15.2画轴对称的图形（第2课时 用坐标表示轴对称）（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

15.2（第2课时）用坐标表示轴对称（原卷版） 目 录 类型一、关于坐标轴对称的点的特征 1 类型二、坐标系中的轴对称作图 2 类型一、关于坐标轴对称的点的特征 1．如图，在平面直角坐标系中，与关于轴对称，点，的对应点分别为点．若点是边上一点，则点在上的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．已知两点关于x轴对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．点关于轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．小刚作点关于x轴的对称点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为（   ） A． B．4 C．8 D． 9．若点与点关于轴对称，则的值为（    ） A． B．2 C． D．6 10．在平面直角坐标系中，点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移4个单位，得到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 11．点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则 ． 13．若点与点关于 轴对称，则 ， ． 14．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 15．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为 ． 16．若点在轴上，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 17．点关于y轴的对称点的坐标是 ． 类型二、坐标系中的轴对称作图 18．在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的，并写出点、的坐标：______，______； (2)画出向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的；若点为边上一点，则点按如上平移后的对应点的坐标为______； (3)若点是轴上一点，且满足的面积等于4，则点的坐标为______． 19．如图，的顶点都在格点上，其中，，． (1)画出关于轴对称的图形并写出点，，的坐标； (2)画出关于直线 对称的，若点是内一点，请写出内对称点的坐标 20．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是单位1． (1)按要求作图：关于轴对称的图形； (2)求的面积． 21．如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)的面积是_____； (2)点在轴上，使的值最小，则点的坐标是_____； (3)点在轴上，且的面积等于的面积，求点的坐标． 22．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于y轴的对称图形． (2)将沿y轴向下平移3个单位长度得到，画出． (3)在y轴上作一点P，使的周长最小． 23．如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为，． (1)请你在如图所示的网格内作出平面直角坐标系； (2)请你作出关于轴对称的，并写出点、的坐标． 24．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），在直线l的左侧，其三个顶点A，B，C分别在网格的格点上． (1)请你在所给的网格中画出，使和关于直线l对称； (2)在直线l上找一点P，使得最小，请画出点P．（用虚线保留画图痕迹）） 25．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，的顶点均在格点(网格线的交点)上，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将 先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到 画出； (2)关于原点对称的三角形为 画出 (3)在x 轴上求作一点 P，使得 的周长最小，画出 并直接写出点 P 的坐标．(使用铅笔和直尺作图) 26．在边长为1的小正方形网格中建立如图的平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)将向下平移3个单位长度，画出平移后的（点，，的对应点分别为点，，）； (2)画出关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，），并写出点，的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标依次为、、、．四边形与四边形关于轴对称（点、、、的对应点分别为点、、、），请你在图中画出四边形，并写出点的坐标． 1．在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点． (1)点经过“优化变换”后的坐标为_____； (2)请判断点，是否为不动点？说明理由； (3)已知点为不动点，求的值． 2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为． (1)请画出关于y轴对称的； (2)在所给的网格图中确定一个格点P，使得，且与交于点Q，画出线段及点Q，并写出点P的坐标． 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出将先向下平移6个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的，并直接写出点的坐标： ； (2)若点D为上一点，轴，垂足为点E，当的长最小时，请通过作图，确定点D的位置． 4．尺规作图如图，甲乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，使甲、乙到天桥桥头的距离相等．（注意：天桥必须与街道垂直．） 1．如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.2（第2课时）用坐标表示轴对称（解析版） 目 录 类型一、关于坐标轴对称的点的特征 1 类型二、坐标系中的轴对称作图 6 类型一、关于坐标轴对称的点的特征 1．如图，在平面直角坐标系中，与关于轴对称，点，的对应点分别为点．若点是边上一点，则点在上的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案． 【详解】解：与关于轴对称，点是边上一点， 点在上的对应点的坐标． 故选：C． 2．已知两点关于x轴对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标特征． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求出a和b的值，进而计算的值． 【详解】解：∵两点关于x轴对称， ∴，． 将a和b代入得：， 故选：A． 3．点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标规律．根据对称的性质，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故选：D． 4．点关于轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是， 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：∵点关于轴对称的对称点的横坐标保持不变，纵坐标变为相反数， ∴对称点的坐标为， 故选：D． 6．点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：B． 7．小刚作点关于x轴的对称点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，根据关于x轴对称的点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即可得出答案． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点， ∴， 故选：D． 8．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键； 根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出x、y，进而可得答案. 【详解】解：∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴； 故选：C. 9．若点与点关于轴对称，则的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解m和n的值，再求和即可； 【详解】解：由题意得：，， 解得，； ∴， 故选：B． 10．在平面直角坐标系中，点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移4个单位，得到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解题关键．直接利用关于轴对称点的性质得出点坐标，再利用平移的性质得出答案． 【详解】解：点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点， ， 将点向下平移4个单位，得到点， 点的坐标是：． 故选：C． 11．点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴对称点的性质，根据对称规律，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接计算即可得出答案。 【详解】解：由关于x轴对称点的坐标特点可知，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 则点关于x轴的对称点的坐标为， 故选：A． 12．在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形—轴对称，根据题意得：，，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 故答案为：． 13．若点与点关于 轴对称，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了点关于坐标轴对称点的特点，根据关于轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数即可求解． 【详解】解：点与点关于 轴对称， ∴，， 故答案为：； ． 14．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点关于y轴的对称点的坐标的求法，由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质，可得点P关于y轴对称的点的坐标． 【详解】解：由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质， 可得点关于y轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出、，进而可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ． 故答案为：． 16．若点在轴上，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据轴上的点横坐标为求出的值，即得点的坐标，再根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求出点的坐标，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是， 故答案为：． 17．点关于y轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握对称点的坐标规律．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 类型二、坐标系中的轴对称作图 18．在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的，并写出点、的坐标：______，______； (2)画出向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的；若点为边上一点，则点按如上平移后的对应点的坐标为______； (3)若点是轴上一点，且满足的面积等于4，则点的坐标为______． 【答案】(1)见解析，，； (2)见解析，， (3)或． 【分析】本题考查了作图——轴对称和平移，轴对称和平移的性质，坐标与图形，绝对值方程，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图，再写出对应坐标即可； （2）根据平移的性质作图，再根据平移方式写出坐标即可； （3）设，根据三角形面积公式列绝对值方程，求出的值，即可得到坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作，，； （2）解：如图，即为所求作， 若点为边上一点，则点按如上平移后的对应点的坐标为， （3）解：点是轴上一点， 设， ， 的面积等于4， ， 解得：或， 点的坐标为或． 19．如图，的顶点都在格点上，其中，，． (1)画出关于轴对称的图形并写出点，，的坐标； (2)画出关于直线 对称的，若点是内一点，请写出内对称点的坐标 【答案】(1)图见解析，，， (2)图见解析， 【分析】本题考查了轴对称作图，坐标的计算，熟练掌握轴对称的性质和作图是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标变成相反数，确定对应的坐标，后连点构造图形即可； （2）根据关于平行x轴的直线对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标平移得到，确定对应的坐标，后连点构造图形即可． 【详解】（1）解：由，，， 则关于轴对称的图形对称点，，的坐标分别为：，，，画图如下： ． （2）解：根据题意，得直线，由，，， 得三点到直线的距离分别为3，1，5，故三点分别向下平移6，2，10单位长度得到对称点，，的坐标， 故，，，画图如下： 由点，得点P到直线的距离为，故点P向下平移得到点的坐标， 故，即． 20．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是单位1． (1)按要求作图：关于轴对称的图形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握关于轴对称的图形的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可得到关于轴对称的图形； （2）将补成长方形，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1，进一步根据进行求解即可． 【详解】（1）解：关于轴对称图形，如图所示， ∴即为所求作． （2）解：如图所示，将补成矩形，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1， ∴，，，，，， ∴， ， ， ， ∴， 即， ∴的面积为． 21．如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)的面积是_____； (2)点在轴上，使的值最小，则点的坐标是_____； (3)点在轴上，且的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了平面直角坐标系，轴对称性质，两点之间线段最短，利用网格求三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用三角形面积公式即可求解； （）作点关于轴对称点，连接，交轴于点，然后通过平面直角坐标系即可求解； （）设则，然后利用三角形面积公式得，解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：的面积是， 故答案为：； （2）解：如图，作点关于轴对称点，连接，交轴于点，则点即为所求； 理由：∵点与点关于轴对称 ∴， ∴， ∴点即为所求， 根据平面直角坐标系可知：点， 故答案为：； （3）解：设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． 22．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于y轴的对称图形． (2)将沿y轴向下平移3个单位长度得到，画出． (3)在y轴上作一点P，使的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称变换、平移变换、利用轴对称求最短路线等知识点，利用相关定义确定对应点位置是解题关键． （1）先根据轴对称的性质确定A、B、C的对应点，然后顺次连接即可； （2）先根据平移的性质确定A、B、C的对应点，然后顺次连接即可； （3）如图：连接与y轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：点P即为所求． 23．如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为，． (1)请你在如图所示的网格内作出平面直角坐标系； (2)请你作出关于轴对称的，并写出点、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，， 【分析】本题考查轴对称作图问题，坐标轴确定方法，图象的变换，看关键点的变换即可．关于坐标轴对称的点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． （1）易得轴在的右边一个单位，轴在C的下方个单位； （2）作出，，三点关于轴对称的三点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：顶点A、C的坐标分别为，， 作平面直角坐标系如图； （2）解：作关于轴对称的，如图，，． 24．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），在直线l的左侧，其三个顶点A，B，C分别在网格的格点上． (1)请你在所给的网格中画出，使和关于直线l对称； (2)在直线l上找一点P，使得最小，请画出点P．（用虚线保留画图痕迹）） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的有关知识，掌握轴对称的作图及性质是解题的关键． （1）根据轴对称性质得到对应点的位置，再顺次连接即可解答； （2）连接交直线l于P，此时最小； 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，点P即为所求作： 25．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，的顶点均在格点(网格线的交点)上，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将 先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到 画出； (2)关于原点对称的三角形为 画出 (3)在x 轴上求作一点 P，使得 的周长最小，画出 并直接写出点 P 的坐标．(使用铅笔和直尺作图) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点关于原点的对称点的位置，然后顺次连接即可； （3）找出点A关于x轴的对称点，连接与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接并根据图象写出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：如图所示，点P的坐标为． 26．在边长为1的小正方形网格中建立如图的平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)将向下平移3个单位长度，画出平移后的（点，，的对应点分别为点，，）； (2)画出关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，），并写出点，的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，， 【分析】本题考查的是画平移图形，画轴对称图形，轴对称的性质； （1）分别确定点，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）分别确定点，，关于轴对称的对称点，，，再顺次连接，根据，的位置可得其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； ∴，． 27．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标依次为、、、．四边形与四边形关于轴对称（点、、、的对应点分别为点、、、），请你在图中画出四边形，并写出点的坐标． 【答案】画图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，根据轴对称的性质找到点、、、的位置，进而画出图形，再根据图形写出点的坐标即可，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，四边形即为所求，由图可得，点的坐标为． 1．在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点． (1)点经过“优化变换”后的坐标为_____； (2)请判断点，是否为不动点？说明理由； (3)已知点为不动点，求的值． 【答案】(1) (2)点不是不动点；点是不动点 (3) 【分析】（1）根据“优化变换”求解即可； （2）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义可得答案，同理可判断是不动点； （3）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义建立方程可得答案． 【详解】（1）点向左平移5个单位长度为 点关于轴的对称点为； （2）解：把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与不重合，不是不动点； 把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与重合，是不动点； （3）解：点向左平移5个单位，可得对应点坐标为， ∵关于轴的对称点的坐标为：， 而点为不动点， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，新定义的理解，点的坐标平移和对称变换，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为． (1)请画出关于y轴对称的； (2)在所给的网格图中确定一个格点P，使得，且与交于点Q，画出线段及点Q，并写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点P的坐标为 【分析】本题考查作图-轴对称变换、作角等于已知角． （1）分别作出关于y轴对称的对应点，，，再顺次连结得到； （2）作角，利用网格确定点P的位置，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如解图，线段及点Q即为所作，点P的坐标为． 作角等于已知角的常用方法： 1．作角，利用等腰直角三角形（绕一端点旋转）； 2．作三角函数已知的角，先绕一端点旋转，再作分点． 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出将先向下平移6个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的，并直接写出点的坐标： ； (2)若点D为上一点，轴，垂足为点E，当的长最小时，请通过作图，确定点D的位置． 【答案】(1)，图见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查平移作图，三角形三边关系等，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据平移的作图方法作图即可，然后读出点的坐标即可得出结果； （2）将点向上平移2个单位长度得点M，连接交于点D，过点D作轴于点E即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，， 故答案为： （2）将点向上平移2个单位长度得点M，连接交于点D，过点D作轴于点E． 4．尺规作图如图，甲乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，使甲、乙到天桥桥头的距离相等．（注意：天桥必须与街道垂直．） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图的应用和设计，解题的关键是根据平移的性质和轴对称的性质是作图即可． 【详解】解：如图，先把乙村和相邻的一街旁进行平移一个街宽，乙到处，再作关于街道的对称点，连接与甲处，作它们的垂直平分线，与街道靠近甲的一侧相交于点，作垂直街道于点， ∴点到甲的距离等于，，点到乙的距离等于， 则过点点建桥即可． 1．如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称求最短距离，垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高，利用轴对称和垂线段最短将线段和的最小转化为线段是解题的关键． 延长至点，使得，利用轴对称和垂线段最短说明 当时，有最小值，为的长，再利用等面积法求的长． 【详解】延长至点，使得，连接，，，如下图所示： 又， 垂直平分， ， ， 当，D，E三点共线时，等号成立， 当时，有最小值，即有最小值，为的长． 当时，由得， ， 解得， 综上可知，的最小值为． 故选：D． 2．已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，轴对称的性质；作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，根据轴对称的性质以及垂线段最短可得的最小值为，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∴当和重合时，， ∵ ∴的最小值为 ∵，，． ∴ ∵ ∴， 故选：B． 3．已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下见解析 (3)，理由如下见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）可证明从而得出结果； （）可证明从而得出，进而得出结论； （）证明从而得出，从而得出 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$