专题06 直线的方程（十大考点精讲）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题06 直线方程 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点一、直线的点斜式方程 2 知识点二、直线的斜截式方程 2 知识点三、直线的两点式方程 3 知识点四、直线的截距式方程 3 知识点五、直线的一般式方程 4 知识点六、直线方程不同形式之间的关系 4 知识点七、直线方程的综合应用 5 三、探究重点难点 6 重难点题型1 点斜式方程 6 重难点题型2 斜截式方程 7 重难点题型3 两点式方程 9 重难点题型4 截距式方程 10 重难点题型5 一般式方程 12 重难点题型6 直线过定点 14 重难点题型7 两条直线平行的判定与性质 16 重难点题型8 两条直线垂直的判定与性质 18 重难点题型9 直线与坐标轴围成的面积 19 重难点题型10 直线方程的综合应用 21 四、突破热点题型 27 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 知识点诠释： 1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2.当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3.当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：. 4.表示直线去掉一个点；表示一条直线. 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 知识点诠释： 1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2.斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式. 4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距. 知识点三：直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式. 知识点诠释： 1.这个方程由直线上两点确定； 2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程. 3.直线方程的表示与选择的顺序无关. 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距. 知识点诠释： 1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. 2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距. 知识点五：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2． 在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 知识点六：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 知识点七：直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线,, 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为 重难点题型1 点斜式方程 例1.（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即. 故选：D 例2.（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线方程的点斜式可直接求解 【详解】因为直线经过点且斜率为1， 所以，即， 故答案为：. 1.（24-25高二下·河南·月考）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得. 故选：A 2.（24-25高二上·云南红河·周测）过点且倾斜角为的直线方程为 . 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线的倾斜角及其所过点的坐标求出直线的方程. 【详解】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为. 故答案为：. 重难点题型2 斜截式方程 例3.（24-25高二下·湖南·开学考试）直线在轴的截距为（    ） A．-3 B． C． D．3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】直接令即可得到答案. 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为． 故选：C． 例4.若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将截距范围转化为直线与线段有交点，利用斜率计算公式及其意义即可得出． 【详解】取直线与轴的交点，． ，． 直线与线段相交， 或． 故选：． 【点睛】本题考查了直线在坐标轴上截距的定义、斜率计算公式及其意义，考查了转化思想与计算能力，属于基础题． 1.经过点，且斜率等于直线的斜率的2倍的直线的一般式方程为________． 【答案】 【分析】由已知求得所求直线的斜率，运用直线的点斜式方程，从而求出直线的一般式方程． 【详解】因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率． 又所求直线经过点，所以所求直线的方程为，即． 故答案为：. 2.（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据截距式方程判断即可. 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 重难点题型3 两点式方程 例5.经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】根据直线两点式方程可得答案. 【详解】当经过的直线不与轴、轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于可能相等，也可能相等， 所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线． 故选：C． 例6.（24-25高二上·全国·周测）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 1.已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线两点式方程及辨析 【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案. 【详解】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 2.经过两点的直线交轴于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】由两点式得直线方程，化为一般式方程即可求得直线与轴交点的坐标. 【详解】由直线的两点式方程，得所在直线的方程为，即 令，得，故点坐标为. 故答案为： 重难点题型4 截距式方程 例7.（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可. 【详解】设直线在轴上的截距为， 当时，所求直线的方程可设为， 因为直线过点， 所以，故，即直线方程为， 当时，可设直线方程为， 由直线过点可得，， 所以，故直线方程为. 所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数 的直线方程是或. 故选：C. 例8.（24-25高二下·四川泸州·期末）直线在轴上的截距为（   ） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】直线方程中令求得值即得. 【详解】在中令得， 故选：A. 1.（24-25高二上·安徽亳州·周测）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】通过讨论截距为0和不为0两类情况讨论即可. 【详解】当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即; 当截距不为0时，设的方程为，由过点，得， 解得，所以的方程为. 故答案为：或 2.（24-25高二下·上海·月考）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0的情况）. 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 重难点题型5 一般式方程 例9.（24-25高二上·广东潮州·月考）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【详解】解：由题意可知 ，故直线的方程可化为 ， 由 ， 可得 ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 例10.（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 1.（多选）下列说法中正确的是（ ） A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示 B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点 C．当时，方程表示的直线与轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 【答案】ABC 【分析】 对于选项A，分和两种情况，将直线方程化为关于的二元一次方程（不同时为0），可知正确； 对于选项B，将原点代入方程，可知正确； 对于选项C，将方程化为，可知正确； 对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，可知错误. 【详解】 对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角， 当时，直线的斜率存在，其方程可写成， 它可变形为，与比较， 可得，显然不同时为0， 当时，直线方程为，与比较， 可得，显然不同时为0，所以此说法是正确的. 对于选项B，当时，方程（不同时为0）， 即，显然有，即直线过原点.故此说法正确. 对于选项C，当时，方程可化为， 它表示的直线与轴平行，故此说法正确. 对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，故此说法错误. 故选：ABC. 【点睛】 本题考查了直线方程一般式的概念，考查了直线方程的一般式与其它四种形式的互化，属于基础题. 2.已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【分析】通过解方程组求出直线l与两直线交点的坐标，再利用中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设直线l的斜率为，因为直线l过， 所以直线方程为， 由， 由，由题意可知：是截得的线段的中点， 所以，即， 故答案为： 重难点题型6 直线过定点 例11.（24-25高二上·内蒙古赤峰·周测）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点. 【详解】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C 例12.（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】根据已知直线方程化简列方程组计算求解即可. 【详解】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. 1.（24-25高二上·河北邯郸·月考）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线化为，即可得定点. 【详解】直线可化为，则时有，即恒过定点． 故选：D 2.（24-25高二上·上海·期末）直线恒过定点 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】将不等式变形为，可得原直线过直线的交点，联立直线，求交点即可. 【详解】由可得， 所以直线过直线的交点， 故，解得， 故定点为. 故答案为： 重难点题型7 两条直线平行的判定与性质 例13.（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断是否成立，注意分析重合情况. 【详解】， 对于A：，可知两直线重合，不符合； 对于B：，所以不平行，不符合； 对于C：，所以不平行，不符合； 对于D：，，且，所以两直线平行，符合； 故选：D. 例14.（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线．若，则实数的值为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 1.（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知直线：与直线：平行，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、已知弦（切）求切（弦）、已知直线平行求参数 【分析】由直线平行的公式可得，进而得的值. 【详解】根据题意可得，则． 故选：C. 2.（23-24高二上·吉林辽源·期末）已知直线，直线，且，则的值为 . 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据两直线平行，列式计算，经验证即可确定答案. 【详解】由，可得，即， 故或， 当时，直线和直线平行，符合题意； 当时，直线和直线重合，不合题意， 故， 故答案为：0 重难点题型8 两条直线垂直的判定与性质 例15.（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 例16.（24-25高二上·天津滨海新·周测）过点与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】根据垂直直线系方程，代入坐标即可求解. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将代入即可得， 故直线方程为， 故答案为： 1.（24-25高二上·河南新乡·期末）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由垂直直线的斜率关系求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】由题意，直线与直线垂直，故直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 2.（24-25高二上·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据条件，利用两直线垂直时，斜率间的关系，得到所求直线的斜率，再由直线的点斜率式，即可求解. 【详解】因为直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为，即， 故答案为：. 重难点题型9 直线与坐标轴围成的面积问题 例17.已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】设所求直线方程为，求出直线与x，y轴的交点坐标，根据三角形的面积等于2即可得解. 【详解】设直线l的方程为，由题意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得， 所以，即，解得， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 例18.（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 1.（2024高二上·全国·周测）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 2.（24-25高一下·湖南长沙·期末）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】由题意设直线的方程为，然后求出直线与坐标轴的交点坐标，再由直线与两坐标轴相交所得三角形面积为1，列方程可求出的值，从而可得直线的条数 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为， 令，解得；令，解得. ， 化为，即①，②， 由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解. 因此直线共有2条. 故选：B. 重难点题型10 直线方程的综合应用 例19.（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）利用截距式，设直线的方程为，再根据面积和经过的得到方程组，解出即可； （2）分直线过原点和不过原点讨论即可. 【详解】（1）由题意可设直线的方程为， 代入有，又由题意得，则， 联立解得或， 则直线的方程为或， 即或. （2）当直线经过原点时，则，则，即； 当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得， 即. 综上所述直线的方程为或. 例20.（24-25高二上·上海·期末）如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． (1)求直线的方程（用表示）； (2)求锯成的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线围成图形的面积问题、基本不等式求和的最小值、求点到直线的距离 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程；（2）先由题意确定的范围，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以， （2）又因为，，易得直线，直线， 联立，解得；联立，解得， 故，. 因为，，所以，所以， 因为， 设M到直线的距离为d，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为. 1.（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、直线截距式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）根据向量知识推出重心的坐标公式，求出顶点C坐标，再写出边所在直线的方程. （2）通过讨论截距为0和不为0两种情况即可求解. 【详解】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 2.（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【答案】(1)0 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题 【分析】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解； （2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得的斜率，即可求出直线方程. 【详解】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：,即，两直线重合，舍去； 故. （2）由直线：， 即，令，可得， 所以定点， 由：，令，可得， 可知定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽·周测）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线斜率的定义 【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即， 故选：A． 2．（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】直接令计算即可求解. 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为. 故选：A 3．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 4．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 5．（24-25高一下·重庆·期末）直线的一个方向向量是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线的一般式方程及辨析、求直线的方向向量 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率即可得解. 【详解】直线的斜率为，则该直线的一个方向向量是， 而选项BCD中对应向量与不共线，因此A是，BCD不是. 故选：A 6．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 7．（24-25高二下·广东·周测）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】化为斜截式得解. 【详解】依题意，直线，故其斜率为. 故选：A. 8．（23-24高二上·四川绵阳·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】点方向式方程 【分析】把直线方程化为斜截式，根据直线方向公式进行判断即可. 【详解】，所以该直线的一个方向向量为， 因为，所以向量与向量是共线向量， 其他选项的向量与向量不是共线向量. 故选：B 9．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线化为，据此可得定点坐标. 【详解】， 令，解得，则所过定点为. 故选：C 10．（22-23高二下·河北石家庄·期末）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据题意，由两直线位置关系的判断方法，代入计算，即可求解. 【详解】因为直线和， 当时，即，此时两直线重合， 当时，即，此时两直线平行， 所以直线和的位置关系是平行或重合. 故选：C 11．（24-25高二下·安徽铜陵·周测）经过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用两直线的垂直的斜率关系结合点斜式计算即可. 【详解】由题意可知的斜率为，所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为，故B正确. 故选：B 二、填空题 12．（2025高二上·全国·专题练习）过点，平行于x轴的直线方程为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】平行于轴直线，斜率为0，方程形式为. 【详解】过点，平行于x轴的直线方程为. 故答案为： 13．经过两点的直线的方向向量为，则直线的方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】由直线的方向向量求出点坐标，再由两点式计算直线的方程. 【详解】由题知，解得，即， 将两点坐标代入直线的两点式方程可得， 即． 故答案为：. 14．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】设出截距式方程，代入已知点坐标求解． 【详解】由题意设直线方程为，且， 又直线过点，则，， 所以直线方程为，即． 故答案为：． 15．已知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数 . 【答案】或 【难度】0.94 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分类讨论，由截距式方程的概念求解即可 【详解】当时，直线方程为，故直线在轴上没有截距，不符合题意； 当时，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 故，解得或. 故答案为：或 16．（2025·陕西西安·二模）若点在直线上，且，则的最小值为 ． 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据给定条件可得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由点在直线上，得，而，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故答案为：8 17．（24-25高二下·湖南娄底·周测）过点和的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】利用斜率公式得到斜率，再结合点斜式方程求解即可. 【详解】设斜率为，由斜率公式得， 由点斜式方程得直线方程为，化简得，即. 故答案为： 18．直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线过定点问题、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】将直线化为，解方程组可得第一空答案；根据直线斜率的取值范围可得第二空答案. 【详解】直线可以化为， 则令，解得， 即直线过定点， 又直线可化为，， 则倾斜角的最小值是. 故答案为：； 19．（24-25高二上·北京·期中）若直线：与直线：平行，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、已知直线平行求参数 【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数，然后对参数进行检验即可求解. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，解得，， 当时，直线：，直线：，即，满足题意； 当时，直线：，直线：，即， 则此时两直线重合，不满足题意，舍去. 综上所述，. 故答案为：2. 20．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用直线互相垂直求得直线的斜率，进而利用点斜式求得直线方程. 【详解】因为直线与直线垂直，直线的斜率为，所以直线的斜率为， 因为直线过点，所以，即. 故答案为：. 故答案为: 或. 三、解答题 21．（24-25高二上·湖北·周测）已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、已知两点求斜率、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. 【详解】（1）由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 22．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 直线方程 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点一、直线的点斜式方程 2 知识点二、直线的斜截式方程 2 知识点三、直线的两点式方程 3 知识点四、直线的截距式方程 3 知识点五、直线的一般式方程 4 知识点六、直线方程不同形式之间的关系 4 知识点七、直线方程的综合应用 5 三、探究重点难点 6 重难点题型1 点斜式方程 6 重难点题型2 斜截式方程 7 重难点题型3 两点式方程 9 重难点题型4 截距式方程 10 重难点题型5 一般式方程 12 重难点题型6 直线过定点 14 重难点题型7 两条直线平行的判定与性质 16 重难点题型8 两条直线垂直的判定与性质 18 重难点题型9 直线与坐标轴围成的面积 19 重难点题型10 直线方程的综合应用 21 四、突破热点题型 27 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 知识点诠释： 1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2.当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3.当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：. 4.表示直线去掉一个点；表示一条直线. 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 知识点诠释： 1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2.斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式. 4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距. 知识点三：直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式. 知识点诠释： 1.这个方程由直线上两点确定； 2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程. 3.直线方程的表示与选择的顺序无关. 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距. 知识点诠释： 1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. 2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距. 知识点五：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2． 在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 知识点六：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 知识点七：直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线,, 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为 重难点题型1 点斜式方程 例1.（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 例2.（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 1.（24-25高二下·河南·月考）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·云南红河·周测）过点且倾斜角为的直线方程为 . 重难点题型2 斜截式方程 例3.（24-25高二下·湖南·开学考试）直线在轴的截距为（    ） A．-3 B． C． D．3 例4.若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 1.经过点，且斜率等于直线的斜率的2倍的直线的一般式方程为________． 2.（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 重难点题型3 两点式方程 例5.经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 例6.（24-25高二上·全国·周测）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 1.已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 2.经过两点的直线交轴于点，则点的坐标是 ． 重难点题型4 截距式方程 例7.（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 例8.（24-25高二下·四川泸州·期末）直线在轴上的截距为（   ） A． B． C．-1 D． 1.（24-25高二上·安徽亳州·周测）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 2.（24-25高二下·上海·月考）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 重难点题型5 一般式方程 例9.（24-25高二上·广东潮州·月考）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例10.（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 1.（多选）下列说法中正确的是（ ） A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示 B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点 C．当时，方程表示的直线与轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 2.已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______． 重难点题型6 直线过定点 例11.（24-25高二上·内蒙古赤峰·周测）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 例12.（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 1.（24-25高二上·河北邯郸·月考）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 2.（24-25高二上·上海·期末）直线恒过定点 ． 重难点题型7 两条直线平行的判定与性质 例13.（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 例14.（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线．若，则实数的值为 ． 1.（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知直线：与直线：平行，则（   ） A．2 B． C． D． 2.（23-24高二上·吉林辽源·期末）已知直线，直线，且，则的值为 . 重难点题型8 两条直线垂直的判定与性质 例15.（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 例16.（24-25高二上·天津滨海新·周测）过点与直线垂直的直线方程为 . 1.（24-25高二上·河南新乡·期末）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为 ． 重难点题型9 直线与坐标轴围成的面积问题 例17.已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是 . 例18.（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 1.（2024高二上·全国·周测）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 2.（24-25高一下·湖南长沙·期末）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 重难点题型10 直线方程的综合应用 例19.（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 例20.（24-25高二上·上海·期末）如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． (1)求直线的方程（用表示）； (2)求锯成的面积的最小值． 1.（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 2.（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽·周测）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（   ） A． B． C． D．3 3．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 4．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·重庆·期末）直线的一个方向向量是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·广东·周测）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川绵阳·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（22-23高二下·河北石家庄·期末）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 11．（24-25高二下·安徽铜陵·周测）经过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（2025高二上·全国·专题练习）过点，平行于x轴的直线方程为 ． 13．经过两点的直线的方向向量为，则直线的方程为 ． 14．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 15．已知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数 . 16．（2025·陕西西安·二模）若点在直线上，且，则的最小值为 ． 17．（24-25高二下·湖南娄底·周测）过点和的直线方程为 . 18．直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 19．（24-25高二上·北京·期中）若直线：与直线：平行，则 ． 20．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程 . 三、解答题 21．（24-25高二上·湖北·周测）已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 22．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$