第二章 一元二次方程（单元测试·提升卷）数学北师大版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程，配方后变形为（　　） A． B． C． D． 3．若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 7．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 8．如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为．则可列方程（   ） A． B． C． D． 9．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 10．定义：为函数（，、为实数）的“性质数”．若函数，的“性质数”为，函数的“性质数”为，当时，则（　　） A． B． C． D．无法比较 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一元二次方程的常数项是 ． 12．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 13．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为 ． 14．已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 ． 15．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 16．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解下列方程 (1)； (2)． 18．嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 19．新运算：对于实数a，b，定义运算“※”： (1)请解方程； (2)若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围． 20．已知：关于的方程（）． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 21．某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． (1)求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 22．阅读材料回答问题． 背景 为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持培育和践行社会主义核心价值观，把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通家庭、学校和社会各方面，与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合社会发展变化和学生生活实际，各学校应积极探索特色的劳动教育模式，创新体制机制，注重教育实效，实现知行合一． 素材 为了促进劳动课程的开展，合肥市某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成． 任务 （1）___________m；（用含x的代数式表示） （2）若生态园的面积为，求x的值； （3）为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，求出生态园的长；如果不能，请说明理由． 23．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程 (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 24．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，线段的长为？ (2)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 25．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______． (2)若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程，配方后变形为（　　） A． B． C． D． 3．若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 7．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 8．如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为．则可列方程（   ） A． B． C． D． 9．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 10．定义：为函数（，、为实数）的“性质数”．若函数，的“性质数”为，函数的“性质数”为，当时，则（　　） A． B． C． D．无法比较 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一元二次方程的常数项是 ． 12．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 13．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为 ． 14．已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 ． 15．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 16．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解下列方程 (1)； (2)． 18．嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 19．新运算：对于实数a，b，定义运算“※”： (1)请解方程； (2)若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围． 20．已知：关于的方程（）． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 21．某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． (1)求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 22．阅读材料回答问题． 背景 为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持培育和践行社会主义核心价值观，把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通家庭、学校和社会各方面，与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合社会发展变化和学生生活实际，各学校应积极探索特色的劳动教育模式，创新体制机制，注重教育实效，实现知行合一． 素材 为了促进劳动课程的开展，合肥市某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成． 任务 （1）___________m；（用含x的代数式表示） （2）若生态园的面积为，求x的值； （3）为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，求出生态园的长；如果不能，请说明理由． 23．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程 (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 24．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，线段的长为？ (2)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 25．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______． (2)若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程需满足整式方程、一个未知数、未知数最高次数为且二次项系数不为是解题的关键．依据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数是且二次项系数不为 ），对每个选项逐一判断． 【详解】A. 方程中出现，属于分式，不是整式方程，不符合要求． B. 方程形式为，但未明确，若则变为一次方程，无法确定是二次方程． C. 方程为整式方程，且项系数为4（非零），符合一元二次方程定义． D. 方程化简后为，消去得，为一次方程，不符合要求． 故选：C． 2．一元二次方程，配方后变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴ ，即， 故选：C． 3．若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系得到，，然后直接代入求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ， 故选：C． 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有两个相等的实数根，代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其判别式为： ， 当方程有两个相等的实数根时，，即：， 解得， 实数的值为． 故选：． 5．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 7．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．方程有两个实数根的条件是二次项系数不为零且判别式非负．据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵方程为二次方程， ∴． ∵方程有两个实数根（包括相等的情况）， ∴， ∴ ∴且． 故选：A． 8．如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为．则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，除了小路，其余部分拼为一个长，宽的矩形，根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 则草坪的总长度和总宽度应该为， 根据题意，得， 故选：B 9．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于关于x的一元二次方程有一根为，则把方程看作关于的一元二次方程时有，解得，于是可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的一个根， ∴也是的一个根， 即， 故选：C． 10．定义：为函数（，、为实数）的“性质数”．若函数，的“性质数”为，函数的“性质数”为，当时，则（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用．理解“性质数”定义是解题的关键． 根据“性质数”定义，将函数表达式转化为对应形式，比较参数和的大小． 【详解】∵ 函数的“性质数”为， ∴对应函数形式为， ∴， ∵函数的“性质数”为， ∴对应函数形式为， ∴， ∴ ∵ ∴． ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∴当时，， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一元二次方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解∶ 一元二次方程的常数项是， 故答案为： ． 12．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把把代入，得，则，即可作答． 【详解】解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：． 13．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 将一个根0代入，得，解得，由一元二次方程定义，可知，解得，进而求出k值． 【详解】解：由题意， 将一个根0代入，得 ， 解得， 由一元二次方程定义，可知， 解得， ∴， 故答案为：． 14．已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．设方程的一个根为，则是方程的一个根，得到①，②，利用加减消元法即可求解． 【详解】解：设方程的一个根为，则是方程的一个根， ∴①，，即②， 得， 解得或， 当时，代入①，得，不符合题意，舍去； 当时，代入①，得， 得； 综上，； 故答案为：． 15．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 16．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程；通过解方程，可得出方程的根，分为两方程相同的实数根或为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意；②若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意．综上此题得解． 【详解】解：解方程，得：． ①若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ； ②若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ． 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法得到，解之即可； （2）根据因式分解法得到，解之即可． 【详解】（1）解： 解得，． （2）解： 或 解得，． 18．嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【答案】(1)公式法，② (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法是关键； （1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解，再利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 （2）解：整理得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 19．新运算：对于实数a，b，定义运算“※”： (1)请解方程； (2)若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的运算： （1）根据定义的新运算可得：，从而可得，然后利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； （2）根据题意，方程整理得：，即，利用一元二次方程判别式建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程整理得：，则， 解得：； （2）解：根据题意，方程整理得：，即， ∵方程没有实数根， ∴   解之得：， ∴实数m的取值范围是． 20．已知：关于的方程（）． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程， （）求出的值即可求证； （）求出一元二次方程的两个根，根据为正整数，且方程的两个根均为整数即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴方程是关于的一元二次方程， ∵ ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵，且为正整数， ∴， ∴，， ∵方程的两个根均为整数，且为正整数， ∴或． 21．某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． (1)求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 【答案】(1)答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， (2)答：单价应定为元/千克． 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为，根据题意，列出方程，解出，即可； （2）设单价应定为元/千克，根据题意，列出方程，，解出，即可． 【详解】（1）解：设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， ∴根据题意，， 解得：，（舍）， 答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为． （2）解：设单价应定为元/千克， 根据题意， ， 整理得：， 解得：，， ∵要让顾客得到实惠， ∴满足题意； 答：单价应定为元/千克． 22．阅读材料回答问题． 背景 为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持培育和践行社会主义核心价值观，把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通家庭、学校和社会各方面，与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合社会发展变化和学生生活实际，各学校应积极探索特色的劳动教育模式，创新体制机制，注重教育实效，实现知行合一． 素材 为了促进劳动课程的开展，合肥市某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成． 任务 （1）___________m；（用含x的代数式表示） （2）若生态园的面积为，求x的值； （3）为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，求出生态园的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能，或11 【分析】本题主要考查代数式，一元二次方程解应用题，准确将线段用代数式表示出来是解题的关键． （1）根据题意得到，再根据矩形的性质即可得到答案； （2）由面积公式计算即可； （3）根据题意将此时的表示出来进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 由于篱笆长为， ， ； 故答案为：；    （2）解：由题意得：， 即， 解得， ， ， ．   （3）解：由题意可得 由于篱笆长为， ， 解得，． 当或11时，生态园的面积能达到． 23．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程 (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)是；计算见解析 (2)或 (3)221 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵，符合邻根方程的定义， ∴是邻根方程； （2）解：∵关于x的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于x的方程是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由韦达定理：， ∴， ∴， ∴ ∴当时，， 答：t的最大值为221． 24．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，线段的长为？ (2)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或时，线段的长为 (2)不存在，理由见解析 (3)存在， 【分析】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理构建方程求解； （2）根据题意构建方程，再利用根的判别式求解即可； （3）建立如图平面直角坐标系．，利用中点坐标公式表示出点的坐标，根据点在的垂直平分线，可得，构建方程求解． 【详解】（1）解：由题意，，， ， ， ，， ， 解得或， 故或时，线段的长为； （2）解：不存在． 由题意：， 整理得， ， 方程无解，故不存在； （3）解：存在，建立如图平面直角坐标系． 由题意，，， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 解得或（舍去）． 故时，点在的垂直平分线上． 25．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______． (2)若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）根据定义可得，进而可得，解方程即可得到答案． （3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值． 【详解】（1）解：在关于x的一元二次方程中，，， ， ， ， “全整根方程” 的“最值码”是． 故答案为：． （2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”， ∴， ∴， 解得； （3）解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于方程，，，， ， ， ． ∵方程是方程的“全整根伴侣方程”， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A C C A B C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．/ 15． 16．或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： 解得，．...............3分 （2）解： 或 解得，．...............6分 18． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误..............2分 （2）解：整理得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ．...............6分 19． 【详解】（1）解：根据题意，方程整理得：，则， 解得：；...............3分 （2）解：根据题意，方程整理得：，即， ∵方程没有实数根， ∴   解之得：， ∴实数m的取值范围是．...............6分 20． 【详解】（1）证明：∵， ∴方程是关于的一元二次方程， ∵ ∴方程总有两个实数根；...............3分 （2）解：∵，且为正整数， ∴， ∴，， ∵方程的两个根均为整数，且为正整数， ∴或．...............6分 21． 【详解】（1）解：设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， ∴根据题意，， 解得：，（舍）， 答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为．...............4分 （2）解：设单价应定为元/千克， 根据题意， ， 整理得：， 解得：，， ∵要让顾客得到实惠， ∴满足题意； 答：单价应定为元/千克．...............8分 22． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 由于篱笆长为， ， ； 故答案为：；   ...............2分 （2）解：由题意得：， 即， 解得， ， ， ．  ...............5分 （3）解：由题意可得 由于篱笆长为， ， 解得，． 当或11时，生态园的面积能达到．...............8分 23． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵，符合邻根方程的定义， ∴是邻根方程；...............2分 （2）解：∵关于x的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或；...............5分 （3）解：∵关于x的方程是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由韦达定理：， ∴， ∴， ∴ ∴当时，， 答：t的最大值为221．...............8分 24． 【详解】（1）解：由题意，，， ， ， ，， ， 解得或， 故或时，线段的长为；...............4分 （2）解：不存在． 由题意：， 整理得， ， 方程无解，故不存在；...............8分 （3）解：存在，建立如图平面直角坐标系． 由题意，，， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 解得或（舍去）． 故时，点在的垂直平分线上．...............12分 25． 【详解】（1）解：在关于x的一元二次方程中，，， ， ， ， “全整根方程” 的“最值码”是． 故答案为：．...............4分 （2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”， ∴， ∴， 解得；...............8分 （3）解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于方程，，，， ， ， ． ∵方程是方程的“全整根伴侣方程”， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2．...............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$