九年级数学暑假结业卷（测试范围：第21-22章）-（暑期衔接课堂）2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

九年级数学暑假结业卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第21-22章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，从放大镜里看到的三角尺与原来的三角尺之间的图形变换属于（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 2．（2025·安徽宣城·模拟预测）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽池州·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽换合肥·期末）点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（  ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小 C． D．该二次函数图象与轴只有一个交点 8．（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，与位似，位似中心是点O，且，若的周长为5，则的周长为（    ） A．10 B．15 C．20 D．45 10．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 第II卷（非选择题） 2、 填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）若点，都在同一个反比例函数的图象上，则a的值为 ． 12．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数，当 （填写x的取值范围）时，函数值y随着自变量x的增大而增大． 13．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，，，则的长度是 ． 14．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ． 15．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则 ． 16．（2025·安徽宣城·模拟预测）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，求的值． 18．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，，D为边上一点，．求证：． 19．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 20．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 21．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点A的坐标为． (1)画出关于y轴对称的； (2)在给定的网格中，以点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到，请在网格中画出，并直接写出点的坐标． 22．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点的横坐标是4，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 23．（2025·安徽合肥·模拟预测）【学科融合】如图3，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图4，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 24．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图①，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点，是抛物线上的两点，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，若满足，请比较与的大小． (3)将抛物线平移，使得其顶点落在直线上，设平移后的抛物线与轴的交点为，求点的纵坐标的取值范围． 25．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，E，F两点均在菱形的对角线上，射线交边于点G． (1)如图1，若． ①求证：． ②过点E作于点H，求证：． (2)如图2，射线交于点I，若，，，求的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学暑假结业卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第21-22章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，从放大镜里看到的三角尺与原来的三角尺之间的图形变换属于（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形的识别，根据轴对称变换，平移变换，相似变换，旋转变换的相关概念结合题目，采用排除法即可选出正确选项． 【详解】解：根据相似图形的定义可知，用放大镜将图形放大．属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换， 故选：C． 2．（2025·安徽宣城·模拟预测）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，若点在反比例函数的图象上，则，验证各选项中点的横纵坐标乘积是否等于2即可． 【详解】解：对于反比例函数，其图象上的点满足． A：，计算，不符合条件； B：，计算，符合条件； C：，计算，不符合条件； D：，计算，不符合条件； 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽池州·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：①当时，；②当时，，逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：①当时，， ∴一次函数的图像经过第一，二，三象限；反比例函数的图像经过第二，四象限，所有选项都不符合； ②当时，， ∴一次函数的图像经过第一，二，四象限；反比例函数的图像经过第一，三象限，只有B选项符合． 故选B． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25九年级上·安徽换合肥·期末）点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，根据反比例函数（）的性质，结合各选项中的取值范围，计算的符号即可. 【详解】解：点代入函数得； 点代入函数得， 选项A（）： 为负数，，，两负数相加，，故A错误； 选项B（）： 仍为负数，，，例如取，则，故B错误； 选项C（）： 为正数，，但时，，故，故C错误； 选项D（）： 为正数，，故，例如取，则和为，故D正确； 故选：D 6．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数解析式得到对称轴为直线，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，， ∴， ∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，且距离对称轴越远，函数值越大， ∴． 故选：B． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（  ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小 C． D．该二次函数图象与轴只有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过待定系数法求出二次函数解析式，结合二次函数的性质分析各选项即可． 【详解】解：分别将，，代入得： ， 解得：， 即解析式为． A：，开口向下，错误； B：对称轴，开口向下，当时，y随x增大而减小，正确； C：当时，，错误； D：判别式，与x轴有两个交点，错误； 故选：B． 8．（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，与位似，位似中心是点O，且，若的周长为5，则的周长为（    ） A．10 B．15 C．20 D．45 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，求得相似比，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长 故选：A． 10．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）若点，都在同一个反比例函数的图象上，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，在反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其函数解析式，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵都在反比例函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：1． 12．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数，当 （填写x的取值范围）时，函数值y随着自变量x的增大而增大． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先化为顶点式，再求出二次函数图象的开口方向和对称轴方程，再根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值y随x的增大而增大． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，，，则的长度是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 14．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解图示，掌握相似相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意，可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵支柱经过的中点， ∴， 当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，如图所示，点与点对应，点与点对应，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 15．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点，三角形的面积，熟练掌握反比例函数的图象，理解反比例函数图象上的点满足函数的表达式是解决问题的关键．首先设点的坐标为，则点，，，，…，，进而得，，，，，…，，然后根据直角三角形的面积公式可求出． 【详解】解：设点的坐标为， ∵…， ∴点，，，，…，， ∴，，，，，…，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 16．（2025·安徽宣城·模拟预测）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． 【答案】 8 12 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值即可； （2）根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴； 故答案为：12． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由，得，然后代入化简即可． 【详解】由，得， ∴． 18．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，，D为边上一点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，由题意得到两边对应比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证． 【详解】解：证明：∵在中，，，， ∴， 又∵， ∴． 19．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数的图象上 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，得到此二次函数的解析式； （2）把代入函数解析式计算，判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． 解得， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：当时， ， ∴点不在这个二次函数的图象上． 20．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为，w与x之间的函数表达式为 (2)10000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出w与x函数关系式； （2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【详解】（1）解∶ y与x之间的函数表达式为， w与x之间的函数表达式为； （2）解∶根据题意得：， 解得：； ∵，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为10000， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 21．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点A的坐标为． (1)画出关于y轴对称的； (2)在给定的网格中，以点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到，请在网格中画出，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】（1）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，再顺次连接即可得到； （2）根据位似图形的性质即可画出以点O为位似中心的位似图形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求，点的坐标为， 【点睛】本题考查了作图一位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换． 22．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点的横坐标是4，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题： （1）把代入，可得到点B的坐标，再把点B的坐标代入，即可求出k的值，即可求解； （2）设交x轴于点C，先求出点P的坐标，再根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，可求出点A的坐标，从而得到直线的解析式，进而得到点C的坐标，然后根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点B的坐标为， 把点代入得： ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，设交x轴于点C， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点P的坐标为， ∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点B的坐标为， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴． 23．（2025·安徽合肥·模拟预测）【学科融合】如图3，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图4，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 【答案】点E到地面的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明和，得到，即，即可得到答案． 【详解】解：反射角等于入射角， ． ． 又， ． ． ． ． ． ，解得． 由题意，可得， ． ，即， 解得． 点E到地面的高度为． 24．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图①，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点，是抛物线上的两点，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，若满足，请比较与的大小． (3)将抛物线平移，使得其顶点落在直线上，设平移后的抛物线与轴的交点为，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)； (3)点的纵坐标． 【分析】（1）依题得出点坐标后可推得点坐标，结合抛物线对称轴可知点坐标，设抛物线的解析式为，将点代入即可得解； （2）由推出，即可判断点比点距离对称轴更近，结合二次函数的图象与性质即可得解； （3）设平移后顶点，平移后抛物线解析式为，令，可得点的纵坐标，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：依题得：当时，， 即， ， 则， 抛物线的对称轴为直线，，两点关于对称轴对称， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 抛物线的表达式为； （2）解：， ， 即点比点距离对称轴更近， 由（1）得，，抛物线开口向下，有最大值， ； （3）解：设平移后顶点，则平移后抛物线解析式为， 平移后的抛物线与轴的交点为， 令，则点的纵坐标， 对于任意都有， ， 点的纵坐标． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质、二次函数的平移，解题关键是结合二次函数图像与性质解题． 25．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，E，F两点均在菱形的对角线上，射线交边于点G． (1)如图1，若． ①求证：． ②过点E作于点H，求证：． (2)如图2，射线交于点I，若，，，求的长． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2) 【分析】（1）①根据菱形性质得到，利用已知结合三角形内角和得到，从而得出结论；②连接，先证明，再证明，利用等角对等边得到，结合已知得出结论； （2）连接，先推出四边形为平行四边形，利用菱形性质得到，得到，设，则，列式解出的值即可． 【详解】（1）①证明：∵四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ． ②证明：如图1，连接． 由①可得， ， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ， ∴为的中点， ． （2）解：如图2，连接． ∵， ∴四边形为平行四边形． ， ， ， ∵四边形为菱形， ， ， 设，则， ， 解得（不合题意，舍去）， 即的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等角对等边，平行线分线段成比例，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$