以 1 2 0 4023 d a   ，故 A 正确； 2012 1 1 1 1 4022 12011 0 4023 4023 a a d a a a      ，故 B 错误；    1 4024 2001 2 24 0024 4 0 4024 2012 2 S a a a a     ，故 C 正确； 因为 2012 2013 20120, 0a a a    ，所以当 2012n  时， 0na  ，当 2013n  时， 0na  ， 所以   2012minnS S ，所以 2012nS S ，故 D 正确.故选：ACD. 11.(2024 福建泉州模拟)等差数列 na 中， 2 7a   ， 5 1a   ，若 1 2n nS a a a    ，�� = �1�2⋯��，则( ) A． nS 有最小值， nT 无最小值 B． nS 有最小值， nT 无最大值 C． nS 无最小值， nT 有最小值 D． nS 无最大值， nT 有最大值 【答案】AD【分析】用等差数列通项公式求得�1, �，从而得到��, ��，利用它们的表达式进行分析即可得解. 【解】设等差数列 na 的公差为d ， 依题意，得 1 1 7 4 1 a d a d        ，解得 1 9 2 a d     ， 9 2( 1) 2 11na n n       ， 第 20 页 共 22 页   2 29 2 11 10 ( 5) 25 2n n n S n n n            ， 当 5n  时， nS 有最小值 25, nS 无最大值， 而 9 ( 7) ( 5) ( 3) ( 1) 1 3 (2 11)nT n              ， 易得 1 3 50, 0, 0T T T   ， 2 40, 0TT   ，且 4 2T T ，当 6n  时， 0nT  ， 当 4n  时， nT 有最大值， nT 无最小值.故选：AD. 三、填空题 12.已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 2 3a  ， 4 8S  ，则 5a  ． 【答案】 3 【分析】由 2 3a  ， 4 8S  ，求出 1a 和d ，再由等差数列的通项公式求出 5a . 【解】设数列 na 的公差为 d，由已知有 2 1 3a a d   ， 4 14 6 8S a d   ， 所以 1 5a  ， 2d   ，所以  5 1 34 5 4 2a da       . 故答案为： 3 . 13.一个有限项的等差数列，前 4项之和为 40，最后 4项之和是 80，所有项之和是 300，则此数列的项数 为 ． 【答案】20【解】由题意可得：前 4项之和为 1 2 3 4 40a a a a    ①， 后 4项之和为 1 2 3 80n n n na a a a      ②， 根据等差数列的性质①②可得： 1 14( ) 120 ( ) 30n na a a a     ， 由等差数列的前 n项和公式可得： 1 ( ) 15 300 2 n n n a aS n   ，所以 20n  ．故答案为：20. 14.(山东省济南市山东省实验中学 2024 届高三高考定心卷)若函数   lnf x x a  的四个零点成等差数列， 则a  ． 【答案】 ln3 2 【解】根据给定条件，求出函数 ( )f x 的 4 个零点，再借助对称性及等差中项列式求解即得. 【点睛】由 ( ) 0f x  ，得 | ln | ||x a ，由函数 ( )f x 有 4 个零点，得 0a  ，即有 ln | |x a  或 ln | |x a ， 则 ( )f x 的 4 个零点从小到大依次为 e , e , e , ea a a a   ， 依题意， e e 2ea a a   ，即 2e 3a  ，解得 ln 3 2 a  ，所以 ln 3 2 a  .故答案为： ln 3 2 四、解答题 15.设 nS 是等差数列 na 的前 n项和， 3 7a  ， 6 51S  . (1)求数列 na 的通项公式；(2)求数列 na 的前 n项和 nS . 【解】(1)不妨设等差数列的首项、公差分别为 1,a d， 由题意 3 1 2 7a a d   ， 6 1 6 56 51 2 S a d   ， 解得 1 1, 3 a d ， 所以      *1 1 1 3 1 3 2,na a n d n n n        N ， 第 21 页 共 22 页 即数列 na 的通项公式为  *3 2,na n n  N . (2)由(1)可知  *3 2,na n n  N ，所以       2 1 *3 1 3 , 2 2 2 2 n n n a a n n n nS n       N . 16.已知一个等差数列 �� 前 10项的和是 125 7 ，前 20项的和是− 250 7 . (1)求这个等差数列的前 n项和 nS .(2)求使得 nS 最大的序号 n的值. 【解】(1)由题意得 S10= 10 20 125 250, 7 7 S S   ，代入公式 1 ( 1) 2n n nS na d  ， 可得 1 1 12510 45 7 25020 190 7 a d a d          ，解得 1 55, 7 a d   ， 所以 2( 1) 5 75 55 ( ) 2 7 14n n n n nS n        . (2)由(1)可得 2 5 15 1125( ) 14 2 56n S n    ， 因为 Nn  ，所以当 7n  或 8n  时， nS 取得最大值，最大值为 1125 56 . 17.已知等差数列 �� 的前 n项和为 nS ，且 3 10 40a a   ，�5 =− 20. (1)求 �� 的通项公式；(2)求使 �� �� < 1 成立的 n的取值集合. 【解】(1)设等差数列 na 的公差为 d，由 3 10 40a a   ，�5 =− 20， 得 1 1 1 ( 2 )( 9 ) 40 5 10 20 a d a d a d         ，解得 1 8 2 a d     ， 所以 na 的通项公式为 8 2( 1) 2 10na n n      . (2)由(1)知 2 ( 1)8 2 9 2n n nS n n n      ， 由 �� �� < 1，得� 2−9� 2�−10 < 1，整理得 ( 1)( 10) 0 2( 5) n n n     ， 显然 1n  ，则由 ( 5)( 10) 0n n   ，解得 5 < � < 10， 所以满足条件的 n的取值集合为 6,7,8,9 . 18.已知等差数列 na 中， 3 7 4 616, 0a a a a    (1)求数列的通项公式 na (2)若 na 单调递增， 2 6n nb a  ，求数列 nb 前 n项和 nS 的最小值 【解】(1)设公差为 d， 因为 3 7 4 6 3 716, 0a a a a a a     ，则 3 7,a a 为方差 2 16 0x   的两根， 所以 3 74, 4a a   或 3 74, 4a a   ， 当 3 74, 4a a   时， 7 3 27 3 a ad    ，则  4 2 3 2 10na n n      ， 当 3 74, 4a a   时， 7 3 27 3 a ad     ，则  4 2 3 2 10na n n      ， 第 22 页 共 22 页 综上所述，�� = 2� − 10或 2 10na n   ； (2)若 na 单调递增，则�� = 2� − 10， 故 2 6 4 26n nb a n    ， 所以   222 4 26 2 24 2n n n S n n       ， 所以当 6n  时， nS 取得最小值 72 . 19.已知等差数列 na 满足 3 10a  ， 5 22 6a a  ． (1)求 na ；(2)数列 nb 满足 1 1 2 , 1 , 2 n n n n b a n       为奇数 为偶数 ， nT为数列 nb 的前 n项和，求 2nT ． 【解】(1)设等差数列 na 的公差为 d， 因为 3 10a  ， 5 22 6a a  ．则     1 1 1 2 10 4 2 6 a d a d a d        ，解得 1 2 4 a d    ， 所以  2 4 1 4 2na n n     ． (2)由(1)可得 12 , 2 3, n n nb n n     为奇数 为偶数 ， 则    2 1 3 2 1 2 4 2n n nT b b b b b b            2 2 21 2 2 1 5 4 3n n              4 21 4 1 4 2 n n n    2 4 12 3 n n n    ， 所以 22 4 12 2 3 n nT n n     . 专题1.2 等差数列 教学目标 1、理解等差数列概念，能够利用概念判断、证明等差数列；能够解等差中项问题； 2、掌握等差数列的通项公式与前n项和公式及变形，理解等差数列的通项公式、前n项和公式与一次函数(二次函数)的关系，能熟练进行等差数列的基本量计算； 3、掌握等差数列的常用性质及应用； 4、能在实际应用问题中发掘出等差数列关系，从而解决实际应用题； 教学重难点 1、重点：(1)等差数列的有关概念；(2)等差数列通项公式及变形；(3)等差数列的前n项和公式；(4)等差数列的常用性质． 2、难点：(1)片段和；(2)奇数项和与偶数项和；(3)等差数列前n项和的最值；(4)等差、等比数列综合. 知识点01 等差数列的有关概念 1、等差数列有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列叫做等差数列． 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示， 定义的表达式为(n∈N*)或an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项：如果a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项，此时，2A＝a+b. 【即学即练】在等差数列中，若，那么( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C【解】根据等差中项，可得，所以.故选：C. 知识点02 等差数列的通项公式 () 变形：(,)，即(,) 与函数关系：(一次函数) 【即学即练1】(通项公式)在等差数列中，，则( ) A．19 B．23 C．27 D．30 【答案】C【解】由，得.故选：B. 【即学即练2】(通项公式变形)在等差数列中，，则( ) A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D【解】由得，所以.故选：A. 知识点03 等差数列前n项和公式 ； 变形：.(二次函数常数项为0) 【即学即练】若等差数列前项和为，，则( ) A． B．10 C． D．12 【答案】A【解】由得，故；故选：C． 知识点04 等差数列的性质 1.角标和：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am+an＝ap+aq＝； 2.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等差数列，则{λan}，仍然是等比数列； 3.衍生等差数列 (1)等间距等差：等差数列{an}中，an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…也是等差数列，公差为； (2)片段和(等长度等差)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差，公差为， (3)算术平均值等差：也是等差数列，公差为；若;则：. 6.常用结论 (1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可列出关于a1和d的方程(组)求解． (2)等差数列涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，(知三求二)． (3)(i)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则－＝nd，. 注意：若项数为n(偶数)，则－，. (ii)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则()S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(b). (iii)若项数为，则，，，S2n－1＝(2n－1)an，. (4)若两个等差数列的前n项和分别为：，则：； (5)等差数列中，若，则． (6)等差数列中，若，则． (7)等差数列中，若，则． 【即学即练1】(角标和)(2024甲卷文T5)等差数列的前项和为，若，(    ) A． B． C．1 D． 【答案】D【解】，故；故选：D 【即学即练2】(片段和)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(　　) A．100 B．120 C．390 D．540 【答案】A【解】因为等差，所以S10，S20－S10，S30－S20也等差，即2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 即2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100． 【即学即练3】(等间距等差)记等比数列，若，则( ) A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D【解】由等比数列的性质，可得成等比数列， 其公比满足：，所以，所以.故选：A. 【即学即练4】(奇数项和与偶数项和)已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B【解】因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55， 所以S偶－S奇＝d＝2n＝40，所以n＝20，故选B． 【即学即练5】两个等差数列的前n项和分别为：，已知，则___，___. 【答案】；【解】(1).故答案为:. (2)因为；故可设 则所以.故答案为:；. 知识点05 判断、证明等差数列 1.判断、证明等比数列常用的方法： (1)定义法：(n∈N*)或an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)数列是等差数列． 【提醒】用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解． 比如，满足an－an－1＝1(n≥3)的数列{an}并不能判定为等差数列，因为不能确定起始项a2－a1是否等于1． (2)等差中项法：数列是等差数列． (3)通项公式法：数列是等差数列． (4)前项和公式法：数列是等差数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 2.判断数列不是等差数列：只需判断存在连续三项不成等差数列即可． 【即学即练】已知数列的前项和为，若，则有(    ) A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】B【分析】AB选项，根据，求出为公比为的等比数列，A错误，B正确；CD选项，再求出，根据等差数列和等比数列的定义得到CD错误. 【解】AB选项，当得，解得， ①，当时，，② 式子①-②得，故， 所以为，是公比为的等比数列，A错误，B正确； CD选项，由于，故，故不是等差数列， 由于，故不是等比数列，CD错误.故选：B 知识点06 等差数列与函数的关系 1.等差数列与一次函数的关系 (其中) 当时，是关于n的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列． 2.等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数且常数项为0．利用二次函数性质可研究其最值。 3.求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法 【即学即练】已知为等差数列的前n项和，且，，则当取最大值时，n=____. 【答案】7【解】方法一：设公差为d，由题意得 则，由，所以时，取得最大值. 注：也可用对称轴，但，所以时，取得最大值. 方法二：设公差为d，由题意得则， 令，由，所以； 即数列的前7项均为正数，从第8项起各项均为负数， 所以时，取得最大值.故答案为：7. 题型01 等差数列的基本量计算 【典例1】(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T3)记为等差数列的前项和，若，则( ) A. 112 B. 122 C. 132 D. 142 【答案】C【解】，解得，所以；故选：C 【变式1-1】(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T4)记为等差数列的前项和，若，则( ) A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 【答案】A【解】是等差数列，，即，所以 故公差，，故选：A 【变式1-2】(2025届四川省成都市石室成飞中学高三上8月月考T4)设为等差数列的前项和，已知，则的值为( ) A. 64 B. 14 C. 12 D. 3 【答案】C【解】利用等差数列求和公式，知道，即. ，且，则；故选：C. 【变式1-3】(2025·浙江金华·二模)已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为 . 【答案】3【分析】设出公差，根据求和公式建立方程组，求得首项与公差，利用通项，可得答案. 【解】设等差数列的公差为，则，化简可得，解得， 所以.故答案为：. 题型02 等差数列的角标和性质 【典例2】已知数列是等差数列，，则(    ) A．4 B． C． D． 【答案】C【分析】利用下标和性质计算可得. 【解】因为，则，又，则，解得， 所以.故选：C 【变式2-1】如果等差数列中，，那么(    ) A．14 B．12 C．28 D．36 【答案】C【解】∵，∴，则，又， 故.故选:C. 【变式2-2】(2024·广东广州·模拟预测)在等差数列中，若，则(    ) A．45 B．6 C．7 D．8 【答案】C【分析】利用等差数列的性质求解. 【解】因为，所以.故选：C 【变式2-3】设是等比数列，且，，则 ． 【答案】16【分析】利用等比数列通项的性质求解即可． 【解】因为是等比数列，设其公比为， 所以，则，所以.故答案为： 题型03 等差数列的片段和性质 【典例3】(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T4)等差数列中，， 则( ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C【解】由题意，所以，所以.故选：C. 【变式3-1】(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T4)等差数列前项和为，若，则( ) A. 34 B. 39 C. 42 D. 45 【答案】B【解】由成等差数列， 则，即，故.故选：B 【变式3-2】(2025届四川省巴中市高三零诊考试T4)是等差数列前n项和，若，则( ) A. 44 B. 56 C. 68 D. 84 【答案】D【解】由题意可得，，成等差数列，所以， 因为，，则，解得；故选：D. 【变式3-3】设等差数列的前n项和为，若，，则______ 【答案】189【解】由等差数列性质知：也成等差数列. 其公差为 所以依次是：9、27、45、63、81； 所以. 故答案为：189. 题型04 奇数项和与偶数项和 【典例4】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则______. 【答案】8【解】设等差数列有奇数项项，，偶数项为项，公差为． 奇数项和为40，偶数项和为32，，， ，；即，解得： 即等差数列共项，且；；故答案为：8 【变式4-1】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项， 所以，得， 所以.故选：B 【变式4-2】已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【解】奇数项有项，偶数项有项， 所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得.故答案为：10 【变式4-3】(2024黑龙江三模)已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式；(2)设求数列的前20项和. 【分析】(1)根据等差中项求出，再根据求出公差，最后根据等差数列的通项公式，求出的通项公式；(2)先写出，对为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出. 【解】(1)因为为等差数列，且与的等差中项为5， 所以，解得， 因为，所以，解得， 因为，所以，所以， 故数列的通项公式为； (2)由题知，即 所以 ， 故数列的前20项和为. 题型05 两个等差数列的关系 【典例5】设等差数列的前n项和分别为：，且，则______. 【答案】【解】因为都是等差数列，所以 所以.；故答案为： 【变式5-1】两个等差数列的前n项和分别为：，已知，则______. 【答案】【解】因为都是等差数列，所以 所以；故答案为：. 【变式5-2】两个等差数列的前n项和分别为：，已知，则______. 【答案】【解】，所以设； 故答案为：. 【变式5-3】已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，是正整数，设，则数列的前项和　　． 【答案】【解】由已知可得： 所以； 所以为,的等差数列， 所以．故答案为：． 题型06 判断、证明等差数列 【典例6】已知数列满足，． 证明：是等差数列，并求出的通项． 【解】由，可得， ∴，即，∵，即， ∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，即． 【变式6-1】已知数列各项为正数，满足，，则(    ) A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】C【分析】可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论. 【解】因为数列各项为正数，满足，， 故对任意的，，则，所以，数列的每一项都是正数， 所以，，可得， 由等差中项法可知，数列是等差数列，故选：C. 【变式6-2】(多选)(2023安徽芜湖模拟)下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有(    ) A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】ABD【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可. 【解】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以， 则， 所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得， 当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得， 所以，所以数列是递增数列，故D正确；故选：ABD 【变式6-3】(2024江苏南通二模)设数列的前项和为，若，. (1)求，，并证明：数列是等差数列；(2)求. 【答案】(1)，；(2)420【分析】(1)直接代入可得，再代入，结合的值求出；再由仿写出，作差后得到，即可证明结果.(2)由(1)知数列为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可. 【解】(1)当时，由条件得，所以. 当时，由条件得，所以. 因为，所以)， 两式相减得：，即， 所以， (2)由(1)知，所以， 所以数列为等差数列，首项为， 所以， 所以. 题型07 等差数列的最值问题 【典例7】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D【解】法一：设数列{an}的公差为d，则由题意得，解得 所以an＝－2n＋17，所以a8＞0，a9＜0，所以Sn取得最大值时n的值是8，故选D． 法二：设数列{an}的公差为d，则由题意得，解得 则Sn＝15n＋＝－(n－8)2＋64，所以当n＝8时，Sn取得最大值，故选D． 【变式7-1】(2025届成都市川师附中二诊模拟T13)等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为______． 【答案】9【分析】先由求得，由求得的取值范围，从而求得正确答案. 【解】因为，，所以， 又，由，可得，即， 所以使成立的最小正整数n的值为9；故答案为： 【变式7-2】(2025·山西临汾·二模)记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为(    ) A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【答案】C【分析】由题意可得数列前项全为负，从开始为正，可得结论. 【解】因为公差，所以数列单调递增，所以，又，所以，所以数列前项全为负，从开始为正，所以前项的和为的最小值，故. 故选：C. 【变式7-3】设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【解】因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以， 所以为递减数列，且前项为正值，从第项开始为负值， 所以，故选：C. 题型08 含绝对值的等差数列求和问题 【典例8】(2023·全国·高考真题)记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式；(2)求数列的前项和． 【解】(1)设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， (2)因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 【变式8-1】记为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式；(2)求的值． 【解】(1)设等差数列的首项和公差分别为、， 由题意可知， 化简得，解得， 所以． (2)由(1)知：当时，；当时，， 所以 ． 【变式8-2】(2024高三上陕西汉中期末)设等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求． 【分析】(1)设出的公差为，利用等差数列通项公式和前项和公式求解即可； (2)由(1)判断出前六项为正，后四项为负，进而利用前项和公式求解即可. 【解】(1)设等差数列的公差为， ，，，解得，， 故. (2)由(1)知，，，，， ． 【变式8-3】已知是数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和． 【分析】(1)利用与的关系，结合累乘法即可求出数列的通项公式； (2)分和利用等差数列的求和公式求解即可. 【解】(1)由，则，两式相减得：，整理得：， 即时，，所以时，， 又时，，得，也满足上式． 故． (2)由(1)可知：． 记，设数列的前项和． 当时，； 当时， 综上： 题型09 等差数列综合问题 【典例9】(2025届成都市郫都区高三三模T6)数列是等差数列，且，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式求得，进而得到，再利用裂项相消法求，解对应的不等式即可得解. 【解】因为为等差数列，且，则，所以其公差为， ，所以，则， 所以，则， 又，解得，即n的最小值为；故选：C 【变式9-1】(2025届江西省多所学校第一次大联考T10)下列函数中，存在数列使得和都是公差不为0的等差数列的是( ) A. B. C. D. 【答案】AD【解】该题可转化为判断选项所给函数与一次函数是否存在3个交点，且其中一个交点是另外两个交点的中点，即可满足题意， A选项，为奇函数，过原点的直线与有多个交点(包含原点)， 其中原点为两个对称交点的中点，满足题意，故A正确； B选项，由于与一次函数最多两个交点，不可能有三个交点，故B错误； C选项，为偶函数，且与二次函数图象形状类似，与一次函数最多两个交点，不可能有三个交点，故C错误； D选项，令，解得，故的定义域为， 又，故为奇函数， 在上单调递增，且在上单调递增， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 且，时，趋向于， 故过原点的直线可以与奇函数存在三个交点，其中一个为原点， 且原点是另外两个交点的中点，故D正确；故选：AD. 【变式9-2】(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T5)已知数列，则“”是“数列是等差数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解】先判断充分性：， 令，则数列的偶数项成等差数列， 令，则数列的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3， ∴“”不是“数列是等差数列”的充分条件； 再判断必要性：若数列是等差数列，则， ，∴“”是“数列是等差数列”的必要条件； 综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件.故选：B. 【变式9-3】(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T8)已知实数构成公差为的等差数列，若，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A【解】因为实数构成公差为的等差数列， 所以，所以， 构造函数， 当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增， 所以的最小值为，所以；故选：A. 题型10 等差数列的实际应用 【典例10】从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度为(    ) A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】A【解】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气为：，且其公差为， 依题意有：，， ，公差 ， 则，所以谷雨这一天的日影长度为尺，故选：A 【变式10-1】现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为(    ) A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升 【答案】B【解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ， 由题意可得， 所以，故选：B 【变式10-2】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为(    ) A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【答案】A【解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4， 故100年后地支为未， 综上：100年后的2123年为癸未年.故选：A . 【变式10-3】《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍．若要使莞的长度是蒲的长度的2倍，则需要的时间为(　　) A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 【答案】A【解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， ∴蒲的生长构成首项为4，公比为的等比数列，其前n项和为Sn＝＝8－， 又由莞第一天长高一尺，每天长高为前一天的两倍，则莞的生长构成首项为1，公比为2的等比数列， 其前n项和为Tn＝＝2n－1，又∵Tn＝2Sn，∴2n－1＝2×，解得n＝4或n＝0(舍去)． 一、单选题 1.已知等差数列满足，且，则首项(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可. 【解】设等差数列的公差为，因为，且， 所以，所以.故选：A 2.(2024吉林长春东北师大附中高三七模)在等差数列中，，是方程的两根，则的前6项和为(    ) A．48 B．24 C．12 D．8 【答案】B【分析】利用韦达定理确定，根据等差数列性质有，在应用等差数列前项和公式即可求解. 【解】因为，是方程的两根，所以， 又因为是等差数列，根据等差数列的性质有：， 设的前6项和为，则.故选：B 3.(2025·四川雅安·二模)记为等差数列的前项和，若，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据等差数列的性质求出与的值，进而求出首项和公差，再根据等差数列的前项和公式求出，最后得出的表达式. 【解】已知是等差数列，根据等差数列的性质可得，则. 又因为，所以，解得. 设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式，可得.解得，. 根据等差数列的前项和公式可得. 将代入可得：. 故选：D. 4.(湖北武汉华师一2024届高三考前测试)已知数列的前项和为，若是等差数列，且，，则(    ) A．1 B． C．10 D． 【答案】B【分析】由，变形得，求得数列的公差为，再利用结合等差数列的通项公式即可得解. 【解】设数列的公差为，首项为 由，两边同除以6得：，，解得 又，即，解得；故选：B 5.在等差数列中，若，则下列说法错误的是(    ) A． B． C．的最大值为 D．满足的的最大值为 【答案】D【解】设公差为，则，解得：； 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， 当或时，，C正确； 对于D，由得：，又，满足的的最大值为，D错误. 故选：D. 6.在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，(    ) A．10 B．11 C．12或13 D．13 【答案】C【解】因为在等差数列中， 所以， 所以， 又因为，所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负， 所以当取最大值时，n=12或13．故选：C． 7.(2025·山东临沂·二模)已知为正项等差数列，若，则的最大值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C【分析】由题意求得，，进一步将所求转换为关于的二次式子即可求解. 【解】，解得，由于为正项等差数列， 则，解得， ， 等号成立当且仅当，所以的最大值为8.故选：C. 8.(山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试)设数列满足，，，，则满足的的最大值是(    ) A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】C【分析】根据已知条件可得，，，所以是首项为1，公差为1的等差数列，是首项为2，公差为1的等差数列，分别求得为奇数时，；为偶数时，，代入不等式求出符合条件的的值即可得的最大值. 【解】数列满足,,，则， ，即，① ，，② 当是奇数时, 由①得，， 由，得，解不等式，得， 又,所以此时的最大值是9； 当是偶数时, 由②得，， 由，得，解不等式，得， 而,所以此时的最大值是12. 综上可知, 的最大值是12.故选：C. 二、多选题 9.已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则(    ) A．= B．当n = 6或7时，取得最小值 C．数列的前10项和为50 D．当n≤2023时，与数列(m N)共有671项互为相反数． 【答案】AC【解】对于A，等差数列中，，公差， 则，，故A正确； 对于B，由A的结论，，则，由d = −2 当时，，，当时，， 则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误； 对于C,,故C正确， 对于D，由，则， 则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为：，，，，， 可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则， 若，解可得，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．故选：AC． 10.(2024·黑龙江吉林·二模)已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD【分析】由题意可得，从而可求出，即可判断A；再结合等差数列的性质及前项和公式即可判断BCD. 【解】因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为，所以当时，，当时，， 所以，所以，故D正确.故选：ACD. 11.(2024福建泉州模拟)等差数列中，，，若，，则(    ) A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值 【答案】AD【分析】用等差数列通项公式求得，从而得到，利用它们的表达式进行分析即可得解. 【解】设等差数列的公差为， 依题意，得，解得，， ， 当时，有最小值无最大值， 而， 易得，，且，当时，， 当时，有最大值，无最小值.故选：AD. 三、填空题 12.已知等差数列的前n项和为，若，，则 ． 【答案】【分析】由，，求出和，再由等差数列的通项公式求出. 【解】设数列的公差为d，由已知有，， 所以，，所以. 故答案为：. 13.一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是300，则此数列的项数为 ． 【答案】20【解】由题意可得：前4项之和为①， 后4项之和为②， 根据等差数列的性质①②可得：， 由等差数列的前项和公式可得：，所以．故答案为：20. 14.(山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷)若函数的四个零点成等差数列，则 ． 【答案】【解】根据给定条件，求出函数的4个零点，再借助对称性及等差中项列式求解即得. 【点睛】由，得，由函数有4个零点，得，即有或， 则的4个零点从小到大依次为， 依题意，，即，解得，所以.故答案为： 四、解答题 15.设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和. 【解】(1)不妨设等差数列的首项、公差分别为， 由题意，， 解得， 所以， 即数列的通项公式为. (2)由(1)可知，所以. 16.已知一个等差数列前10项的和是，前20项的和是. (1)求这个等差数列的前n项和.(2)求使得最大的序号n的值. 【解】(1)由题意得S10=，代入公式， 可得，解得， 所以. (2)由(1)可得， 因为，所以当或时，取得最大值，最大值为. 17.已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式；(2)求使成立的的取值集合. 【解】(1)设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 所以的通项公式为. (2)由(1)知， 由，得，整理得， 显然，则由，解得， 所以满足条件的n的取值集合为. 18.已知等差数列中， (1)求数列的通项公式(2)若单调递增，，求数列前项和的最小值 【解】(1)设公差为， 因为，则为方差的两根， 所以或， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，或； (2)若单调递增，则， 故， 所以， 所以当时，取得最小值. 19.已知等差数列满足，． (1)求；(2)数列满足，为数列的前项和，求． 【解】(1)设等差数列的公差为d， 因为，．则，解得， 所以． (2)由(1)可得， 则 ， 所以. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 14 页 专题 1.2 等差数列 教学目标 1、理解等差数列概念，能够利用概念判断、证明等差数列；能够解等差中项问题； 2、掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式及变形，理解等差数列的通项公式、前 n项和公式与一次 函数(二次函数)的关系，能熟练进行等差数列的基本量计算； 3、掌握等差数列的常用性质及应用； 4、能在实际应用问题中发掘出等差数列关系，从而解决实际应用题； 教学重难点 1、重点：(1)等差数列的有关概念；(2)等差数列通项公式及变形；(3)等差数列的前 n项和公式；(4)等差 数列的常用性质． 2、难点：(1)片段和；(2)奇数项和与偶数项和；(3)等差数列前 n项和的最值；(4)等差、等比数列综合. 知识点 01 等差数列的有关概念 1、等差数列有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列叫做等差数列． 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d表示， 定义的表达式为��+1 − �� = �(n∈N*)或 an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． 第 2 页 共 14 页 (2)等差中项：如果 a，A，b成等比数列，那么 A叫做 a与 b的等比中项，此时，2A＝a+b. 【即学即练】在等差数列 na 中，若�3 = 10, �7 = 2，那么�5 =( ) A．4 B．5 C．6 D．7 知识点 02 等差数列的通项公式 �� = �1 + (� − 1)�(n ∈ N∗) 变形：�� = �� + (� −�)�(m ∈ N∗,n ∈ N∗)，即 d = �n−�m n−m (m ∈ N ∗,n ∈ N∗,m ≠ n) 与函数关系：�� = �� + �(一次函数) 【即学即练 1】(通项公式)在等差数列{ }na 中，�1 = 3, �4 = 15，则�6 =( ) A．19 B．23 C．27 D．30 【即学即练 2】(通项公式变形)在等差数列{ }na 中，�3 = 2, �5 = 4，则�13 =( ) A．12 B．13 C．14 D．15 知识点 03 等差数列前 n 项和公式 �� = ��1 + �(� − 1) 2 � = �(�1 + ��) 2 变形：�� = � 2 �2 + (�1 − � 2 )� = ��2 + ��.(二次函数常数项为 0) 【即学即练】若等差数列 na 前n项和为 nS ，�1 = 1, �4 = 5，则�7 =( ) A． 19 2 B．10 C． 21 2 D．12 知识点 04 等差数列的性质 1.角标和：若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am+an＝ap+aq＝2�k； 2.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等差数列，则{λan}， ��� + ��� 仍然是等比数列； 3.衍生等差数列 (1)等间距等差：等差数列{an}中，an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…也是等差数列，公差为 kd； (2)片段和(等长度等差)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差，公差为n2d， (3)算术平均值等差： �� � 也是等差数列，公差为 � 2 ；若�� = �� � ;则：�1 = �1，�' = 1 2 �, �� = �1 + �−1 2 . 6.常用结论 (1)在等差数列{an}中，a1与 d是最基本的两个量，一般可列出关于 a1和 d的方程(组)求解． (2)等差数列涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，(知三求二)． (3)(i)若等差数列{an}的项数为偶数 2n，则S偶－S奇＝nd， S 奇 S 偶 = �n �n+1 . 注意：若项数为 n(偶数)，则S偶－S奇 = n 2 d， S 奇 S 偶 = �n 2 �n+1 2 . 第 3 页 共 14 页 (ii)若等差数列{an}的项数为奇数 2n＋1，则(�)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(b) S 奇 S 偶 = n+1 n . (iii)若项数为 2 1n  ，则 ( 1) nS n a 偶 ， nS na奇 ， nS S a 奇 偶 ，S2n－1＝(2n－1)an， 1 S n S n   奇 偶 . (4)若两个等差数列 �� , �� 的前 n项和分别为：��, ��，则： �� �� = �2�−1 �2�−1 ； (5)等差数列 �� 中，若 �� = �, �� = �,(� ≠ �)，则��+� = 0． (6)等差数列 �� 中，若 �� = �, �� = �, (� ≠ �)，则��+� =− (� + �)． (7)等差数列 �� 中，若�� = ��(� ≠ �)，则��+� = 0． 【即学即练 1】(角标和)(2024 甲卷文 T5)等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 9 1S  ， 3 7a a  ( ) A． 2 B．73 C．1 D． 2 9 【即学即练 2】(片段和)已知等差数列{an}的前 10项和为 30，它的前 30项和为 210，则前 20项和为( ) A．100 B．120 C．390 D．540 【即学即练 3】(等间距等差)记等比数列 na ，若�4 = 1, �13 = 81，则�10 =( ) A．3 B．9 C．27 D．81 【即学即练 4】(奇数项和与偶数项和)已知等差数列{an}的公差为 4，其项数为偶数，所有奇数项的和为 15，所有偶数项的和为 55，则这个数列的项数为( ) A．10 B．20 C．30 D．40 【即学即练 5】两个等差数列 �� , �� 的前 n项和分别为：��, ��，已知 �� �� = 7�+2 �+3，则 �7 �7 =___， �3 �5 =___. 知识点 05 判断、证明等差数列 1.判断、证明等比数列常用的方法： (1)定义法：��+1 − �� = �(n∈N*)或 an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)⇔数列 �� 是等差数列． 【提醒】用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解． 比如，满足 an－an－1＝1(n≥3)的数列{an}并不能判定为等差数列，因为不能确定起始项 a2－a1是否等于 1． (2)等差中项法：2��+1 = �� + ��+2(� ∈ �∗) ⇔数列 �� 是等差数列． (3)通项公式法：�� = �� + �⇔数列 �� 是等差数列． (4)前 n项和公式法：�� = ��2 + �� ⇔数列 �� 是等差数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 2.判断数列不是等差数列：只需判断存在连续三项不成等差数列即可． 【即学即练】已知数列 �� 的前�项和为��，若�� + 2 = 2�� � ∈ N∗ ，则有( ) A． �� 为等差数列 B． �� 为等比数列 C． �� 为等差数列 D． �� 为等比数列 第 4 页 共 14 页 知识点 06 等差数列与函数的关系 1.等差数列与一次函数的关系 �� = �1 + (� − 1)� = �� + �(其中 k = d, t = �1 − �) 当 d ≠ 0时，��是关于 n的一次函数；当 d > 0时，数列为递增数列；当 d < 0时，数列为递减数列． 2.等差数列前 n项和公式可变形为�� = � 2 �2 + (�1 − � 2 )� = ��2 + ��.当 d ≠ 0时，它是关于 n的二次函数且 常数项为 0．利用二次函数性质可研究其最值。 3.求等差数列{an}的前 n项和 Sn的最值的方法 【即学即练】已知��为等差数列 �� 的前 n 项和，且�2 = 35，�3 = 13，则当��取最大值时，n=____. 题型 01 等差数列的基本量计算 【典例 1】(2025 届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测 T3)记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 3 34, 6a S  ，则 12S  ( ) A. 112 B. 122 C. 132 D. 142 【变式 1-1】(2025 届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考 T4)记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 3 9 6 714, 63a a a a   ，则 7S  ( ) A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 【变式 1-2】(2025 届四川省成都市石室成飞中学高三上 8 月月考 T4)设 nS 为等差数列 na 的前 n项和，已 知 3 86, 72a S  ，则 6a 的值为( ) A. 64 B. 14 C. 12 D. 3 【变式 1-3】(2025·浙江金华·二模)已知数列 na 为等差数列， nS 为其前 n项和，满足 3 5S  ， 12 32S  ，则 8a 第 5 页 共 14 页 的值为 . 题型 02 等差数列的角标和性质 【典例 2】已知数列 na 是等差数列， 3 5 1 2 2 a a  ，则 5 10 8a a a   ( ) A．4 B． 2 C． 4 D． 8 【变式 2-1】如果等差数列 na 中， 3 4 5 12a a a   ，那么 1 2 7a a a       ( ) A．14 B．12 C．28 D．36 【变式 2-2】(2024·广东广州·模拟预测)在等差数列 na 中，若 2 5 19 22 28a a a a    ，则 12a  ( ) A．45 B．6 C．7 D．8 【变式 2-3】设 na 是等比数列，且 1 2 3 1a a a   ， 2 3 4 2a a a   ，则 5 6 7a a a   ． 题型 03 等差数列的片段和性质 【典例 3】(2025 届湖南省宁远县三中等高三上入学联考 T4)等差数列 na 中，�3 + �5 + �7 + �9 + �11 = 100， 则�1 + �13 =( ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【变式 3-1】(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T4)等差数列 na 前 n项和为 nS ，若 5 1011, 24S S  ， 则 15S  ( ) A. 34 B. 39 C. 42 D. 45 【变式 3-2】(2025 届四川省巴中市高三零诊考试 T4) nS 是等差数列 �� 前 n项和，若 4 812, 40S S  ，则 12S  ( ) A. 44 B. 56 C. 68 D. 84 【变式 3-3】设等差数列 �� 的前 n 项和为��，若�3 = 9，�6 = 36，则�7 + �8 +⋯+ �15 =______ 题型 04 奇数项和与偶数项和 【典例 4】已知等差数列 na 的项数为奇数，且奇数项的和为 40，偶数项的和为 32，则 5a  ______. 【变式 4-1】已知等差数列 na 的前 30 项中奇数项的和为A，偶数项的和为 B，且 45B A  ，2 615A B  ， 则 na  ( ) 第 6 页 共 14 页 A．3 2n B．3 1n  C．3 1n D．3 2n  【变式 4-2】已知等差数列 na 共有 2 1n  项，奇数项之和为 60，偶数项之和为 54，则 n  ． 【变式 4-3】(2024 黑龙江三模)已知等差数列 na 的公差 0d  ， 2a 与 8a 的等差中项为 5，且 4 6 24a a  . (1)求数列 na 的通项公式；(2)设 2 , 1 , n n n n a n b n a a       为奇数， 为偶数，求数列 nb 的前 20 项和 20T . 题型 05 两个等差数列的关系 【典例 5】设等差数列 �� , �� 的前 n 项和分别为：��, ��，且 �� �� = 2�+1 3�−2，则 �5+�11 �4+�12 =______. 【变式 5-1】两个等差数列 �� , �� 的前 n 项和分别为：��, ��，已知 �� �� = 3�+1 2�−3，则 �3 �3 =______. 【变式 5-2】两个等差数列 �� , �� 的前 n 项和分别为：��, ��，已知 �� �� = 3�+2 �+2，则 �3 �2 =______. 【变式 5-3】已知数列 �� , �� 都是公差为 1的等差数列，其首项分别为�1, �1，且�1 + �1 = 8，��是正整数， 设�� = ���(� ∈ � ∗)，则数列 �� 的前 n项和�� = ． 题型 06 判断、证明等差数列 【典例 6】已知数列 na 满足 1 2 3 a  ，  *1 22 3 n n n aa n a     N ． 证明： 1 1na       是等差数列，并求出 na 的通项 na ． 第 7 页 共 14 页 【变式 6-1】已知数列 �� 各项为正数， �� 满足��2 = ����+1，�� + ��+1 = 2��+1，则( ) A． �� 是等差数列 B． �� 是等比数列 C． �� 是等差数列 D． �� 是等比数列 【变式 6-2】(多选)(2023安徽芜湖模拟)下面是关于公差� > 0的等差数列 �� 的四个命题，其中正确的有( ) A．数列 �2�−1 是等差数列 B．数列 2�� − 1 是等差数列 C．数列 �� � 是递增数列 D．数列 �� + 3�� 是递增数列 【变式 6-3】(2024江苏南通二模)设数列 �� 的前�项和为��，若�� − 1 2 �� = �2 + 1，� ∈ �∗. (1)求�1，�2，并证明：数列 �� + ��+1 是等差数列；(2)求�20. 第 8 页 共 14 页 题型 07 等差数列的最值问题 【典例 7】已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则 Sn取得最大值时 n的值为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【变式 7-1】(2025 届成都市川师附中二诊模拟 T13)等差数列 na 的前 n项和为 nS ，公差为 d，已知 1 0a  且 12 7 0a d  ．则使 0nS  成立的最小正整数 n的值为______． 【变式 7-2】(2025·山西临汾·二模)记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，公差 0d  ，且 2020 2021 0a a  ，则 nS 取 得最小值时 n为( ) A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【变式 7-3】设等差数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 12 0S  ， 13 0S  ，则以下选项中，最大的是( ) A． 12S B． 7S C． 6S D． 1S 题型 08 含绝对值的等差数列求和问题 【典例 8】(2023·全国·高考真题)记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，已知 2 1011, 40a S  ． (1)求 na 的通项公式；(2)求数列 na 的前 n项和 nT． 【变式 8-1】记 nS 为等差数列 na 的前 n项和， 14 8 18S S  ， 2 10 0a a  ． (1)求数列 na 的通项公式；(2)求 100 1 k k a   的值． 第 9 页 共 14 页 【变式 8-2】(2024 高三上陕西汉中期末)设等差数列 na 的前 n项和为 nS ， 5 3a  ， 5 35S  ． (1)求 na 的通项公式；(2)设数列 na 的前 n项和为 nT ，求 10T ． 【变式 8-3】已知 nS 是数列 na 的前 n项和， 2 n nS na ， 2 3a  ． (1)求数列 na 的通项公式；(2)若 16n nb a  ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 第 10 页 共 14 页 题型 09 等差数列综合问题 【典例 9】(2025 届成都市郫都区高三三模 T6)数列 1 na       是等差数列，且 2 4 1 1, 5 9 a a  ，数列 nb 的前 n项和为 nS ， 若 1n n nb a a  ，则使不等式 5 33n S  成立的 n的最小值为( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【变式 9-1】(2025 届江西省多所学校第一次大联考 T10)下列函数中，存在数列 na 使得 1 2 3, ,a a a 和      1 2 3, ,f a f a f a 都是公差不为 0的等差数列的是( ) A.   tanf x x B.   2logf x x C.   2024f x x D.   1lg 1 xf x x    【变式 9-2】(2025 届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试 T5)已知数列 �� ，则 “  2 2 2 3n n na a a n n     N， ”是“数列 �� 是等差数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【变式 9-3】(2025 届山东省招远二中等校高三上摸底联考 T8)已知实数 , ,a b c构成公差为 d 的等差数列，若 16, 0abc b  ，则实数 d 的取值范围为( ) A.   , 2 3 2 3,    B.   , 2 2,     C.   , 5 5,     D.   , 3 3,     题型 10 等差数列的实际应用 【典例 10】从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二 个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气 日影长度之和为 85.5 尺，则谷雨这一天的日影长度为( ) A．5.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺 【变式 10-1】现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为 0.5 升，最大的三只茶 壶容积之和为 2.5 升，则从小到大第 5 只茶壶的容积为( ) A．0.25 升 B．0.5 升 C．1 升 D．1.5 升 【变式 10-2】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、 己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法 是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比 如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新 开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023 年是癸卯年，请问： 在 100 年后的 2123 年为( ) 第 11 页 共 14 页 A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【变式 10-3】《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞 生日自倍．”意思是今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每 天长高为前一天的两倍．若要使莞的长度是蒲的长度的 2倍，则需要的时间为( ) A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 一、单选题 1.已知等差数列 na 满足 2 3 14a a  ，且 4 2 8a a  ，则首项 1a  ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.(2024 吉林长春东北师大附中高三七模)在等差数列 na 中， 2a ， 5a 是方程 2 8 0x x m   的两根，则 na 的 前 6 项和为( ) A．48 B．24 C．12 D．8 3.(2025·四川雅安·二模)记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 3 7 10a a  ， 5 9 65a a  ，则 n S n  ( ) A．14 n B． 2n  C．12 n D． 4n 4.(湖北武汉华师一 2024 届高三考前测试)已知数列 na 的前 n项和为 nS ，若 n S n       是等差数列，且 10 0S  ， 36 2 18S S  ，则 1a  ( ) A．1 B． 9 C．10 D． 10 5.在等差数列 na 中，若 4 9 22 8a a a   ，则下列说法错误的是( ) A． 1 9a  B． 10 45S  C． nS 的最大值为 45 D．满足 0nS  的 n的最大值为19 6.在等差数列 na 中，已知 1 0a  ，且 8 17S S ，则当 nS 取最大值时， n  ( ) A．10 B．11 C．12 或 13 D．13 7.(2025·山东临沂·二模)已知 na 为正项等差数列，若 3 74 8a a  ，则 1 3a a 的最大值为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 8.(山东省济南市山东师范大学附属中学 2025 届高三上学期高考模拟考试)设数列 na 满足 1 1a  ， 第 12 页 共 14 页 2 2 1 2n na a   ， 2 1 2 1n na a   ， *Nn ，则满足 4na n  的 n的最大值是( ) A．7 B．9 C．12 D．14 二、多选题 9.已知 na 为等差数列，前n项和为 nS ， 1 10a  ，公差 d = −2 ，则( ) A． 4S = 7S B．当 n = 6 或 7 时， nS 取得最小值 C．数列 na 的前 10 项和为 50 D．当 n≤2023 时， na 与数列 3 10m  (m N)共有 671 项互为相反数． 10.(2024·黑龙江吉林·二模)已知数列 na 是公差为 d的等差数列， nS 是其前 n项的和，若 1 0a  ， 2000 2024S S ， 则( ) A． 0d  B． 2012 0a  C． 4024 0S  D． 2012nS S 11.(2024 福建泉州模拟)等差数列 na 中， 2 7a   ， 5 1a   ，若 1 2n nS a a a    ，�� = �1�2⋯��，则( ) A． nS 有最小值， nT 无最小值 B． nS 有最小值， nT 无最大值 C． nS 无最小值， nT 有最小值 D． nS 无最大值， nT 有最大值 三、填空题 12.已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 2 3a  ， 4 8S  ，则 5a  ． 13.一个有限项的等差数列，前 4项之和为 40，最后 4项之和是 80，所有项之和是 300，则此数列的项数 为 ． 14.(山东省济南市山东省实验中学 2024 届高三高考定心卷)若函数   lnf x x a  的四个零点成等差数列， 则a  ． 四、解答题 15.设 nS 是等差数列 na 的前 n项和， 3 7a  ， 6 51S  . (1)求数列 na 的通项公式；(2)求数列 na 的前 n项和 nS . 第 13 页 共 14 页 16.已知一个等差数列 �� 前 10项的和是 125 7 ，前 20项的和是− 250 7 . (1)求这个等差数列的前 n项和 nS .(2)求使得 nS 最大的序号 n的值. 17.已知等差数列 �� 的前 n项和为 nS ，且 3 10 40a a   ，�5 =− 20. (1)求 �� 的通项公式；(2)求使 �� �� < 1成立的 n的取值集合. 第 14 页 共 14 页 18.已知等差数列 na 中， 3 7 4 616, 0a a a a    (1)求数列的通项公式 na (2)若 na 单调递增， 2 6n nb a  ，求数列 nb 前 n项和 nS 的最小值 19.已知等差数列 na 满足 3 10a  ， 5 22 6a a  ． (1)求 na ；(2)数列 nb 满足 1 1 2 , 1 , 2 n n n n b a n       为奇数 为偶数 ， nT为数列 nb 的前 n项和，求 2nT ．