暑假结业卷（测试范围：第1-4章）-（暑期衔接课堂）2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

九年级数学暑假结业卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第1-4章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）下面各组图形中，不是相似形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图四个转盘中，若转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江黑河·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，四边形是矩形，其中，，，则矩形的面积是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山东青岛·期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南开封·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 9．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点从点出发，沿正方形的边，，移动，运动路线为．设点经过的路程为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布” D．一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球 第II卷（非选择题） 2、 填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）定义新运算，则方程的解是 ． 12．（24-25九年级上·山东青岛·期末）点E，F是线段的两个黄金分割点，若，则线段的长为 ． 13．（24-25九年级上·山西太原·期末）定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 14．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让两个小灯泡同时发光的概率为 ． 15．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，矩形纸片中，E为边上一点，F为边上一点，沿折叠得，沿折叠得（，都在的内部）． （1）当与重合时， ； （2）当与的夹角为时， ．（用含的式子表示） 16．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·四川成都·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，．若，，求的长． 19．（24-25九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 122 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.59 (1)完成上表； (2)当很大时，估计摸到白球的频率将会接近___________； (3)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________； (4)估算口袋中黑球、白球的数量． 20．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）按要求画图，工具不限，不要求写画法，只需做出适当的标志标记． (1)将图1的（为直角）分割成两个三角形，使这两个三角形相似． (2)将图2的等腰（为直角）分割成四个三角形，使分割成的四个三角形中有两个三角形相似（相似比不为1），另两个三角形全等． 21．（24-25九年级上·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，，则______；______； (2)一元二次方程的两个根为，，求的值； (3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 22．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 23．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 24．（24-25九年级上·山西太原·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图，连接、，求的长； (2)如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止，在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、单位：，，已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 25．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在第四象限内画正方形，为x轴上的一个动点，将绕点B顺时针旋转到，连接． (1)点B的坐标为 ； (2)试判断线段，的关系，并说明理由； (3)设的中点为F，直线交y轴于点G．问：随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学暑假结业卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第1-4章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）下面各组图形中，不是相似形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决． 【详解】解：A、两幅国旗相似，故不符合题意； B、顶角不相等的两个等腰三角形不相似，故符合题意； C、两个五角星相似，故不符合题意； D、所有的圆都相似，故不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似图形的识别，我们把形状相同的图形称为相似形．关键要联系实际，根据相似图形的定义得出． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程． 根据运算程序可知，计算求解即可． 【详解】解：由题意可知 ∴ 解得，． 故选C． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图四个转盘中，若转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了几何概率．分别求出转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率即可得到答案． 【详解】解：A.阴影部分的面积占圆的面积的； B.阴影部分的面积占圆的面积的； C.阴影部分的面积占圆的面积的； D.阴影部分的面积占圆的面积的， ∵， ∴转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是A选项中的转盘， 故选：A. 4．（2025·黑龙江黑河·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程有实根，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 故选：D． 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，分别求出线段之间的数量关系，逐一计算，比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∵， ∴的差最大； 故选D． 6．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，四边形是矩形，其中，，，则矩形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，根据点，，的坐标分别求出发和的长度，再根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：，， ， ，， ， 矩形的面积是． 故选：A． 7．（24-25九年级上·山东青岛·期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，明确题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：A． 8．（2025·河南开封·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似形综合应用，分别证明和，运用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴，即， ∴； 又，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 故选：C． 9．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点从点出发，沿正方形的边，，移动，运动路线为．设点经过的路程为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，分三段分别分析即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：当点由点向点运动时，随着的增大而增大；当点在上运动时，，此时保持不变，为；当点在上运动时，随着的增大而减小，最小值为；能大致反映与的函数关系的图象是 故选：B． 10．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布” D．一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案． 【详解】解：A、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率为，故A选项错误，不符合题意； B、抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数的概率为，故B选项错误，不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布”的概率为，故C选项错误，不符合题意； D、一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球的概率为，符合题意； 故选：D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）定义新运算，则方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新运算得出一元二次方程．根据题目所给的运算得出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：根据题意，即， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 12．（24-25九年级上·山东青岛·期末）点E，F是线段的两个黄金分割点，若，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，把这种分割叫做黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．先由黄金分割的比值求出，，再由进行计算即可． 【详解】解：如图， 点E，F是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·山西太原·期末）定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，先根据新定义将原方程化为，然后根据方程有两个不相等的实数根列式求解即可． 【详解】∵， ∴可变为， ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让两个小灯泡同时发光的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：设，，，分别用1、2、3、4表示， 画树状图如图所示： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中能够让两个小灯泡同时发光的情况有种， ∴能够让两个小灯泡同时发光的概率为， 故答案为：． 15．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，矩形纸片中，E为边上一点，F为边上一点，沿折叠得，沿折叠得（，都在的内部）． （1）当与重合时， ； （2）当与的夹角为时， ．（用含的式子表示） 【答案】 45 或 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，折叠的性质推出，进而得到即可； （2）分在的外部和在的内部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解析：（1）如图1，当与重合时， 由折叠可知：，， ∵矩形纸片， ∴， ； 故答案为：45； （2）当与的夹角为时，分两种情况讨论． 如图2，此时在的外部，，，且， ， ； 如图3，此时在的内部，，，且 ， ， ； 综上所述，的值为或． 故答案为：或 16．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程是解题的关键； 分两种情况讨论，当时和当时，分别求解即可； 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：，此时； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去）， 此时． 综上所述，或． 故答案为：或． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·四川成都·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)，； (5)，； (6)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （1）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （2）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （3）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （4）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （5）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （6）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ， ， ，； （5）解：， ， ， ， ， ， ，； （6）解：， ， ， ， ， ， ，． 18．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，．若，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，根据即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 122 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.59 (1)完成上表； (2)当很大时，估计摸到白球的频率将会接近___________； (3)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________； (4)估算口袋中黑球、白球的数量． 【答案】(1)0.65，0.61，0.605，0.6 (2)0.6 (3)0.6，0.4 (4)白球约为12个，黑球约为8个 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，解题的关键是正确理解频率和概率之间的关系． （）用摸到白球的次数除以摸球总数可得对应的摸到白球的频率，据此可计算并填写表格； （）观察表格中的统计数据，即可得出结论； （3）根据摸到白球的频率，可以得出摸到白球的概率，进而可以求出摸到黑球的概率； （4）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少个； 【详解】（1）解：， 填写表格如下： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 122 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.59 （2）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （3）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是， ∴摸到黑球的概率是； 故答案为：，； （4）解：摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴（只），（只）， 答：白球约为12个，黑球约为8个． 20．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）按要求画图，工具不限，不要求写画法，只需做出适当的标志标记． (1)将图1的（为直角）分割成两个三角形，使这两个三角形相似． (2)将图2的等腰（为直角）分割成四个三角形，使分割成的四个三角形中有两个三角形相似（相似比不为1），另两个三角形全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的应用，等腰直角三角形，相似三角形的应用， （1）过点作于点，则△△（答案不唯一）； （2）构造平行四边形，则有△△，（答案不唯一）． 【详解】（1）解：过点作于点，则△△（答案不唯一）； （2）构造平行四边形，则有△△，△△（答案不唯一）． 21．（24-25九年级上·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，，则______；______； (2)一元二次方程的两个根为，，求的值； (3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 【答案】(1)6， (2)4 (3)3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）利用一元二次方程根与系数的关系，列出方程然后求解即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得；； 故答案为：6，； （2）解：根据根与系数的关系得，， ； （3）解：根据题意得， 解得， ，， 而， ， 整理得， 解得，舍去， 的值为 22．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【答案】(1)该长方体盒子的高为 (2)每个有盖盒子应降价4元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，正确读懂题意，列出方程是解题的关键． （1）设该长方体盒子的高为，根据长方体盒子的底面积是，结合图形得：，求解即可； （2）设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该长方体盒子的高为， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该长方体盒子的高为； （2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每个有盖盒子应降价4元． 23．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 【答案】楼房的高度为10米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是根据相似三角形的性质“对应边成比例”，列方程求解． 根据题意，可分别证明，，利用相似三角形对应边成比例，分别得到与的关系，进而求解． 【详解】解：楼房和标杆均与地面垂直， ， ， ， ，即， 整理，得， ，， ， ， 即， 又， 整理，得， 解得， 答：楼房的高度为10米． 24．（24-25九年级上·山西太原·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图，连接、，求的长； (2)如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止，在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、单位：，，已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）分情况讨论可知，当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可； 分三种情况讨论可知与满足的数量关系式． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， 垂直平分，垂足为， ， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形， 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ． （2）显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上或在，在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形， 以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，， 点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒， ，，即， ， 解得， 以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． 由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： 如图，当点在上、点在上时，，即，得； 如图，当点在上、点在上时，，即，得； 如图，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用． 25．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在第四象限内画正方形，为x轴上的一个动点，将绕点B顺时针旋转到，连接． (1)点B的坐标为 ； (2)试判断线段，的关系，并说明理由； (3)设的中点为F，直线交y轴于点G．问：随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)且，理由见解析 (3)点G的位置不会发生变化；理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、坐标与几何图形的关系、正方形的性质等知识点，解题的难点在于作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等得出是等腰直角三角形． （1）由正方形的性质可得出答案； （2）由正方形，可得，，由等腰直角三角形，可得，，再根据，即可得到，进而得出结论； （3）过点点E作，分别交直线，于点P，Q，判定，可得，，判定，可得，进而得到是等腰直角三角形，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，是正方形， ∴，， 又∵点B在第四象限， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （2）解：且，理由： 设与，分别交于点M，N． 由正方形，可得，， 由旋转可得，， ∴， 即， ∴， ∴， ， 在和中，，， ∴， ∴ ； （3）解：点G的位置不会发生变化． 理由：如图，过点E作，分别交直线，于点P，Q， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即点G的位置不会发生变化． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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