九年级数学暑假结业卷（测试范围：第24-25章）-（暑期衔接课堂）2025-2026学年九年级上册数学（沪教版）

九年级数学暑假结业卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第24-25章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（6小题，每小题3分，共18分） 1．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）若，周长比为，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 6．（2025·上海嘉定·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图是由7个形状、大小完全相同的边长为的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，则线段的长为（   ） A． B．6 C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题3分，共36分） 7．（24-25九年级上·上海闵行·期末）若，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如果，那么 ． 9．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的度数 ． 10．（24-25九年级上·上海虹口·课后作业）请将下图中的相似图形的序号写出来： 11．（2025·上海松江·模拟预测）已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ． 12．（2025·上海静安·模拟预测）数学家定义：若点把线段分成两部分，满足，则点为线段的白银分割点．已知点是线段的白银分割点，且，则 ． 13．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图所示的是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，则的长为 ． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是 ． 15．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得．则 m． 16．（2025·上海金山·模拟预测）美术课上，聪聪用一块边长为2的正方形的厚纸板，做了一套七巧板（如图①）．慧慧用聪聪做的七巧板拼成了如图②所示的美术作品，则图中 ． 17．（2025·上海徐汇·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则 ． 18．（2025·上海静安·模拟预测）阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底A处沿坡度的山坡走到达坡顶B处测得P处的仰角为；他又沿坡面走到达坡底C处，测得P处的仰角为（点A，B，C，P在同一平面内）风筝的飞行高度为 （即的长）． 三、解答题（7小题，共66分） 19．（24-25九年级上·上海崇明·期中）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，满足． 20．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 21．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，已知两个不平行的向量、先化简，再求作：．不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量 22．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长． 23．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？    24．（2025九年级上·上海虹口·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    25．（2025·河南驻马店·模拟预测）汝南县古称汝宁，城墙始建于明代，主要用于防御北城门（如图①）是古城墙的北人口，曾是进出县城的主要通道之一．城门建筑风格古朴，体现了明代的建筑特色．某数学兴趣小组想要用无人机测量汝南北城门的高度（垂直于水平地面），测量方案如图②所示，先将无人机垂直上升至距水平地面25m高的点处，在此处测得汝南北城门顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向向汝南北城门飞行m到达点，此时测得妆南北城门底端的俯角为，若在同一平面内，求汝南北城门的高度．（结果精确到m参考数据：） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学暑假结业卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第24-25章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（6小题，每小题3分，共18分） 1．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 故选：D． 2．（2025·上海·模拟预测）在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了向量、向量的加法及向量模，理解这些知识是关键；在正方形中，向量相加的模长即为正方形对角线的长，它与边长的比值可通过勾股定理直接计算即可． 【详解】解：设正方形边长为，由勾股定理得：； 在正方形中， 表示从A到B再到C的路径，其结果为向量，即； ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）若，周长比为，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵，周长比为， ∴与的相似比为：， ∴与的面积比为：． 故选：B． 4．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及计算器．先求出，再求出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴，故A、B选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意； 故选：C 5．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 【答案】D 【分析】本题主要考查了仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答． 【详解】解：根据仰角与俯角的概念，可知从点观测点的仰角是， 从点观测点的俯角是， 故选：D． 6．（2025·上海嘉定·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图是由7个形状、大小完全相同的边长为的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，则线段的长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和及对角线，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确正六边形的特点．根据正多边形每个内角都相等，确定正六边形的每一个内角都为：，连接，过点D作，垂足为E，根据正六边形的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，推出，进而求出，由勾股定理即可求解． 【详解】解：正六边形的内角和为：， 正六边形的每一个内角都为：， 如图，连接，过点D作，垂足为E， 如图，正六边形的中心到每个顶点的距离相等，即， ， 都是等边三角形， 正六边形的边长为， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题3分，共36分） 7．（24-25九年级上·上海闵行·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．先由正弦得到，从而设，，利用勾股定理求得，再利用正切求解即可． 【详解】解：， ， 设，， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入所求式子中化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的度数 ． 【答案】/度 【分析】本题考查非负性，特殊角的三角函数值，根据非负性，以及特殊角的三角函数值求出，的度数，三角形的内角和定理，求出的度数，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，都是锐角， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海虹口·课后作业）请将下图中的相似图形的序号写出来： 【答案】①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩ 【分析】根据形状相同，但大小不一定相等的多边形是相似图形判断即可. 【详解】由相似形的定义可知，①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩是相似图形. 故答案为①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩. 【点睛】题主要考查的是相似图形的识别，正确理解相似图形的形状相同，但大小不一定相等是解题的关键. 11．（2025·上海松江·模拟预测）已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案． 【详解】解：∵与是位似三角形，且， ∴，相似比为， ∴与的周长比等于相似比． 故答案为：． 12．（2025·上海静安·模拟预测）数学家定义：若点把线段分成两部分，满足，则点为线段的白银分割点．已知点是线段的白银分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，理解白银分割点的定义是解题关键．根据白银分割点的定义得到，即可求出的长． 【详解】解：点是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为：． 13．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图所示的是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据三角形的中位线定理以及得到，则，那么，再根据三角形中位线定理得到的线段关系求出，即可求解． 【详解】解：∵为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的运算，掌握向量的运算法则是解题关键． 先根据向量运算求出，再根据线段中点的定义可得，然后根据向量运算即可得． 【详解】解：，， ， 点D是边的中点， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得．则 m． 【答案】1.2 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握“平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案是：1.2． 16．（2025·上海金山·模拟预测）美术课上，聪聪用一块边长为2的正方形的厚纸板，做了一套七巧板（如图①）．慧慧用聪聪做的七巧板拼成了如图②所示的美术作品，则图中 ． 【答案】/0.4 【分析】如图①所示：根据题意得，图形中的三角形为等腰直角三角形，可得，，， 如图②则有：，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图①所示：根据题意得，图形中的三角形为等腰直角三角形， ∴，，， 如图②则有：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，理解图形的含义是解本题的关键． 17．（2025·上海徐汇·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，锐角三角函数等知识．证是关键． 设，，则，，，，得出，即，求出和即可解答． 【详解】 解：设，，则，，，， ∵在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，负值舍去， ∴，， ∴； 故答案为：． 18．（2025·上海静安·模拟预测）阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底A处沿坡度的山坡走到达坡顶B处测得P处的仰角为；他又沿坡面走到达坡底C处，测得P处的仰角为（点A，B，C，P在同一平面内）风筝的飞行高度为 （即的长）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过作于，作于，由坡度得，设，，由勾股定理得，求出，即可求出，再由勾股定理得，设，由正切函数得，再由，即可求解；能熟练利用解直角三角形进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作于，作于， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ， 设，， ， ， 解得：， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（7小题，共66分） 19．（24-25九年级上·上海崇明·期中）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】（1）；（2），． 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，零指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． ∵ ∴ ∴ ∴原式． 20．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，四边形内角和定理， 根据相似三角形的性质可得，再代入求值，然后根据四边形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵四边形四边形， ∴. ∵ ∴ 解得， ∴. 21．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，已知两个不平行的向量、先化简，再求作：．不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量 【答案】，见解析 【分析】去括号合并同类向量，再利用三角形法则画出图形即可． 【详解】解：． 如图，即为所求． 【点睛】本题考查平面向量，三角形法则，解题的关键是掌握平面向量的加减混合运算，属于中考常考题型． 22．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据可得，代入数值求出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 23．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？    【答案】的值是或 【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质，列出等式，即可求解． 【详解】解：当△PBQ∽△ABC时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， 当△PBQ∽△CBA时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， ∴的值是或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 24．（2025九年级上·上海虹口·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    【答案】 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于，   ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 25．（2025·河南驻马店·模拟预测）汝南县古称汝宁，城墙始建于明代，主要用于防御北城门（如图①）是古城墙的北人口，曾是进出县城的主要通道之一．城门建筑风格古朴，体现了明代的建筑特色．某数学兴趣小组想要用无人机测量汝南北城门的高度（垂直于水平地面），测量方案如图②所示，先将无人机垂直上升至距水平地面25m高的点处，在此处测得汝南北城门顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向向汝南北城门飞行m到达点，此时测得妆南北城门底端的俯角为，若在同一平面内，求汝南北城门的高度．（结果精确到m参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握相关知识点，能构造直角三角形求解是解题的关键； 延长交延长线于C，先证明，然后在中，利用求出的长，再求的长即可． 【详解】如图，延长交延长线于C， 由题知，，，，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 答：汝南北城门的高度约为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$