八年级数学暑假结业卷（测试范围：第1-3章）-（暑期衔接课堂）2025-2026学年八年级上册数学（浙教版2024）

八年级数学暑假结业卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第1-3章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列四种表情图片，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·模拟预测）若，则运用不等式性质变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的一组条件是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（   ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 6．（2025八年级上·浙江湖州·专题练习）已知三角形中，，，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，从处观察，两处的视角，从处观察处的仰角为，点，在同一水平线上，则从处观察处的仰角为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的面积是（   ） A．8 B．15 C．16 D．20 9．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800千克，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据以下信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总路程皆为20千米，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（   ） 每人使用各种交通工具，每移动1千米产生的碳排放量： ●自行车：0千克    ●公交车：千克    ●机车：千克    ●汽车：千克 A．305天 B．306天 C．307天 D．308天 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知、把长方形分割成四个小长方形，若已知三角形和三角形的面积，则一定能求出（    ） A．长方形与长方形的面积之和 B．长方形与长方形的面积之差 C．长方形与长方形的面积之和 D．长方形与长方形的面积之差 第II卷（非选择题） 2、 填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）若关于的方程组满足，则的取值范围是 ． 12．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知一个等腰三角形的一边长为4． （1）若另一边长为5，则该等腰三角形的周长是 ； （2）若另一边长为2，则该等腰三角形的周长为 ； （3）若周长为9，则该等腰三角形的另两边长分别是 ． 13．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为5，则的长是 ． 14．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，则的面积为 ． 15．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则下列说法：①；②；③杯子中仅放小铁块，依次放入，放到第8个，水就会溢出；④若杯子中仅放小玻璃球，至少放11个，水才会溢出，正确的是 ．（填序号） 16．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架，与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点向上抬高了约 ．（结果精确至．参考数据：） 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）解方程组或不等式组 (1)解方程组 (2)解不等式组 18．（23-24八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 19．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，为边上一点，的角平分线交于，且，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 20．（24-25八年级上浙江嘉兴·阶段练习）小亮在跨学科学习中，想要通过数学知识计算到底要登上多少层楼才能“穷千里目”．如图，圆弧代表地球剖面的一部分，圆心为O，为直立于地面的某高层建筑，为站在楼顶处的视线，与地球半径构成了．设（即1000里），取地球半径为． (1)求建筑的高；（参考数据：） (2)若建筑每层高约．楼有多少层？ 21．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． (1)如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．           B．        C．           D． (2)如图2，在射线上任取一点C，作，在射线上截取一点M，使，作射线．根据以上步骤，请说明是的平分线； 22．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在贵州某县乡村振兴项目中，为发展旅游业，需对一条苗族风情古寨旁的河道进行生态整治．现有一段长480米的河道整治任务由甲、乙两支施工队接力完成．甲工程队每天整治12米，乙工程队每天整治30米，共用时25天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______ 则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． (3)为了合理控制项目成本，工程指挥部在确保施工质量的前提下，希望优化预算基于上述施工方案，甲工程队每天的施工费用为500元，工程指挥部要求总施工费用不超过22000元，那么乙工程队每天的施工费用最多是多少元？ 23．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 24．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学暑假结业卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第1-3章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列四种表情图片，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解． 【详解】解：选项B、C、D不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项A能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2．（2025·浙江金华·模拟预测）若，则运用不等式性质变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确. 【详解】解：A．∵， ∴，而，因此，故该选项错误； B．∵， ∴，而，因此，故该选项错误； C．∵， ∴，故该选项错误； D．∵， ∴，故该选项正确； 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的一组条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：A、∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，符合题意； B、∵任何三角形都有， ∴不一定是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴是等边三角形， ∴不是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴， ∴不是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 4．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．先求出不等式组的解集，再根据解集画图即可． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 故不等式组的解集为． ∴在数轴上表示如下： 故选：A． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（   ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查命题的逆命题的概念．逆命题是将原命题的条件和结论互换后的命题，据此解答即可． 【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故选：B 6．（2025八年级上·浙江湖州·专题练习）已知三角形中，，，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据钝角三角形的性质和三角形三边关系求解． 【详解】解：在中，， ∴为最大边， ∴，即． 由三角形的三边关系得：， ∴， ∴的取值范围是． 故选：D． 7．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，从处观察，两处的视角，从处观察处的仰角为，点，在同一水平线上，则从处观察处的仰角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角性质，延长至点，由三角形外角的性质得，据此解答即可，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】如图，延长至点， 是的外角， ， ∵，， ， 即从处观察处的仰角为， 故选：． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的面积是（   ） A．8 B．15 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键．根据题意，得出，再根据勾股定理，得出，再结合正方形的面积，得出，进而即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得， ， 四边形都是正方形， ，，， 正方形A、B的面积分别为25和9， ，， ， 正方形C的面积为： 故选：C． 9．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800千克，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据以下信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总路程皆为20千米，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（   ） 每人使用各种交通工具，每移动1千米产生的碳排放量： ●自行车：0千克    ●公交车：千克    ●机车：千克    ●汽车：千克 A．305天 B．306天 C．307天 D．308天 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的应用；通过比较改乘公交车后每天减少的碳排放量，建立不等式求解所需天数． 【详解】解：设至少改搭公交车上下班天； 汽车每千米碳排放量为千克，公交车为千克，每千米减少（千克）； 每天上下班总路程为20千米，因此每天减少碳排放量（千克）， 则：， 解得： ，为整数， ∴最小为， 即她至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量； 故选：D． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知、把长方形分割成四个小长方形，若已知三角形和三角形的面积，则一定能求出（    ） A．长方形与长方形的面积之和 B．长方形与长方形的面积之差 C．长方形与长方形的面积之和 D．长方形与长方形的面积之差 【答案】B 【分析】本题考查了长方形面积和三角形面积的应用及计算，将左边图形连接、、，分割出由三角形组合的图形，结合题意可得，，从而可得，同理求出，相减得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：将左边图形连接、、，分割出由三角形组合的图形， ， 结合题意可得：，， ∴； 将右边图形连接、、，分割出由三角形组合的图形， 结合题意可得：，， ∴； ∴， ∴， ∵已知三角形和三角形的面积， ∴一定能求出长方形与长方形的面积之差， 故选：B． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）若关于的方程组满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，利用加减消元法整体求解是解题的关键． 将两个方程相加整理可得，再解关于的不等式． 【详解】由题知， 得，， 又， ， 解得， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知一个等腰三角形的一边长为4． （1）若另一边长为5，则该等腰三角形的周长是 ； （2）若另一边长为2，则该等腰三角形的周长为 ； （3）若周长为9，则该等腰三角形的另两边长分别是 ． 【答案】 13或14 10 2.5，2.5或4，1 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题中需要用到分类讨论思想，并验证是否符合三边关系． （1）题中没有明确指出4和5哪条是腰，需要分类讨论，并验证是否符合三边关系； （2）同（1）方法，明显不符合三边关系，需舍去； （3）需要分别讨论4是腰还是底边，再根据三边关系，进而求解． 【详解】解：（1）当底边为4，腰为5时，此时三边为，符合三边关系，则周长为14； 当底边为5，腰为4时，此时三边为，符合三边关系，则周长为13； 故答案为：14或13． （2）当底边为2，腰为4时，此时三边为，符合三边关系，则周长为10； 当底边为4，腰为2时，此时三边为，不符合三边关系，舍去． 故答案为：10． (3)若周长为9，底边为4时，腰为，此时三边为，符合三边关系， ∴等腰三角形的另两边长2.5和2.5； 若周长为9，腰为4时，底边为，此时三边为，符合三边关系， ∴等腰三角形的另两边长4和1． 故答案为：2.5，2.5或4，1． 13．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为5，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质知，．的周长，解方程得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又的周长， 即， ∴． 故答案为：2． 14．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质，如图，过作于，先证明，，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， 由对折可得：，，， ∴， ∴的面积为：， ∵， ∴的面积为． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则下列说法：①；②；③杯子中仅放小铁块，依次放入，放到第8个，水就会溢出；④若杯子中仅放小玻璃球，至少放11个，水才会溢出，正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是一元一次方程及一元一次不等式（组）的应用，解此类题目的关键是读懂图意，找出相等关系和不等关系列方程及不等式．由体积变为，可得，即可判断①；接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出，得，即可判断②；根据，杯中装有的水，取特殊值计算即可判断③；设可以放个，杯子的水会溢出，列出一元一次不等式求解即可判断④． 【详解】解：由装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，得，则①正确； 体积由变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出，得， 解得，则②正确； 杯子中仅放小铁块，， 取，， 所以放入8个小铁块，水不一定溢出，则③不正确； 若杯子中仅放小玻璃球，设可以放个，杯子的水会溢出， 则，解得，则④正确． 故答案为：①②④． 16．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架，与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点向上抬高了约 ．（结果精确至．参考数据：） 【答案】16.4 【分析】本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理．通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点，点， 在中，， ， 在中，， ， ， 即椅背上人的头部支撑点向上抬高了约． 故答案为：． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）解方程组或不等式组 (1)解方程组 (2)解不等式组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的步骤． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解： 得，， 得，， 代入到①得，， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 18．（23-24八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可． 【详解】解：∵为的角平分线，，， ∴， ∴ ， ∵的面积是，，， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，为边上一点，的角平分线交于，且，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质． （1）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，推出，再利用等腰三角形的性质即可证明； （2）利用三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵为BC的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴的周长． 20．（24-25八年级上浙江嘉兴·阶段练习）小亮在跨学科学习中，想要通过数学知识计算到底要登上多少层楼才能“穷千里目”．如图，圆弧代表地球剖面的一部分，圆心为O，为直立于地面的某高层建筑，为站在楼顶处的视线，与地球半径构成了．设（即1000里），取地球半径为． (1)求建筑的高；（参考数据：） (2)若建筑每层高约．楼有多少层？ 【答案】(1) (2)6250层 【分析】本题考查了勾股定理的应用： （1）根据勾股定理可求出的长，即可求解； （2）用的高除以，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， （2）解：楼的层数为：（层）． 答：楼有6250层． 21．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． (1)如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．           B．        C．           D． (2)如图2，在射线上任取一点C，作，在射线上截取一点M，使，作射线．根据以上步骤，请说明是的平分线； 【答案】(1)B (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据，可由证明两个三角形全等； （2）根据作图可得：，，根据等腰三角形的性质和外角的性质可得，从而得证． 【详解】（1）解：根据作图可得：， ， ， ， 射线就是的平分线， 用到的三角形全等的判定方法是， 故选：． （2）解：根据作图可得：， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 射线就是的平分线． 22．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在贵州某县乡村振兴项目中，为发展旅游业，需对一条苗族风情古寨旁的河道进行生态整治．现有一段长480米的河道整治任务由甲、乙两支施工队接力完成．甲工程队每天整治12米，乙工程队每天整治30米，共用时25天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______ 则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． (3)为了合理控制项目成本，工程指挥部在确保施工质量的前提下，希望优化预算基于上述施工方案，甲工程队每天的施工费用为500元，工程指挥部要求总施工费用不超过22000元，那么乙工程队每天的施工费用最多是多少元？ 【答案】(1)①；②表示甲工程队工作的天数；表示乙工程队工作的天数． (2)甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道300米，见解析 (3)乙工程队每天的施工费用最多是1450元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）①小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组； ②小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． （3）设乙工程队每天的施工费用为元，可得，再解不等式即可求解． 【详解】（1）解：①； ②表示甲工程队工作的天数；表示乙工程队工作的天数． （2）选择①． 解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，则， 解得， 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道300米， 选择②， 设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则 ， 解得， 甲整治的河道长度：（米）；乙整治的河道长度：（米）． 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道300米． （3）解：设乙工程队每天的施工费用为元． 则， 解得， 答：乙工程队每天的施工费用最多是1450元． 23．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 24．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)没有发生变化 (3)①，②能， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）延长交于点F，证明，得到，，推出，即可得出结论； （2）证明，得到，，推出，即可得出结论； （3）同法，证明，得到，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：，． 理由：延长交于点F，如图 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． （2）由题意得， ． ． 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②． ②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ． ． 在和中， ． ． ． 即与所成的较小的角的度数为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$