15.3.1等腰三角形(第1课时 等腰三角形的性质)（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 15.3.1（第1课时) 第十五章 轴对称 等腰三角形的性质 情境引入 QING JING YIN RU 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 A B C D 找一张等腰三角形纸片，动手折一折，它是轴对称图形吗？ 其中有哪些相等的角和线段？ △ABC是轴对称图形，对称轴与线段BC交于点D 相等的边 相等的角 AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法一 数学 语言 图形 证明 过程 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. 证明： 作底边的中线 AD，则 BD = CD. AB = AC BD = CD AD = AD ∴△BAD≌△CAD (SSS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等). 在 △BAD 和 △CAD 中， 方法1：作底边上的中线. A B C D 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法二 数学 语言 图形 证明 过程 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. 证明： 作顶角的平分线 AD， 则∠BAD = ∠CAD. AB = AC (已知)， ∠BAD = ∠CAD (已作)， AD = AD (公共边)， ∴△ABD≌△ACD (SAS). ∴∠B =∠C 在△ABD 和△ACD 中， A B C D 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法三 数学 语言 图形 证明 过程 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. A B C D 证明：作底边 BC 上的高 AD. ∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL).∴∠B＝∠C. 要分类讨论：底角还是顶角？ 填空： （1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 ； （2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的度数是 ； （3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形的最小内角 等于 . (4)△ ABC中，AB=AC,∠A= 36◦,则∠B= ， ∠C= . (5)△ ABC中，AB=AC,∠B= 36◦,则∠A= ， ∠C= . 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 20°或50° 100° 45° 72° 72° 108° 36° 无度数则设未知数 能否画出三角形？找出其中的等腰三角形 在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数. 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 解 ∵AB=AC, BD=BC=AD,（已知） ∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD.(等边对等角） 设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°， 又∵∠BDC+∠ADB=180°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°. ∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°， ∴x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°） 解得 x=36 .∴∠A=36°，∠C=72°. C D B A 知识拓展 QING JING YIN RU 黄金三角形（含有36°角的等腰三角形） = 黄金分割比 你中有我，我中有你. 看见等边主动寻找等角 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 解：∵OA=AB， ∴∠ABO=∠O=15°，∴∠BAO=150°, ∴∠BAC=∠ABO+∠O=30°. ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC=30°， ∴∠CBO=135°，∴∠CBD=∠O+∠ACB=45°. ∵BC=CD，∴∠D=∠CBD=45°，∴∠BCD=90°, ∴∠1=180°－∠BCD－∠BCO=60°. 如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数. ⌒ 15° 1 C D B O A ⌒ 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 A B C D ( ( 1 2 根据等腰三角形的性质定理完成下列填空. 在△ABC 中，AB = AC. (1) ∵ AD⊥BC， ∴∠____=∠____，_____=_____. (2) ∵ AD 是中线， ∴ ____⊥____，∠____ =∠____. (3) ∵ AD 是角平分线， ∴ ____⊥____，____ =____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD 对于以上三组条件和结论，你有何思考？ 归纳总结 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (简写成“三线合一”). 一定是需要底边上的中线和高才行！ 注 意 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 等腰三角形“三线合一”证明 数学 语言 图形 证明 过程 已知：在△ABC 中，AB = AC,AD⊥BC. 求证：∠BAD =∠CAD，BD=CD. A B C D 证明：在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴∠BAD =∠CAD，BD=CD. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 等腰三角形“三线合一”证明 数学 语言 图形 证明 过程 已知：在△ABC 中，AB = AC,BD=CD. 求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC. A B C D 证明：在 △ABD 与 △ACD 中， AB＝AC AD＝AD BD=CD ∴ △ABD≌△ACD (SSS). ∴∠BDA =∠CDA=90°，即AD⊥BC ∠BAD =∠CAD 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 等腰三角形“三线合一”证明 数学 语言 图形 证明 过程 已知：在△ABC 中，AB = AC,∠BAD =∠CAD. 求证：BD=CD，AD⊥BC. A B C D 证明：在 △ABD 与 △ACD 中， AB＝AC ∠BAD =∠CAD AD＝AD ∴ △ABD≌△ACD (SAS). ∴∠BDA =∠CDA=90°，即AD⊥BC BD=CD 思考全等三角形的判定条件 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE. 求证：(1)△AEF≌△CEB； 证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠B＋∠BAD＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠B＋∠BCE＝90°， ∴∠EAF＝∠ECB，在△AEF和△CEB中， ∠EAF＝∠ECB， AE＝CE， ∠AEF＝∠CEB ∴△AEF≌△CEB（ASA） 第（1）问的全等有什么结论？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE. 求证：(2)AF＝2CD. (2)∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD，∴BC＝2CD，∴AF＝2CD 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 思考图中有几个等腰三角形？ 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC. (1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE； 图① A B D E C 证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G. ∵ AB＝AC，AD＝AE， ∴ BG＝CG，DG＝EG. ∴ BG－DG＝CG－EG. ∴ BD＝CE. G 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 (2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：AF⊥BC. 图② A B D E C F (2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点， ∴ BD＋DF＝CE＋EF. ∴ BF＝CF. ∵ AB＝AC， ∴ AF⊥BC. 能够利用等腰三角形和外角构造出二倍角？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 E ∵ED=BE, ∴∠EDB=∠B, ∴∠AED=∠EDB+∠B=2∠B， ∴∠C=∠AED, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠CAD, ∵AD=AD,∴△EAD≌△CAD(AAS), ∴ED=CD=3,AE=AC=5, ∴BE=DE=3，∴AB=BE+AE=8. 垂直平分线的性质是什么？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 方程思想莫忘记！ 典例精析 DIAN LI JING XI 例9 能否通过“三线合一”得到？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例9 ∵∠GDF=∠ADF，∠ADE=∠F， ∴∠GDF=∠F， ∴DG=FG, 由（1）得， 典例精析 DIAN LI JING XI 例9 （3）证明： 由（1）得， 课堂小结 QING JING YIN RU 等边对等角 等腰三角形的性质 注意是指同一个三角形中 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质. 而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质 当堂练习 QING JING YIN RU 1. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为 __________； (2) 等腰三角形的一个角为 36°，它的另外两个角为_____________； (3) 等腰三角形的一个角为 120°，它的另外两个角为 __________. 75°，30° 72°，72° 或 36°，108° 30°，30° 2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，过点 A 作 AD∥BC， 若∠1 = 70°，则∠BAC 的大小为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° B A B C D 1 ⌒ △OAB为什么三角形？ ∠C=∠E 吗？为什么？ 当堂练习 QING JING YIN RU 3.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为 (　　)   A.48°　    B.40°　    C.30°　    D.24° 4.如图(1)是一把园林剪刀,把它抽象为图(2),其中OA=OB,若剪刀张开的角为30°, 则∠A=　　　    度.   D 75 当堂练习 QING JING YIN RU 5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC. (1)求∠ADB的度数; (2)若∠BAC=100°,求∠B,∠C的度数; (3)若BC=3 cm,求BD的长. 解：(1)因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD⊥BC,所以∠ADB=90°. (2)因为∠BAC=100°, 所以∠B+∠C=80°.因为AB=AC, 所以∠C=∠B=40°. (3)因为AB=AC,AD平分∠BAC, 所以BD= BC= ×3=1.5(cm). 当堂练习 QING JING YIN RU 6.如图，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D, E是底边上两点，且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度数. C E D B A 解 :∵AB=AC,∴∠B=∠C， ∴∠B=∠C=（180°－120°）÷2=30°. 又∵BD=AD,∴∠BAD=∠B=30°. 同理，∠CAE=∠C=30°. ∴∠DAE=∠BAC－∠BAD－∠CAE =120°－30°－30° =60°. 当堂练习 QING JING YIN RU 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F. (1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；(2)求证：EF＝ED. (1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°. ∵AB＝AC， ∴ ∠C＝∠ABC ＝ (180°－ ∠A)＝ (180°－50°)＝65°. (2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC， 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED. $$