15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定（课件）2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题与定理展开，通过复习定义和轴对称性质搭建学习支架，引导学生从旧知自然过渡到新知探究。 其亮点在于以合作探究为核心，通过对折操作培养几何直观，逻辑推理证明发展推理意识，符号语言表达强化模型意识。典例与分层练习结合，助力学生掌握知识，教师可借助系统流程提升教学效率。

第1课时　线段的垂直平分线性质和判定 1．经过线段　 　并且　 　于这条线段的 　 　，叫作这条线段的垂直平分线． 2．由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其　 　都是任意一对对称点所连线段的垂直平分线． 中点 垂直 直线 对称轴 复习回顾 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现? 发现 如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、 线段P2A与P2B、线段P3A与P3B......都是重合的， 因此P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B. 猜想 线段的垂直平分线有以下性质: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 合作探究 合作探究 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 已知 求证 合作探究 直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上. PA=PB. 证明 当点P与点C重合时，显然成立. 当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB. 又AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB. 合作探究 线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上， ∴ PA=PB . A B P 如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 合作探究 讲 授 新 课 证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O. A B P l O ∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°, ∴点P在线段AB的垂直平分线上. ∵l⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°. 在Rt△PAO和Rt△PBO中， PA=PB， PO=PO， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）. ∴AO=BO. 合作探究 讲 授 新 课 A B l O P ☀归纳 线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 符号表示：如图，已知线段AB， ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 归纳总结 新 知 小 结 从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 归纳探究 讲 授 新 课 例1 如图，直线AE是线段BC的垂直平分线，垂足为E，D为AE上一点，求证：∠ABD=∠ACD. E B C D A 在△ABD和△ACD中， AB=AC， BD=CD， AD=AD， 证明：∵AE是线段BC的垂直平分线，D为AE上一点，∴AB=AC，BD=DC. ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠ABD=∠ACD. 典例分析 典 例 精 析 互逆命题与互逆定理 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作_________ 如果把其中一个叫作_______，那么另一个叫作它的_________. 互逆命题. 原命题 逆命题 合作探究 1. 如图，AB = AC，MB = MC. 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？ A B M C 解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线. 理由：∵AB = AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上. ∵MB = MC， ∴点 M 也在线段 BC 的垂直平分线上， ∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线. 合作探究 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 合作探究 例2 (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． 1+3+= 典例分析 性质 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 见垂直平分线，得线段相等 线段的垂直平分线 判定 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 命题 互逆命题 互逆定理 课堂小结 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 B 2.如图所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 B P A B C D 当堂练习 3.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有 (　　) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB A B C D A 4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°. AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E, 则下列结论不正确的是 (　　) A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B B A B D E C 当堂练习 （第12题） 5.［2025徐州期末］如图，在中， 的垂直 平分线交于点，交于点.若 ， 的周长为8，则 的周长为( ) C A.11 B.13 C.14 D.19 （第13题） 6.［教材P练习T 变式］如图， ，，点在 的垂直平分 线上.若，，则 的长为___. 8 返回 当堂练习 考试考法 19 7.如图，已知，，垂足分别为，，与 交于 点，，是的中点，连接 .求证： 当堂练习 考试考法 20 （1） ； 证明：， , . 在与 中， . . 当堂练习 考试考法 21 （2）线段所在的直线是线段 的垂直平分线. [答案] 在与 中， . 点在线段 的垂直平分线上. 是的中点， . 点在线段的垂直平分线上. 线段所在的直线是线段 的垂直 平分线. 返回 当堂练习 考试考法 22 8.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ A B C D E 解：AB=AC=CE，AB+BD=DE. 理由如下： ∵AD⊥BC，BD=DC，即AD垂直平分BC， ∴AB =AC. 又点C在AE的垂直平分线上， ∴AC=CE. ∴AB=AC=CE， ∴AB +BD=CE+DC，即AB +BD =DE. 当堂练习 9.如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？ A M B C 解：直线AM是线段BC的垂直平分线. 理由如下： ∵AB =AC，MB =MC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上，点M也在线段BC 的垂直平分线上. ∵线段BC的垂直平分线只有一条且两点确定一条直线， ∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 当堂练习 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等. 解：(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行.成立. (2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立，如2和-2的绝对值相等，但2≠-2. (3)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立，如图所示是两个形状相同但大小不同的三角形，显然它们的对应角相等，但它们不是全等三角形. 形状相同，大小不同. 当堂练习 $