专题05 直线的倾斜角与斜率（七大考点精讲）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题05 直线的倾斜角与斜率 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点一、直线的倾斜角 2 知识点二、直线的斜率 3 知识点三、过两点的直线斜率公式 3 知识点四、直线平行 4 知识点五、直线垂直 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 求直线的倾斜角 5 重难点题型2 求直线的斜率 5 重难点题型3 已知直线的倾斜角、斜率求参数 6 重难点题型4 直线与线段相交求斜率的范围 7 重难点题型5 两条直线的平行 8 重难点题型6 两条直线的垂直 9 重难点题型7 两条直线的平行、垂直在几何中的应用 10 四、突破热点题型 11 知识点一、直线的倾斜角 1．直线的确定 在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可. 2．直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 【倾斜角与倾斜程度】 平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度. 3．倾斜角的取值范围 当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 . 如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角. 知识点二、直线的斜率 1．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即. 【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率. 2．斜率与倾斜角之间的关系 ①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ； ②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ； ③当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； ④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 . 3．直线的倾斜程度 （1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度. （2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. 知识点三、过两点的直线的斜率公式 1．公式 经过两点的直线的斜率公式为 . 【名师提醒】 （1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况. （2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换. （3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时. 知识点四、直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行. 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即. 知识点五、直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直. 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相 ，即. 重难点题型1 求直线的倾斜角 例1.（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 例2.（24-25高二上·上海·周测）直线的倾斜角是 1．（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）直线的倾斜角为 ． 重难点题型2 求直线的斜率 例3.经过两点，的直线的斜率等于2，则 . 例4.（24-25高二下·上海杨浦·周测）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 例5.（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型3 已知直线的斜率或倾斜角求参数 例6．已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 例7.（23-24高二上·陕西咸阳·周测）直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 1．（24-25高二上·山东临沂·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 2．（2024高二上·江苏·月考）设直线的方程为，若直线的倾斜角为，试求的值. 重难点题型4 直线与线段相交求斜率的范围 例8.（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，若经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 例9.（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 1．（24-25高二上·广东深圳·周测）已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为 . 2．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 两条直线的平行 例10.直线，那么与 . 例11.（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 重难点题型6 两条直线的垂直 例12.（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 例13.（24-25高二下·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为 . 1．（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 重难点题型7 两条直线的平行、垂直在几何中的应用 例14.（2024高一上·浙江杭州·月考）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 例15.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．求：    (1) AD边所在直线的方程； (2) DC边所在直线的方程． 1．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A． B． C． D． 2．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的高所在直线的一般式方程为 . 一、单选题 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南文山·周测）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．在中，，AB的中点，重心，则BC边所在直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D．-2 4．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 5．过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 6．（24-25高二下·北京·月考）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 7．已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 8．（24-25高二上·江西南昌·周测）直线过点，，则直线的倾斜角为 9．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 10．（24-25高二上·上海）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 11．已知两直线，，则，则 . 三、解答题 12．已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 直线的倾斜角与斜率 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点一、直线的倾斜角 2 知识点二、直线的斜率 3 知识点三、过两点的直线斜率公式 3 知识点四、直线平行 4 知识点五、直线垂直 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 求直线的倾斜角 5 重难点题型2 求直线的斜率 6 重难点题型3 已知直线的倾斜角、斜率求参数 9 重难点题型4 直线与线段相交求斜率的范围 11 重难点题型5 两条直线的平行 14 重难点题型6 两条直线的垂直 16 重难点题型7 两条直线的平行、垂直在几何中的应用 17 四、突破热点题型 22 知识点一、直线的倾斜角 1．直线的确定 在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可. 2．直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 【倾斜角与倾斜程度】 平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度. 3．倾斜角的取值范围 当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 . 如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角. 知识点二、直线的斜率 1．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即. 【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率. 2．斜率与倾斜角之间的关系 ①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ； ②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ； ③当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； ④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 . 3．直线的倾斜程度 （1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度. （2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. 知识点三、过两点的直线的斜率公式 1．公式 经过两点的直线的斜率公式为 . 【名师提醒】 （1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况. （2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换. （3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时. 知识点四、直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行. 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即. 知识点五、直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直. 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相 ，即. 重难点题型1 求直线的倾斜角 例1.（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 例2.（24-25高二上·上海·周测）直线的倾斜角是 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线方程及倾斜角的定义得解. 【详解】直线，即，表示垂直轴的直线， 所以直线的倾斜角为. 故答案为： 1．（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】先求直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意有直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，又因为,所以， 故选：C. 2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）直线的倾斜角为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】根据直线倾斜角的定义即可求解． 【详解】由题得，， 所以直线的倾斜角为， 故答案为：． 重难点题型2 求直线的斜率 例3.经过两点，的直线的斜率等于2，则 . 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】由过两点的直线斜率公式求解即可. 【详解】因为经过两点，的直线的斜率等于2， 所以，解得. 故答案为：0. 例4.（24-25高二下·上海杨浦·周测）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】二倍角的正切公式、直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 例5.（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 1．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率 【分析】利用斜率公式求解. 【详解】解：直线的斜率． 故选：C 2．（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正切公式、已知两点求斜率 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 3．（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 重难点题型3 已知直线的斜率或倾斜角求参数 例6．已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、已知斜率求参数 【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 例7.（23-24高二上·陕西咸阳·周测）直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】利用倾斜角和斜率的关系、斜率公式计算即可得解. 【详解】解：由题意，直线的斜率为， ∵为直线上的点， ∴由斜率公式得， 解得：. 故答案为：. 1．（24-25高二上·山东临沂·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式列式求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 2．（2024高二上·江苏·月考）设直线的方程为，若直线的倾斜角为，试求的值. 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义、已知斜率求参数 【分析】根据直线的斜率求出可得答案. 【详解】由得 ， 因为，所以， 当即时，直线与轴垂直，倾斜角为，不符合题意， 故，可得直线的斜率， 即，得. 重难点题型4 直线与线段相交求斜率的范围 例8.（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，若经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】在平面直角坐标系中作线段，数形结合可得解. 【详解】    如图所示，若直线或与线段相交， 当直线斜率时，， 当直线斜率时，， 综上所述，或， 故答案为：. 例9.（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 1．（24-25高二上·广东深圳·周测）已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】画出图形，算出的斜率，结合题意以及斜率的几何意义即可求解. 【详解】解：如图所示： 由点，，， 可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 故答案为：. 2．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    重难点题型5 两条直线的平行 例10.直线，那么与 . 【答案】平行 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 例11.（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 1．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、由斜率判断两条直线平行、充要条件的证明 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)平行，理由见解析 (3)平行，理由见解析 【分析】（1）求出两直线的斜率以及两直线在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系； （2）求出两直线的斜率以及两直线在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系； （3）根据两直线与轴的位置关系及其在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系. (1) 解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、， 则由、的方程可知，且，所以． (2) 解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、． 因为、的方程分别可化为，， 所以，且，所以． (3) 解：由、的方程可知，轴，轴，且两条直线、在轴上的截距不相同， 所以． 重难点题型6 两条直线的垂直 例12.（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】分类讨论直线的斜率，再利用即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得． 故选：B 例13.（24-25高二下·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为 . 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法，分析可得，解可得的值； 【详解】根据题意，直线． 若与垂直，必有，解得. 故答案为： 1．（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得. 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据直线垂直的充要条件可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 重难点题型7 两条直线的平行、垂直在几何中的应用 例14.（2024高一上·浙江杭州·月考）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】首先设正方形的边长是a，则点B的坐标是，设点Q的坐标是，点P的坐标是;然后根据，，推得，再根据，可得，所以其函数图象是线段. 【详解】设正方形的边长是，则点的坐标是， 设点的坐标是，点的坐标是， ， ， ①， ， ， ②， 把①代入②，可得， 整理,可得， ，， ， ， ， ∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段. 故选:A. 例15.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．求：    (1) AD边所在直线的方程； (2) DC边所在直线的方程． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、直线平行、垂直的判定在几何中的应用、直线综合 【详解】分析：（1）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程； （2）根据矩形特点可以设DC的直线方程为，然后由点到直线的距离得出，就可以求出m的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD为矩形，则AB⊥AD， 又AB边所在的直线方程为：x－3y－6＝0， 所以AD所在直线的斜率kAD＝－3， 而点T(－1，1)在直线AD上． 所以AD边所在直线的方程为：3x＋y＋2＝0. (2)方法一：由ABCD为矩形可得，AB∥DC， 所以设直线CD的方程为x－3y＋m＝0. 由矩形性质可知点M到AB、CD的距离相等 所以＝,解得m＝2或m＝－6(舍)． 所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0. 方法二：方程x－3y－6＝0与方程3x＋y＋2＝0联立得A（0，-2），关于M的对称点C（4，2） 因AB∥DC，所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0. 点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 1．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用、直线综合 【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标 【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ① AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为， 即x-2y+3=0．联立 解得 ∴△ABC的外心为（-1，1）． 则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ② 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4． 当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A 【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 2．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的高所在直线的一般式方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用、直线的一般式方程及辨析 【解析】首先求边上的高所在直线的斜率，先写出点斜式方程，再化为一般式直线方程. 【详解】 边上的高所在直线的斜率， 边上的高所在直线方程是， 一般方程是. 故答案为： 【点睛】本题考查直线方程，意在考查求直线方程的方法和直线形式，属于简单题型. 一、单选题 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线方向向量的概念及辨析 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由直线方向向量为，则直线斜率为，结合倾斜角的范围，故其倾斜角为. 故选：C 2．（24-25高二下·云南文山·周测）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】由倾斜角与斜率关系即可求解. 【详解】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 3．在中，，AB的中点，重心，则BC边所在直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D．-2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率 【分析】先根据中点坐标公式求出，再利用重心求出点，即可求出斜率. 【详解】因为，AB的中点， 设，则，解得， 设，因为重心，所以，解得， 所以BC边所在直线的斜率为. 故选：C. 4．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式代入计算，然后检验，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A 5．过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行 【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【详解】由题意，由点和点，可得，所以的方程为， 又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故选：B． 6．（24-25高二下·北京·月考）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两向量垂直的充要条件列式求解. 【详解】根据题意，可得，解得. 故选：C. 7．已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】根据，所在直线互相垂直，则由验证即可. 【详解】因为，所在直线互相垂直， 所以其斜率， 经检验A，C，D故错误， 而选项B满足， 故选：B 【点睛】本题主要考查直线的方程以及垂直关系的判断，属于基础题. 二、填空题 8．（24-25高二上·江西南昌·周测）直线过点，，则直线的倾斜角为 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】利用两点间的斜率公式应用，斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】由斜率公式,设倾斜角为 由. 故答案为：. 9．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 10．（24-25高二上·上海）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 11．已知两直线，，则，则 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据一般式方程两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为，，且 所以，解得或. 故答案为：或 三、解答题 12．已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【难度】0.65 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【详解】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$