精品解析：湖北省部分重点高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

湖北省部分省级示范高中2024~2025学年下学期期末测试 高—数学试卷 考试时间：2025年6月25日 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为复数（为虚数单位）为纯虚数，则，解得. 故选：A. 2. 与向量垂直的单位向量是（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果. 【详解】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，， 所以，解得或，故或. 故选：C. 3. 已知圆锥的母线长为2，高为，则圆锥的全面积为（ ） A 5π B. 4π C. 3π D. 2π 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理得出底面半径，进而由圆的面积公式以及圆锥的侧面积公式得出圆锥的全面积. 【详解】因为圆锥的母线长为2，高为， 所以该圆锥的底面半径为， 则圆锥的全面积为. 故选：C. 4. 已知向量，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值，结合同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为向量，，所以， 故为锐角，则， 故. 故选：B. 5. 正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用异面直线的定义结合异面直线所成角的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，连接、、，如下图所示： 在正方体中，因为、分别为、的中点，所以， 同理可证，由图可知，、为异面直线， 因为，，故四边形为平行四边形， 故，则， 因为四边形为正方形，所以，故，A不满足要求； 对于B选项，连接、、、，如下图所示： 由图可知，直线、为异面直线， 因为、分别为、的中点，所以，同理可得， 因为，，故四边形为平行四边形，故， 所以，异面直线、所成角等于或其补角， 在正方体中，易知为等边三角形，故， 故异面直线、所成角为，B满足要求； 对于C选项，连接、、，如下图所示： 在正方体中，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为、分别为、的中点，所以，故， 所以，、共面，C不满足要求； 对于D选项，在正方体中，取棱的中点，连接、、， 由图可知，直线、为异面直线， 因为、分别为、的中点，所以，同理可证，故， 故异面直线、所成角为或其补角， 因为，，、分别为、的中点， 所以，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，故平面， 因为平面，故， 不妨设正方体的棱长为，则，， 所以，故，D不满足要求. 故选：B. 6. 设、、、是同一个半径为的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得外接圆半径，进而可得球心到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值，即可得结果． 【详解】不妨设，设，则，所以， 设的外接圆的圆心为，半径为，则， 则球心到平面的距离， 当、、共线且在线段上时，三棱锥的高最大为， 此时三棱锥的体积也最大，最大值为. 故选：D． 7. 在中，为的外心，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理求得内角的值，根据圆的性质，可得向量夹角，由正弦定理求得外接圆的半径，利用向量数量积的定义式，可得答案. 【详解】由题意作图： 由余弦定理可得，解得， 由图可知， 由正弦定理可得，为外接圆的半径， 则，即， 所以. 故选：A. 8. 已知向量满足：.则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件及不等式求最大值即可. 【详解】因为 ，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 若复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部为 B. C. 复数z对应的点在第一象限 D. 复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数，根据虚部、复数的模、复数对应复平面内点的象限、和复平面内点的轨迹的概念，分别判断各选项正误. 【详解】已知， 所以虚部为，A错误， ，所以B正确， 复数z对应的点为，在第一象限，所以C正确， 设，则，， 可知， 可以等价为点到点的距离的最大值， 因为，所以点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的单位圆， 如图所示， 则点到圆周上的点的距离最大值为到圆心距离加半径，即为，所以D正确. 故选：BCD. 10. 一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（ ） A. 去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B. 去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C. 去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D. 去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】AC选项，可举出实例；B选项，由方差的意义可得；D选项，当平均数和中位数相等时，掉样本数据中的中位数后，其方差为，D错误. 【详解】对于 A，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 去掉最大值和最小值后，新数据为，其平均数为， 一般情况下， 例如数据，其平均数， 去掉1和10后，新数据的平均数为，不相等，故A选项错误； 对于B，方差反映数据的离散程度，原数据中最大值和最小值会使数据的离散程度较大， 去掉最大值和最小值后，数据相对更加集中，根据方差的意义，新数据的方差会小于原方差，故B选项正确； 对于C，去掉最小值后，新数据的方差不一定小于原方差，故C选项错误， 下面举出例子，设这5个互不相等的数据为0,0.1,0.2,0.3,4， 则它们平均数为， 方差为， 去掉最小值0后，新数据为0.1,0.2,0.3,4，其平均数为， 其方差为， ，C错误； 对于 D，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 方差为， 中位数是将数据排序后位于中间位置的数，当去掉中位数后， 剩下的4个数其平均数为， 所以当时，其方差为， 其方差会大于原方差，故D错误. 故选：ACD 11. 如图，四面体ABCD中，M是棱AB上的动点，N是棱CD上的动点（M、N不与四面体的顶点重合）.记BN与DM所成的角为与平面MCD的所成的角为，平面MCD与平面BCD的夹角为，则的大小关系不可能是（ ） （注：平面与平面相交形成的四个二面角中，不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先证明最小角定理与最大角定理，从而得，由此判断AC；再举例建系求解，说明BD项大小关系可能成立. 【详解】①证明：（最小角定理）线面角是平面内一条斜线与该平面内的直线所成角中的最小角. 如图，是平面的一条斜线，点在平面内的射影为，直线是平面过点除外的任意一条直线. 下面先证明. 过作，垂足为，由平面，平面， 则，又，且平面， 故平面，平面，则， 故都是直角三角形， 则， 从而，又， 故，而即为与平面所成的角. 又由直线所成角定义可知，直线经过平移后不改变所成角， 故最小角定理得证. 由最小角定理，本题中可得，故C大小关系不可能成立； ②证明：（最大角定理）两平面的夹角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大角. 如图，为锐二面角的棱，为棱上一点，，且，是上异于点的任一点. 下面先证明. 由题意可知，是锐二面角的平面角，即平面的夹角. 由，，则， 则都是直角三角形， 则. 从而，由题意又， 则，即最大角定理得证. 由最大角定理，在本题中可得，故A大小关系不可能成立； B项，举例如下：如图，在四面体ABCD中，及都是等腰直角三角形，且平面平面， 其中，M是棱上的中点，N是棱上的中点（不与四面体的顶点重合）. 如图，取中点，由可得，且. 平面平面， 又平面平面，平面， 则平面，同理，平面. 由得， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由此可得，，， 则； 设平面的一个法向量， 则， 令，则， 取， 则， 则， 取平面的一个法向量， 则， 由，即，则； 故B项大小关系可能成立； D项，举例如下： 如图，在四面体中，与都是等腰直角三角形，且平面平面， 其中，M是棱上靠近的五等分点（）， N是棱上的靠近的四等分点（），（不与四面体的顶点重合）. 由题意可知，又平面平面， 且平面平面，平面， 则平面. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由此可得，，， 则； 设平面的一个法向量， 则， 令，则， 取， 则， 则， 取平面的一个法向量， 则， 由，即，则； 故D项大小关系可能成立； 综上，大小关系不成立的是AC. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 我市某所高中共有学生1800人，其中一、二、三年级的人数比为，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为______． 【答案】100 【解析】 【分析】根据抽样比即可求解. 【详解】由题意可得应抽取一年级的人数为. 故答案为：100 13. 已知向量满足．若与夹角是，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由题意求，再由计算即可得解. 【详解】由题意可得， 所以即， 解得. 故答案为： 14. 设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据满足与平面成的角可得的轨迹为线段和个圆（），故可求其长度. 【详解】 因为与平面成的角， 故在为对称轴且轴截面顶角的一半为的圆锥面上（除去）， 而在正方体表面上且由正方体的性质有， 故的轨迹为线段和个圆（）， 故点轨迹的长度为， 故答案为：. 四、解答题：本大題共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 复数z的共轭复数为，i为虚数单位． （1）若是关于z的实系数一元二次方程的一根，求实数a，b的值． （2）若，求复数z． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用韦达定理可求参数的值；法二：将复数根代入方程后结合复数相等可求参数的值； （2）设，根据题设可得关于的方程，根据复数相等得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 法一：由已知有方程的两根为 由根与系数的关系得 . 法二：由已知有， 由复数相等得， . 【小问2详解】 设， ，由复数的相等有， 解得. 16. 如图，在直三棱柱中，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，可得出，由正方形的几何性质得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）设，则为的中点，连接，分析可知与平面所成的角等于平面所成的角，设其大小为，结合线面角的定义可知，求出、的长，即可求出的值. 【小问1详解】 在中，，，．，， 在直三棱柱中，平面， 平面，， ，、平面，平面， 平面，． 又知四边形是正方形，． ，、平面，平面． 【小问2详解】 在直三棱柱中，， 与平面所成的角等于平面所成的角，设其大小为， 设，则为的中点，连接． 由（1）知，平面，平面所成的角为， 因为四边形为矩形，，，故， 所以， 在中，． 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 17. 七彩联盟组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取500名学生的竞赛成绩为样本，按照分成6组，制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；样本的学生的平均成绩为分． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）成绩位列前60%的学生将获得优胜奖，以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为多少分？（取整数分） （3）求样本的方差． 【答案】（1） （2）93 （3）792 【解析】 【分析】（1）有两种方法计算a的值，方法一是根据总体均值和加权平均数计算公式，直接计算出在之间的频率，进而求出a的值，方法二也是根据加权平均数计算公式，计算之间每一组的频率，求出a的值. （2）根据频率分布直方图计算总体百分位数的方法，计算第60百分位数，求出优胜成绩. （3）根据方差的计算公式，根据已有的两组样本方差和各组的频率，计算出总体的方差. 【小问1详解】 解法一：设成绩在[90，150]的频率为p，则成绩在的频率为，根据题目，平均成绩， 有，解得； 则根据频率分布直方图有， 解得 解法二：根据频率分布直方图以及， 得， 解得． 【小问2详解】 设获得优胜奖的成绩为Y分，易计算得频率分布直方图成绩在的频率分别为0.28、0.24、0.12； 则优胜奖成绩Y位于中， 由此有，解得， 故以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为93分． 【小问3详解】 样本方差， 代入有， 则样本的方差． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积，且有． （1）求角A和角C； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由题设列式求出角A，法一：由余弦定理角化边结合题设求得，再由正弦定理即可求出角C；法二：先由正弦定理边化角结合内角和关系和两角和与差的正切公式求出的关系即可求解； （2）由（1）可得角，进而由面积公式和正弦定理可求出，再由结合和即向量运算性质即可求解. 【小问1详解】 由已知得，两式相除得， 又； 又已知， 解法一：根据余弦定理有 ，化简得 由正弦定理得，， 又． 解法二：由正弦定理得， ，代入 得，化简得． 又． 【小问2详解】 ，； 又由（1）得， ，化简得，即； ， 两边同时平方有 ， 化简得. 19. （1）如图1，直线l与的三边所在直线分别相交于P，Q，R三点．若，，证明：． （2）四面体ABCD中，E，F分别为棱AB，CD的中点，经过EF的平面分别与棱BC，DA相交于点G，T（不与顶点重合），证明： ①若，则（如图2）； ②平面始终平分四面体ABCD的体积.请仅就AC与平面相交于点K时（如图3）证明此结论. 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三点共线的推论可得，，进而列式求证即可； （2）①根据线面平行的性质，由可得，再结合E为AB的中点，可得G为BC中点，进而得到，进而求证即可；②结合（1）可得，由E，F分别为AB，CD中点可得，连接EF，ED，进而结合棱锥的体积公式求证即可. 【详解】（1），由知， 又P，Q，R三点共线，①， 由知②， 不共线， 由①②及平面向量基本定理有， ，化简得，得证； （2）①，平面ACB经过AC且与平面相交于EG， ，又E为AB的中点，G为BC中点， F为CD中点，， ，，得证； ②由已知有AC，EG，TF三线相交于点K， 由（1）有， E，F分别为AB，CD中点，， 记，四面体ABCD的体积为V，多面体的体积为， 连接EF，ED，则有， ， ， 即平面平分四面体ABCD的体积，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分省级示范高中2024~2025学年下学期期末测试 高—数学试卷 考试时间：2025年6月25日 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. D. 2. 与向量垂直的单位向量是（ ） A. B. C. 和 D. 和 3. 已知圆锥的母线长为2，高为，则圆锥的全面积为（ ） A. 5π B. 4π C. 3π D. 2π 4. 已知向量，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为的是（ ） A. B. C. D. 6. 设、、、是同一个半径为的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，为的外心，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 已知向量满足：.则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 若复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部为 B. C. 复数z对应点在第一象限 D. 复数满足，则的最大值为 10. 一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（ ） A. 去掉样本数据中最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B. 去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C. 去掉样本数据中最小值后得到一组新数据，其方差小于 D. 去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 11. 如图，四面体ABCD中，M是棱AB上的动点，N是棱CD上的动点（M、N不与四面体的顶点重合）.记BN与DM所成的角为与平面MCD的所成的角为，平面MCD与平面BCD的夹角为，则的大小关系不可能是（ ） （注：平面与平面相交形成的四个二面角中，不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 我市某所高中共有学生1800人，其中一、二、三年级的人数比为，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为______． 13. 已知向量满足．若与夹角是，则______． 14. 设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为______． 四、解答题：本大題共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 复数z的共轭复数为，i为虚数单位． （1）若是关于z的实系数一元二次方程的一根，求实数a，b的值． （2）若，求复数z． 16. 如图，在直三棱柱中，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 七彩联盟组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取500名学生的竞赛成绩为样本，按照分成6组，制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；样本的学生的平均成绩为分． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）成绩位列前60%学生将获得优胜奖，以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为多少分？（取整数分） （3）求样本的方差． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积，且有． （1）求角A和角C； （2）若，求． 19. （1）如图1，直线l与的三边所在直线分别相交于P，Q，R三点．若，，证明：． （2）四面体ABCD中，E，F分别为棱AB，CD的中点，经过EF的平面分别与棱BC，DA相交于点G，T（不与顶点重合），证明： ①若，则（如图2）； ②平面始终平分四面体ABCD的体积.请仅就AC与平面相交于点K时（如图3）证明此结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $