15.1.2线段的垂直平分线（第1课时）（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 15.1.2(第1课时) 第十五章 轴对称 线段的垂直平分线 情境引入 QING JING YIN RU 如图所示，某快递公司为方便居民收取快递，准备在幸福大道上修建一个快递收发点，请问快递收发点应建在什么地方，才能使A,B到它的距离相等? 居民区A · 居民区B · 幸福大道 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图, 直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点A与点B的距离之间的数量关系. A B l P1 P2 P3 APi的长 BPi的长 P1 P2 P3 ... 猜想：AP=BP. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 探究 你能证明以上猜想吗？ 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上． 求证：PA = PB． 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 又 AC = CB，PC = PC， ∴ △PCA≌△PCB (SAS)．∴ PA = PB． P A B l C 线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 当点P与点C重合时，结论还成立吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 根据其性质能得出什么结论？ 　解：∵　AD⊥BC，BD =DC， ∴　AD 是BC 的垂直平分线， ∴　AB =AC． ∵　点C 在AE 的垂直平分线上， ∴　AC =CE． 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ A B C D E 　∴　AB =AC =CE． ∵　AB =CE，BD =DC， ∴　AB +BD =CD +CE． 即　AB +BD =DE ． AD+DE+AE 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 于E，求△ADE 的周长． A B C D E 解：∵ DM为线段AB的垂直平分线， ∴DA =DB． 同理可得EA=EC ∴△ADE的周长=AD+DE+AE =BD+DE+EC =BC =8. M 你能得出什么结论？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 如图，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O. OE，OF 分别是点 O 到∠CAD 两边的垂线段， 试说明它们的大小有什么关系． A B C D E F O 解： ∵ AB、CD 互相垂直平分， ∴ OC＝OD，OA＝OB，且 AB⊥CD， ∴ABCD为菱形，∴ AC＝AD， 在△AOC 和△AOD 中， ∵ AC＝AD，AO＝AO，OC＝OD， ∴△AOC≌△AOD (SSS). ∴∠CAO＝∠DAO. 又∵ OE⊥AC，OF⊥AD，∴ OE＝OF. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ P A B 已知：如图，PA = PB． 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C． 则∠PCA =∠PCB = 90°． 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， PA = PB，PC = PC， ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC = BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． C 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 作用： 判定定理： 想一想线段垂直平分线的判定 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 △ABC 中，AB =AC,D 在AB边上，M 在线段AD上，且MB =MC, 求证：DB =DC． A B C D M 证明： ∵ AB = AC，MB = MC， ∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线， ∵D在直线AM 上， ∴ DB=DC. 需要证明哪几组线段相等？ 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E. 求证：直线AD是CE的垂直平分线． 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上； 在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD＝AD， CD＝ ED， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE， ∴点A也在CE的垂直平分线上， ∴直线AD是CE的垂直平分线． 是否有全等三角形？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，试说明 AD 与 EF 的关系. 解：∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°. 又∵ AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF. ∴ AE＝AF，DE＝DF. ∴ A、D 均在线段 EF 的垂直平分线上， 即直线 AD 垂直平分线段 EF. A B C D E F 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系? 你还学习过其他具有类似关系的命题吗? 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 互逆命题 这两个命题的题设、结论正好相反. 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 在几何中，有许多互逆的定理. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 你还能举出类似的例子吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 下列命题中：①相等的角是对顶角；②直角三角形两个锐角互余； ③如果,那么；④如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等．逆命题是真命题的有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解：命题①的逆命题：“对顶角相等”，对顶角一定相等，故逆命题为真； 命题②的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，若两锐角之和为90°，则第三个角为90°，故三角形为直角三角形，逆命题为真； 命题③的逆命题：“若则”，绝对值相等时，a与b可能相等或互为相反数，逆命题为假； 命题④的逆命题：“到线段两端距离相等的点是中点”，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆命题为假； 综上，逆命题为真的有2个， 故选：B. 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． (1)请写出该命题的逆命题； (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． （1）解：逆命题：如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行． （2）解：已知：如图，直线 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． 1+3+= 课堂小结 QING JING YIN RU 性质 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 见垂直平分线，得线段相等 线段的垂直平分线 判定 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 命题 互逆命题 互逆定理 当堂练习 QING JING YIN RU 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 B 2.如图所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 B P A B C D 当堂练习 QING JING YIN RU 3.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有 (　　) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB A B C D A 4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°. AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E, 则下列结论不正确的是 (　　) A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B B A B D E C 当堂练习 QING JING YIN RU D 当堂练习 QING JING YIN RU 8. 如图所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . 10 cm A B C D E 7.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是_______． 10° 当堂练习 QING JING YIN RU 9.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) FC＝AD；(2) AB＝BC＋AD. A B C D E F 证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADC＝∠FCE. ∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE. 又∵∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△FCE，∴ FC＝AD. (2) ∵△ADE≌△FCE， ∴ AE＝FE. 又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴ AB＝BF＝BC＋CF. ∵ AD＝CF，∴ AB＝BC＋AD. 当堂练习 QING JING YIN RU 10.已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD. 求证：OE 是 CD 的垂直平分线. A B O E D C 证明：∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴ OE 是 CD 的垂直平分线. ∴ DE = CE. 又 ∵ OE = OE， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC. ∴ DO = CO. $$