九年级数学暑假结业卷（测试范围：第1-3章）-（暑期衔接课堂）2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

九年级数学暑假结业卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第1-3章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·课后作业）下面四个图案中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）抛一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（   ） A．每抛2次，一定有一次反面朝上 B．可能有5次反面朝上 C．一定有5次反面朝上 D．不可能10次全是反面朝上 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）用反证法证明“若的半径为，点到圆心的距离大于，则点在外”．首先应假设（    ） A． B．点在外 C． D．点在上或点在内 4．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，的内接四边形中，于点B，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，弦的长为6，圆心到弦的距离为4，则圆的半径长是（    ） A． B． C． D．5 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 5 0 0 … 下列结论正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当 时， D．函数的最大值为5 8．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）二次函数（，，是常数，）的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，对于下列说法： ①；②当时，；③；④；⑤． 其中结论正确的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图1，扇形中，，，正方形的顶点D，C，E分别在，，上将正方形沿直线向右平移，得到正方形，其中点D的对应点N恰好与点C重合，如图2所示，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·浙江湖州·模拟预测）抛物线的对称轴是直线 ． 12．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）从等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为 ． 13．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到．若，则 ． 14．（2025·浙江湖州·模拟预测）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为 ． 15．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 16．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在正六边形中除点为原点，点外，其他各点均在轴上方，将正三角形在正六边形外连续作如下运动：起始位置，与重合；第一次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；第二次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；……如此运动，共完成六次运动，在这个运动的过程中，点P，O之间距离的最大值为 ． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知抛物线． (1)利用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 18．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 19．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）如图，现有一个被分成大小相同的四个扇形的转盘，其中每个扇形上分别标有数字“，1，，2”，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，若指针指向分界线，则重新转动． (1)事件“转动转盘一次，转出的数字是3”是 事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)转动转盘一次，求转出的数字是负数的概率， 20．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O对称的，点A、B、C的对应点分别是、、； (2)画出绕点O顺时针旋转后得到的，点A、B、C的对应点分别是点，、； (3)的面积为______． 21．（2025·浙江绍兴·模拟预测）太阳能的特点是巨大、清洁、取之不尽．如图，小明所在的学习小组自制了一个太阳能灶，太阳能灶的关键部件是聚光镜，其截面类似抛物线，我们称之为抛物面．如图，A为抛物面的顶点，当点A与水平地面的距离为时，测得抛物面两端B，C相距，且离地面均为．以O为坐标原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求抛物面的表达式； (2)太阳光线经抛物面反射后集中聚焦在焦点处，将水壶置于焦点位置时，可达到加热的目的．经了解，当太阳光线照射在抛物面上的点到地面的距离与其到焦点的距离相等时，加热效果最好，请判断该学习小组自制的太阳能灶是否满足该条件，并说明理由． 22．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)方程的两个根为______，______； (2)当时，则的取值范围为______；当时，自变量的取值范围为______； (3)若方程有实数根，取值范围是______． 23．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）端午节将至，粽子飘香．某直播网店，在线销售某品牌粽子礼盒，通过分析销售情况发现，日销售量（盒）是销售单价（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售粽子的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价（元/盒） 16 18 日销售量（盒） 400 200 (1)求粽子的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式； (2)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润． 24．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． 【操作发现】 （1）如图2，固定，使绕点C旋转，点D恰好落在边上时，填空： ①___________； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是________． 【猜想论证】 （2）当在如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． 【拓展探究】 （3）已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4）．若在射线上存在点F，使，请求出的度数． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学暑假结业卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第1-3章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·课后作业）下面四个图案中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和旋转图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；图形旋转的定义：把一个图形绕着某一个点旋转一个角度，这个点就是它的旋转中心，这个角就叫旋转角，行逐一判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不包含图形的旋转，不符合题意； C、只是轴对称图形，没有旋转，不符合题意； D、既有轴对称，又有旋转，符合题意； 故选D. 【点睛】此题主要考查图形的旋转以及轴对称图形的概念，熟练掌握，即可解题． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）抛一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（   ） A．每抛2次，一定有一次反面朝上 B．可能有5次反面朝上 C．一定有5次反面朝上 D．不可能10次全是反面朝上 【答案】B 【分析】本题考查的是事件可能性的大小，每次抛硬币正反面朝上的概率均为，但实际结果可能偏离理论值，逐一分析选项即可． 【详解】解：A、每抛2次不一定有一次反面，例如，两次均可能为正面，故“一定”不成立，故本选项不符合题意； B、抛10次硬币，可能出现5次反面，属于可能事件，符合概率规律，故本选项符合题意； C、实际结果可能偏离5次反面，如出现4次或6次反面，故“一定有”不成立，故本选项不符合题意； D、虽然10次全为反面的概率极低，但并非不可能，故“不可能”错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）用反证法证明“若的半径为，点到圆心的距离大于，则点在外”．首先应假设（    ） A． B．点在外 C． D．点在上或点在内 【答案】D 【分析】此题主要考查了反证法，否定命题判断的相反判断，从而肯定原来判断的正确性，这种证明法称为反证法． 用反证法证明，即是假设命题的结论不成立，以命题的否定方面作为条件进行推理，得出和已知条件、公理、定义和定理等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定命题的结论成立． 【详解】原命题结论为“点在外”，其否定应为“点不在外”． 根据圆的基本性质，点与圆的位置关系仅有三种：当时在圆外，时在圆上，时在圆内． 因此，“点不在圆外”等价于“点在圆上或圆内”． 选项中对应此否定的为选项D，故首先应假设D成立． 故选：D． 4．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，的内接四边形中，于点B，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，关键是判定是等腰直角三角形，由圆周角定理得到； 连接，判定是等腰直角三角形，得到，由圆周角定理推出 【详解】解：连接， 于点B， ， 是等腰直角三角形， ， 故选： 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，弦的长为6，圆心到弦的距离为4，则圆的半径长是（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据垂径定理，得，根据勾股定理得，解答即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键． 【详解】解：∵弦的长为6，圆心到弦的距离为4， ∴， ∴， 故选：D． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 5 0 0 … 下列结论正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当 时， D．函数的最大值为5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据对称性可得对称轴为直线，再由增减性可得抛物线的开口向上，据此可得答案． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线，故B结论正确，符合题意； ∵当时的函数值大于当时的函数值，当时的函数值小于时的函数值， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∴抛物线的开口向上，故A结论错误，不符合题意； ∴当 时，，函数的最小值为，且没有最大值，故C和D的结论错误，不符合题意； 8．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。 根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。 【详解】解：①当点Q在上时，如图 有，， ∴（）． 此时y与x之间的函数为一次函数． ②当点Q在上时，如图 有，， ∴， ∴（）． 此时y与x之间的函数为二次函数． 综上所述，符合当时，图像为一次函数；时，图像为二次函数，只有B选项． 故选B． 9．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）二次函数（，，是常数，）的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，对于下列说法： ①；②当时，；③；④；⑤． 其中结论正确的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据开口方向、与y轴交点在y轴正半轴得到，根据对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据对称性，抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，则当时，，据此可判断②③④；再根据抛物线与x轴有两个交点，运用根的判别式可判定⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，不一定成立，故②错误； 当时，，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵抛物线与x轴的有两个交点， ∴方程有两个不等的实数根， ∴，即，故⑤正确． 综上，正确的有①③④⑤，共4个． 故选：D． 10．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图1，扇形中，，，正方形的顶点D，C，E分别在，，上将正方形沿直线向右平移，得到正方形，其中点D的对应点N恰好与点C重合，如图2所示，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、全等三角形的判定与性质、平移的性质，先求出正方形的边长，再结合扇形及三角形的面积公式求出正方形中空白部分的面积，据此可解决问题．熟知图形平移的性质及正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则． 点D的对应点N恰好与点C重合， ，， ，． 由平移可知，正方形的边长为， 正方形的面积为2． 阴影部分的面积为：． 故选：A． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·浙江湖州·模拟预测）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，对称轴是直线，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）从等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别、概率的知识点，识别中心对称图形和运用概率公式计算是解题的关键．判断五个图形中有几个中心对称图形，然后用概率公式计算即可． 【详解】解：从五个图形中任选一个，共有5种等可能的结果，其中是中心对称图形的是：平行四边形、矩形、菱形，结果有3种． ∴选出的图形恰好是中心对称图形的概率为 故答案为： 13．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到．若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得，再根据可得答案． 【详解】解：由旋转得，， ∵， ∴． 故答案为：80． 14．（2025·浙江湖州·模拟预测）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算、弧长公式，以及等边三角形的性质，此题的关键是明确曲边三角形的面积三角形的面积三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．此三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，解得，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就等于三角形的面积三个弓形的面积，根据三角形和扇形面积公式即可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∵曲边三角形的周长为， ∴， 解得：， 即， 如下图所示，过点作于点D， 则有， ， ， ， ∴曲边三角形的面积为． 故答案为： 15．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题，解答的关键是确定临界点的k值，利用数形结合思想得出答案．先求得点A、C的坐标，再得到直线过定点，分别求出直线经过点C、A以及与抛物线相切时的k值，结合图象，即可得出答案． 【详解】解：令，由解得，， 令，则， ∴，， ∵当时，， ∴直线经过定点， 如图， 当直线经过点C时，由得，此时直线与图象G有两个交点， 当直线与抛物线相切时， 由得， 由解得，， 当直线经过点A时，由得，此时直线与图象G有一个交点， 由图可知，当，直线与图象G有两个交点， 故答案为：． 16．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在正六边形中除点为原点，点外，其他各点均在轴上方，将正三角形在正六边形外连续作如下运动：起始位置，与重合；第一次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；第二次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；……如此运动，共完成六次运动，在这个运动的过程中，点P，O之间距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，点的轨迹以及线段的最值，作出图形得出的长度为点P，O之间距离的最大值，求出，可得的最大值为． 【详解】解：点的运动轨迹如图所示的虚线部分， 延长交轨迹于点（位置不只是一种）， 此时的长度为点P，O之间距离的最大值， ∵点为原点，点外，其他各点均在轴上方， ∴， 又， ∴， 过点E作于点，则， ∴， ∴， 的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知抛物线． (1)利用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2)（或）时，随的增大而减小 【分析】本题考查了解析式的顶点式，对称轴，增减性．熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． （1）化成顶点式后确定对称轴即可； （2）根据抛物线的性质解答即可． 【详解】（1）解：（1）， 该抛物线的顶点坐标． （2）由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线， （或）时，随的增大而减小． 18．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：圆心O如图． 19．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）如图，现有一个被分成大小相同的四个扇形的转盘，其中每个扇形上分别标有数字“，1，，2”，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，若指针指向分界线，则重新转动． (1)事件“转动转盘一次，转出的数字是3”是 事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)转动转盘一次，求转出的数字是负数的概率， 【答案】(1)不可能 (2) 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了随机事件与不可能事件的定义． （1）根据确定性事件和不确定性事件的概念判断可得； （2）转盘被平均分成4等份，转到每个数字的可能性相等，共有4种等可能的结果，转出数字是负数的结果有2种，由概率公式可得． 【详解】（1）∵四个数字中不含数字3， ∴转出的数字是3是不可能事件． 故答案为：不可能 ； （2）因为转动转盘一次，共有4种等可能的结果，其中转出的数字是负数的结果有2种， 所以转出的数字是负数的概率为． 20．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O对称的，点A、B、C的对应点分别是、、； (2)画出绕点O顺时针旋转后得到的，点A、B、C的对应点分别是点，、； (3)的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查作旋转图形与中心对称图形； （1）找到三个顶点关于原点的对应点，然后顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕原点O逆时针旋转后得到其对应点，然后顺次连接即可； （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如上图，即为所求． （3）解：的面积为： ， 故答案为： 21．（2025·浙江绍兴·模拟预测）太阳能的特点是巨大、清洁、取之不尽．如图，小明所在的学习小组自制了一个太阳能灶，太阳能灶的关键部件是聚光镜，其截面类似抛物线，我们称之为抛物面．如图，A为抛物面的顶点，当点A与水平地面的距离为时，测得抛物面两端B，C相距，且离地面均为．以O为坐标原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求抛物面的表达式； (2)太阳光线经抛物面反射后集中聚焦在焦点处，将水壶置于焦点位置时，可达到加热的目的．经了解，当太阳光线照射在抛物面上的点到地面的距离与其到焦点的距离相等时，加热效果最好，请判断该学习小组自制的太阳能灶是否满足该条件，并说明理由． 【答案】(1) (2)满足，理由见解析 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的实际应用，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设抛物面的表达式为，将将，代入中求解，即可解题； （2）设太阳光线照射在抛物面上的点为，则点P到地面的距离为，利用勾股定理求出并判断，即可解题． 【详解】（1）解：设抛物面的表达式为， 依题意可得，抛物面的顶点坐标为，且过点， 将，代入中， 得， 解得， 抛物面的表达式为； （2）解：满足； 理由如下：设太阳光线照射在抛物面上的点为，则点P到地面的距离为， ， ， ， ， 点P到地面的距离等于的长，即该学习小组自制的太阳能灶满足太阳光线照射在抛物面上的点到地面的距离与其到焦点的距离相等． 22．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)方程的两个根为______，______； (2)当时，则的取值范围为______；当时，自变量的取值范围为______； (3)若方程有实数根，取值范围是______． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为，； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范； （3）解：若方程有实数根，取值范围是． 23．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）端午节将至，粽子飘香．某直播网店，在线销售某品牌粽子礼盒，通过分析销售情况发现，日销售量（盒）是销售单价（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售粽子的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价（元/盒） 16 18 日销售量（盒） 400 200 (1)求粽子的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式； (2)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润． 【答案】(1) (2)当销售单价定为16元时，日销售纯利润最大，此日销售最大纯利润为1580元 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解即可； （2）设日销售纯利润为元，根据利润等于单件利润乘以销售量列出w关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设粽子的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为（）， 由题意得：， 解得：， ∴粽子的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为： （2）解：设日销售纯利润为元， 由题意得：， ∵，， ∴当时，有最大值，为1580元， 答：当销售单价定为16元时，日销售纯利润最大，此日销售最大纯利润为1580元． 24．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． 【操作发现】 （1）如图2，固定，使绕点C旋转，点D恰好落在边上时，填空： ①___________； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是________． 【猜想论证】 （2）当在如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． 【拓展探究】 （3）已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4）．若在射线上存在点F，使，请求出的度数． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）①根据，，求出结果即可； ②根据旋转的性质可得，然后得出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后证明；根据等边三角形的性质可得，再根据直角二角形角所对的直角边等干斜氻的一半求出，然后求出，则；由，的面积和的面积相等，从而得到与的数量关系为相等； （2）根据旋转的性质可得，，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等底等高的三角形的面积相等即可证明； （3）过点D作，连接，证明，得出此时点符合题意，求出；过点作，证明，得出，说明，点也是所求的点，求出结果即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴； 故答案为：； ②绕点旋转，点恰好落在边上， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ∴， ，， ， ， ∴； ∵， ∴的面积和的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， 的面积和的面积相等， ； 故答案为：相等； （2）证明：如图，过点D作于点M，过点A作交延长线于点， 是由绕点C旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 的面积和的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， ； （3）如图，过点D作，连接， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴、上的高相等， ∴， ∴此时点符合题意， 是的平分线， ， ∵， ∴； 如上图，过点作， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， 点也是所求的点， 此时； 综上，的度数为或． 【点晴】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$