2.4 抽象函数的周期性与对称性 讲义-2026届高三数学一轮复习

2.4 抽象函数的对称性与周期性 知识梳理 一、函数的对称性 ——和为常数有对称 函数图象的对称性主要有两种，一种是轴对称，另一种是中心对称。 函数图象的对称性主要包括函数图象自身的对称性(自对称)及不同函数图象之间的对称性(互对称). （一）一个函数的自身的对称性 1、轴对称 （1）定义：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数为偶函数； （2）推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 2、中心对称 （1）定义：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数为奇函数； （2）推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点对称. （二）两个函数的互对称 1、两个函数成轴对称：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； 【推广】两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称. 2、两个函数成中心对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)成中心对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称； 【推广】两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称. 3、 其他对称性结论 （1）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 （三）函数的对称性常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称； (3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (4)若，则函数关于点对称． 典例剖析 【考点一 函数对称性】 【方法一 由平移前后关系得对称】 【归纳总结】由平移关系得对称 是偶函数关于直线对称， 是奇函数关于对称 1．（25江苏锡山高二下月考）定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为 ． 【变式】（25河北邯郸高二下期末）已知函数的定义域为，函数是奇函数，则（    ） A． B． C．5 D．10 2．（24安徽六安高一上期末）已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式】（25山东临沂高二下月考）已知定义在R上的函数在区间上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 3．（25江苏南京高二下月考）已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【练习】已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法一定正确的是（    ）． A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2 C．函数关于点中心对称 D． 【方法二 由式子特点得对称】 【总结归纳】由式子特点得函数对称性 1. 关键：一个函数的对称性，首先应满足自变量有对称关系，即“自变量和为常数有对称”，再满足函数值的对称关系 2. 判断方法：类比中点坐标理解 （1） 轴对称：自变量互为相反数，函数值相等。 如f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． （2） 中心对称：自变量互为相反数，函数值互为相反数（和为定值）。 如，则函数关于点对称． 4．（24江苏扬州高三上开学）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25上海宝山高一下期末）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 5．（25河北高三下联考）已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 【变式】（24贵州六盘水高一上期末）（多选）已知定义在上的函数满足，且的图象关于直线对称，在上单调递减，则（   ） A． B．在上单调递增 C． D． 【方法三 换元转化，回到根本定义】 （利用定义，进行换元转化） 6．（25江西赣州高一下月考）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 【变式】（25浙江金华高二下期末）（多选）定义在上的非常数函数满足，且，则（   ） A． B．是的一条对称轴 C． D． 7．（25福建福州高三下模拟）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【变式】（25河南驻马店高三下模拟）（多选）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 8．（25重庆名校联盟高三下联考）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 【变式】（25湖南岳阳高二下期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，，则（   ） A．22 B． C． D．24 （已知对称，先得式子关系，再转化） 9．（24吉林长春高三上开学）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25河北衡水高二下期末）已知定义域为R的函数满足关于对称，，则（    ） A． B．2025 C．2 D．1 10．（24内蒙古高三上期末）（多选）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【变式】（25河北保定高二下期末模拟）若定义在上的函数满足是偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则 ． 11．（24四川绵阳高三上月考）已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不一定正确的有（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．是的一个周期 D． 知识梳理 二、函数的周期性 ——差为常数有周期 1. 周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. 2. 最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 3. 求函数周期的通用方法：求一般函数周期常用递推法和换元法。 ①递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a. ②换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． 4. 常见的确定函数周期的结论 周期函数f(x)满足的条件 周期 a f(x＋a)＝f(x－a) 2a 2a f(x＋a)＝－f(x－a) 4a f(x＋a)＝－f(x) 2a 2a 2a 4a 三．函数的奇偶性、周期性、对称性综合 周期函数f(x)满足的条件 周期 周期性+对称性综合 关于直线x＝a与x＝b对称 或 2|b－a| 关于点(a,0)与点(b,0)对称 或 2|b－a| 关于直线x＝a与点(b,0)对称或 4|b－a| 奇偶性+对称性综合 偶函数，关于直线x＝a对称 或 2a 奇函数，关于对称 或 奇函数，关于直线x＝a对称 或 4a 偶函数，关于对称 或 4a 【考点二 函数周期性的判断及应用】典例剖析 【方法一 由对称性得周期】 【总结归纳】由对称性得周期性 两点：（a,0）,（b,0）→ 周期T= 两轴：直线x=a,直线x=b → 周期T= 一点一轴：（a,0）,直线x=b → 周期T= 【注】结合sinx的图象理解记忆 12．（24广西桂林高一上联考）（多选）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【变式】已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） ①函数的图象关于直线对称        ②函数的图象关于点中心对称 ③函数的周期为4                      ④ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 13．（24黑龙江哈尔滨高一上期中）在R上定义的函数是奇函数，且，若在区间上是减函数，则关于下列说法正确的是（   ） A．在区间上是增函数，在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【变式】（25四川达州高一下期中）（多选）已知函数的定义域为R，函数是奇函数，且对任意实数都有，则下列结论正确的有（   ） A．函数的图像关于轴对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数是最小正周期为2的周期函数 D．若函数满足，则 【方法二 由式子特点确定周期】 【总结归纳】由式子特点确定周期 1.根本：一个函数具有周期性，可以理解为左右平移之后与原来一致，所以首先应满足自变量是不变的，即“自变量不变（差为常数）有周期”，但存在“错位关系” 2.常见结论： f(x)＝f(x+a) → 周期T= f(x+a)＝f(x+b) → 周期T= f(x+a)+f(x+b)=c → 周期T= f(x+a)= → 周期T= 【注】①类比图象平移进行理解 ②根本推导方法：递推法、换元法进行转化 14．（24四川遂宁高一上期末）已知函数的正周期为且满足，又函数为偶函数，则的一个值可以为 ． 【变式】（25河南高一下联考）已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为 . 15．（24四川高三上联考）已知函数是定义在上的偶函数，且，若当时，，则 . 16．定义在上的奇函数，满足，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则 （    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 17．（24安徽高一上期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 【变式】（24四川雅安高一上月考）（多选）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A．是周期为2的周期函数 B．当时， C．的图象与的图象有两个公共点 D．在上单调递增 18．（25西南名校联盟高考诊断性测试）（多选）函数满足，且，，下列说法正确的有（   ） A．为的一个周期 B．为奇函数 C． D． 【方法三 根本：递推法、换元法转化】 【归纳总结】求函数周期的根本方法：递推法和换元法 ①递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a. ②换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． 19．（24山东高三上期中）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】（24江苏无锡高一上期末）（多选）已知定义在上的偶函数的图象是连续的，且满足， 都有，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减 C．恒成立 D．在区间上共672个零点 20．（25辽宁丹东高三上月考）已知函数的定义域为，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式】（24湖南雅礼高二下月考）已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．以为周期的函数 D． 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 抽象函数的对称性与周期性 知识梳理 一、函数的对称性 ——和为常数有对称 函数图象的对称性主要有两种，一种是轴对称，另一种是中心对称。 函数图象的对称性主要包括函数图象自身的对称性(自对称)及不同函数图象之间的对称性(互对称). （一）一个函数的自身的对称性 1、轴对称 （1）定义：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数为偶函数； （2）推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 2、中心对称 （1）定义：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数为奇函数； （2）推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点对称. （二）两个函数的互对称 1、两个函数成轴对称：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； 【推广】两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称. 2、两个函数成中心对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)成中心对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称； 【推广】两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称. 3、 其他对称性结论 （1）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 （三）函数的对称性常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称； (3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (4)若，则函数关于点对称． 典例剖析 【考点一 函数对称性】 【方法一 由平移前后关系得对称】 【归纳总结】由平移关系得对称 是偶函数关于直线对称， 是奇函数关于对称 1．（25江苏锡山高二下月考）定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为 ． 【答案】 【分析】由函数是奇函数求出的对称中心为，求出该点关于y轴对称的点即为图象的对称中心. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 即，所以的对称中心为， 因为函数和的图象关于轴对称， 所以函数图象的对称中心为. 故答案为： 【变式】（25河北邯郸高二下期末）已知函数的定义域为，函数是奇函数，则（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据函数图象变换以及奇函数性质，可得函数的图象关于中心对称，得到，进而求得即可得答案. 【详解】由的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得函数的图象， 因为函数是奇函数， 即该函数图象关于中心对称， 所以函数的图象关于中心对称， 所以， 因此，，， 所以， 故选：A. 2．（24安徽六安高一上期末）已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性可得单调性，由此可将恒成立的不等式化为，根据二次函数图象讨论的方法可构造不等式组求得结果. 【详解】为偶函数，，关于直线对称， 又在上是增函数，在上是减函数， 在上恒成立，在上恒成立， 在上恒成立， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当，即时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性、对称性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，对称性和单调性的作用如下： （1）对称性：统一不等式两侧符号，同时根据对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系. 【变式】（25山东临沂高二下月考）已知定义在R上的函数在区间上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 【答案】 【分析】根据已知及偶函数性质得的图象关于直线对称，且，结合区间单调性和对称性求不等式的解集. 【详解】因为定义域为R，且为偶函数，则， 所以的图象关于直线对称，因为，则， 根据已知区间单调性和对称性：时，得，时，得， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 3．（25江苏南京高二下月考）已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】B 【分析】根据条件中的对称性，变形判断AD，再结合判断C，根据对称性，再判断B. 【详解】由是偶函数，可知，则关于对称，故A正确； 因为是奇函数，所以也是奇函数，关于点对称，故D正确； 由AD可知，，即，即， 则，所以是周期函数，周期为4，故C正确； 由可知，，函数关于对称， 但不确定，故B错误. 故选：B 【练习】已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法一定正确的是（    ）． A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2 C．函数关于点中心对称 D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性对选项逐一分析即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，， 所以函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，A错误； 因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以函数关于点中心对称，故C错误， 由与得，即， 故，所以函数的周期为4，故B错误； ，故D正确． 故选：D． 【方法二 由式子特点得对称】 【总结归纳】由式子特点得函数对称性 1. 关键：一个函数的对称性，首先应满足自变量有对称关系，即“自变量和为常数有对称”，再满足函数值的对称关系 2. 判断方法：类比中点坐标理解 （1） 轴对称：自变量互为相反数，函数值相等。 如f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． （2） 中心对称：自变量互为相反数，函数值互为相反数（和为定值）。 如，则函数关于点对称． 4．（24江苏扬州高三上开学）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对任意满足得出的对称轴为直线，结合函数在上单调递减得出在上单调递增，根据对称性及单调性求解不等式即可． 【详解】因为对任意满足，所以的对称轴为直线， 又函数在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：B． 【变式】（25上海宝山高一下期末）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题设有关于对称，在上为严格增函数，利用对称性和单调性有，即可求解. 【详解】由，即关于对称， 又在上为严格减函数，则在上为严格增函数， 由，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5．（25河北高三下联考）已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 【答案】D 【分析】根据题意推理论证周期性、奇偶性、对称性逐一求解判断各项 【详解】因为，所以的图象关于中心对称，故A正确； 因为为偶函数，所以 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以的一个周期为8，故B正确； ，故C正确； 由，得， 又当时，，所以，即，故D错误. 故选：D 【变式】（24贵州六盘水高一上期末）（多选）已知定义在上的函数满足，且的图象关于直线对称，在上单调递减，则（   ） A． B．在上单调递增 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由可得关于对称，结合的图象关于直线对称，可得周期性，可判断选项正误；对于B，由A分析结合单调性可判断选项正误；对于C，由的图象关于直线对称，可判断选项正误；对于D，由AB分析可判断选项正误. 【详解】对于A，因，则， 得图象关于对称，又图象关于直线对称，则， 则，得， 则周期为4，则，故A正确； 对于B，因在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递减，故B错误； 对于C，因图象关于直线对称，则， 又周期为4，则，故C正确； 对于D，注意到，， 则， 由B分析可知，在上单调递减，结合， 可得，故D正确. 故选：ACD 【方法三 换元转化，回到根本定义】 （利用定义，进行换元转化） 6．（25江西赣州高一下月考）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 【答案】D 【分析】对中分别赋值，得出，进一步研究函数的奇偶性与对称性，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A选项，由题，令，则 ，故A不正确； 对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确； 对于C选项，令，则， 故，两式相加整理得：即 故，故的一个周期为6， 则，故的一个周期为8不成立，C不正确， 对于D选项，由且为偶函数，故， 所以是的一个对称中心，故D正确； 故选：D. 【变式】（25浙江金华高二下期末）（多选）定义在上的非常数函数满足，且，则（   ） A． B．是的一条对称轴 C． D． 【答案】BCD 【分析】赋值即可求解判断A；赋值即可判断B；赋值，可得，进而结合重要不等式即可判断C；赋值可得，进而得到函数是周期为4的周期函数，进而求解判断D. 【详解】A选项，由，， 令，得， 因为不为常数函数，则不恒为0，故，故A错误； B选项，令，得， 所以是的一条对称轴，故B正确； C选项，令，得， 则， 当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，令，得， 因为，所以， 则，即， 则，故， 所以函数是一个周期为4的周期函数， 由，，， 则，，， 则， 则， 故D正确. 故选：BCD. 7．（25福建福州高三下模拟）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 【变式】（25河南驻马店高三下模拟）（多选）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据函数和的奇偶性及，结合赋值法得，得图象的对称点，即可判断A；对于B，由A选项知，结合已知条件利用赋值法，得到函数是周期为4的周期函数，即可判断B；由题意可求得，由函数是周期为4的周期函数得，即可判断选项C；由A选项知，由C选项知，进而计算求解即可判断选项D. 【详解】对于A，因为函数是R上奇函数，所以， 因为函数是R上偶函数，所以， 对于，取为得：，即， 联立，可得， 所以函数关于点对称，故A正确； 对于B，对于，取为，得， 因为，所以， 由A选项知，取为，得， 联立，得， 取为，得， 取为，得， 所以，所以函数是周期为4的周期函数，故B正确； 对于C，由函数是R上奇函数可知，， 因为是R上偶函数，所以， 所以， 又因为是周期为4的周期函数，所以，故C错误； 对于D，由A选项知，所以，， ，， 由C选项知, 所以，故D正确. 故选：ABD. 8．（25重庆名校联盟高三下联考）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合函数对称性、周期性的定义探讨函数性质，再逐项计算判断得解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，，且，， 对于A选项，因为，则，A错； 对于B选项，由可得， 整理可得， 当时，则有，即， 当时，，也满足， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为是定义域为的奇函数， 且，所以，函数是周期为的周期函数，C对； 对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数， 则，，，， ，所以，， 因为，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 【变式】（25湖南岳阳高二下期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，，则（   ） A．22 B． C． D．24 【答案】C 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为， 所以 因为，所以. 所以. 故选：C （已知对称，先得式子关系，再转化） 9．（24吉林长春高三上开学）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为， 设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得， 故选：C 【变式】（25河北衡水高二下期末）已知定义域为R的函数满足关于对称，，则（    ） A． B．2025 C．2 D．1 【答案】C 【分析】的对称性可得为偶函数，再由可得为周期4的函数且关于对称，进而可求的结果； 【详解】定义域为R的函数满足关于对称， ，即， 是偶函数， 又， ，函数的周期为4， 又由，， ， 关于对称， . 故选：C. 10．（24内蒙古高三上期末）（多选）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【答案】AB 【分析】令，推导出，结合函数的对称性可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断BC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，因为函数的图象关于点对称， 即函数的的图象关于点对称，则， 所以，令，可得， 可得，所以的图象关于点对称，则A正确． 对于B选项，由已知得， 设，则， 所以，所以是偶函数，则B正确； 对于C选项，若函数是奇函数，则，可得， 即函数的图象关于点对称， 但函数的图象关于点对称，题中条件无法推出函数的图象关于点对称，则C错误； 对于D选项，若函数的周期为，则， 事实上，在等式中，令，则，则，矛盾，故D错误. 故选：AB. 【点睛】结论点睛：本题考查函数的对称性的判断，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 【变式】（25河北保定高二下期末模拟）若定义在上的函数满足是偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知推导是周期为4的奇函数，且，再利用周期性、奇函数性质及对称性求函数值. 【详解】由题设，则， 由函数的图象关于点中心对称，则， 即，则有，即， 所以为上的奇函数，则， 由可得，故， 即4为的周期.又，，则， 于是. 故答案为：2 11．（24四川绵阳高三上月考）已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不一定正确的有（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．是的一个周期 D． 【答案】B 【来源】四川省绵阳中学2025届高三上学期高考适应性月考卷（一）数学试题 【分析】根据给定条件，结合对称性、奇函数的性质可得函数图象的对称中心及对称轴，再逐项判断即得. 【详解】对于A，令是函数的图象上任意一点，则在的图象上， 即，则，由为奇函数，得， 则有，函数的图象关于点对称， 又，则，函数的图象关于对称，A正确； 对于C，，即， 则，的周期，C正确； 对于D，，则，D正确； 对于B，由，得，函数的图象关于对称， 若图象关于点对称，则，即， 而没有条件确保恒成立，B错误. 故选：B 知识梳理 二、函数的周期性 ——差为常数有周期 1. 周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. 2. 最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 3. 求函数周期的通用方法：求一般函数周期常用递推法和换元法。 ①递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a. ②换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． 4. 常见的确定函数周期的结论 周期函数f(x)满足的条件 周期 a f(x＋a)＝f(x－a) 2a 2a f(x＋a)＝－f(x－a) 4a f(x＋a)＝－f(x) 2a 2a 2a 4a 三．函数的奇偶性、周期性、对称性综合 周期函数f(x)满足的条件 周期 周期性+对称性综合 关于直线x＝a与x＝b对称 或 2|b－a| 关于点(a,0)与点(b,0)对称 或 2|b－a| 关于直线x＝a与点(b,0)对称或 4|b－a| 奇偶性+对称性综合 偶函数，关于直线x＝a对称 或 2a 奇函数，关于对称 或 奇函数，关于直线x＝a对称 或 4a 偶函数，关于对称 或 4a 【考点二 函数周期性的判断及应用】典例剖析 【方法一 由对称性得周期】 【总结归纳】由对称性得周期性 两点：（a,0）,（b,0）→ 周期T= 两轴：直线x=a,直线x=b → 周期T= 一点一轴：（a,0）,直线x=b → 周期T= 【注】结合sinx的图象理解记忆 12．（24广西桂林高一上联考）（多选）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】BCD 【来源】广西桂林市2024-2025学年高一上学期联合调研检测数学试题 【分析】结合函数图象变换，利用奇函数得的图象关于点对称，利用偶函数得的图象关于直线对称，从而有，，，，两者结合可得，这样可计算选项C中的和，再由对称性可判断单调性． 【详解】若是奇函数，即它的图象关于原点对称， 把的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得的图象， 因此的图象关于点对称，所以，， 是偶函数，即它的图象关于轴对称，的图象向右平移一个单位得的图象， 因此的图象关于直线对称，从而，，B正确； 所以 ，即， ，所以，A错； ，C正确； 在上递减，它关于直线对称，则在上递增， 又它的图象关于点对称，则在上递增， 再由它关于直线对称得它在上递减，D正确， 故选：BCD． 【变式】已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） ①函数的图象关于直线对称        ②函数的图象关于点中心对称 ③函数的周期为4                      ④ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据题中抽象函数满足的条件，分别求出周期性、对称轴、对称中心等性质，进行运算和逐一判断，从而得出结论. 【详解】因为为偶函数，所以，所以，， 所以函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，①错误； 因为为奇函数，所以，所以，所以， 所以函数关于点中心对称，故②正确， 由①可知，，由②可知，，故有，令，则有， 所以，解得， 所以函数的周期为4，故③正确； ，故④正确． 故选：C． 13．（24黑龙江哈尔滨高一上期中）在R上定义的函数是奇函数，且，若在区间上是减函数，则关于下列说法正确的是（   ） A．在区间上是增函数，在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】A 【分析】由题得到的对称中心与对称轴，然后判断单调性即可. 【详解】由题可知关于点对称；关于轴对称； 所以也关于点对称，关于轴对称； 因为在区间上是减函数 所以在区间上是增函数,在是减函数，在是增函数； 故选：A 【变式】（25四川达州高一下期中）（多选）已知函数的定义域为R，函数是奇函数，且对任意实数都有，则下列结论正确的有（   ） A．函数的图像关于轴对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数是最小正周期为2的周期函数 D．若函数满足，则 【答案】ABD 【分析】对于A，利用函数是奇函数得，再由题干另一条件得， 故，即为偶函数；对于B，由可知确实是关于对称， 对于C，由可知周期为；对于D，易知也是周期为4的周期函数， 且由的对称性可知，由此可判断D选项. 【详解】对于A，由函数是奇函数，则，用代换上式中的， 得，又因为对任意实数都有，即有， 也即，故，所以函数的图像关于轴对称，故A正确； 对于B，由上述分析知，即， 也即函数的图像关于对称，故B正确； 对于C，由上述分析知，用代换上式中的， 得，故是周期为4的周期函数，故C错误； 对于D，由题意知，则， 故也是周期为4的周期函数，而为满足条件的函数， 但此函数的周期为任意非零实数，故C错误. 则， 由上述分析知，所以， 所以， 故，故D正确. 故选：ABD. 【方法二 由式子特点确定周期】 【总结归纳】由式子特点确定周期 1.根本：一个函数具有周期性，可以理解为左右平移之后与原来一致，所以首先应满足自变量是不变的，即“自变量不变（差为常数）有周期”，但存在“错位关系” 2.常见结论： f(x)＝f(x+a) → 周期T= f(x+a)＝f(x+b) → 周期T= f(x+a)+f(x+b)=c → 周期T= f(x+a)= → 周期T= 【注】①类比图象平移进行理解 ②根本推导方法：递推法、换元法进行转化 14．（24四川遂宁高一上期末）已知函数的正周期为且满足，又函数为偶函数，则的一个值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用周期函数的定义求得，再利用偶函数的性质求得，从而得解. 【详解】因为，所以必然是的一个正周期， 又的正周期为，所以可以为； 因为函数为偶函数， 所以，即， 则，由的任意性得，即； 所以可以为，则的一个值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式】（25河南高一下联考）已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为 . 【答案】 【分析】首先确定函数的周期，再利用周期，求和的解析式，再解不等式. 【详解】由知，函数是周期函数，周期为4， ，得， 所以当时，， 设， , 则，得，即， 当， ， 则，得，即， 综上可知不等式的解集为. 故答案为： 15．（24四川高三上联考）已知函数是定义在上的偶函数，且，若当时，，则 . 【答案】7 【分析】求出的周期，结合周期性与偶函数性质即可求得结果. 【详解】因为，所以，所以是周期为4的周期函数， 所以 ， 又是偶函数，所以. 所以. 故答案为：7. 16．定义在上的奇函数，满足，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得函数是周期为4的函数，且图象关于对称，进而画出函数的图象，得到当时，求得的解，进而求得不等式的解集. 【详解】由题意，函数满足，可得， 所以函数是周期为4的函数. 又由为上的奇函数，可得， 所以，可得函数的图象关于直线对称. 因为当时，， 当时，， 所以，所以， 当， 所以， 可得函数的图象，如图所示， 当时， ，解得或， 所以不等式的解集为.    故选：C 【变式】已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则 （    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和. 【详解】由可得， 故的一个周期为4， 由为奇函数可得，得， 对于，令，得，则， 令，得，又，所以， 则， 故 . 故选：C. 17．（24安徽高一上期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 【答案】 【分析】先求出函数的周期，利用周期性将化为，再利用函数的奇偶性，有，代入解析式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以的周期为，且为偶函数，即， 当时，，. 故答案为： 【变式】（24四川雅安高一上月考）（多选）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A．是周期为2的周期函数 B．当时， C．的图象与的图象有两个公共点 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据已知可得，即可得出A项；根据已知求出时的解析式，进而根据周期性，得出函数在上的解析式，即可判断B项；根据A、B的结论作出函数的图象以及的图象，结合端点处的函数值，结合图象，即可判断C项；先根据解析式，判断得出函数在上单调递增，即可根据周期性，得出D项. 【详解】对于A项，由已知可得， 所以，是周期为2的周期函数，故A正确； 对于B项，，则. 由已知可得，. 又， 所以，. 又的周期为2，所以. ，则，， 所以，.故B错误； 对于C项，由A、B可知，当时，； 当时，，且的周期为2. 作出函数以及的图象， 显然，当时，的图象与的图象没有交点. 又，，， 由图象可知，的图象与的图象有两个公共点，故C项正确； 对于D项，，则，. 又的周期为2，所以在上单调递增. 当时，，显然在上单调递增. 且， 所以，在上单调递增. 根据函数的周期性可知，在上单调递增.故D正确. 故选：ACD. 18．（25西南名校联盟高考诊断性测试）（多选）函数满足，且，，下列说法正确的有（   ） A．为的一个周期 B．为奇函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】由，通过代入，可求得周期为4，进而判定A；再结合，可判断B；再通过特值代入，可判断C；联想到正切函数的两角和公式和正切函数的性质，可以想到举例从而否定D. 【详解】对于A，当有意义，且，时， 则， 则， . 当时，(无意义)， 可得, 所以, 所以. 当时，, 可得, 综上，总有. 故为的一个周期，故A正确； 对于B，，即，函数关于点对称. 又由为的一个周期，所以， 所以，故为奇函数，故B正确； 对于C，为奇函数，但无法直接判定有意义. 但已知，可得有意义，故有意义，, 所以分母不为零，有意义，从而,即, 所以，故C正确； 对于D，. 因为， ，， 满足题设所有条件，但是不存在（），故D错误. 故选：ABC. 【方法三 根本：递推法、换元法转化】 【归纳总结】求函数周期的根本方法：递推法和换元法 ①递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a. ②换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． 19．（24山东高三上期中）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和. 【详解】根据，以代换得：，所以，可知函数的周期为4， 因为是上的奇函数，所以，即关于点对称， 于是，， 由，取得，即， 则，因此，取，得， 于是 ， 因此，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断函数的周期性和对称性. 【变式】（24江苏无锡高一上期末）（多选）已知定义在上的偶函数的图象是连续的，且满足， 都有，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减 C．恒成立 D．在区间上共672个零点 【答案】BC 【分析】根据给定条件，推导求出函数的周期，利用单调性定义确定函数在上的单调性，再逐项分析判断得解. 【详解】函数的定义域为，由，得， 则，因此函数的周期为12， 由都有，得函数在上单调递增， 则，因此6不是函数的周期，A错误； 由函数是偶函数，得函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，B正确； 显然，C正确； 在中，令，得，因此， 显然，因此在区间上函数有两个零点3和9， 而，函数在区间上的图象可由区间上的图象平移而得， 则函数在区间上有1个零点，于是在上的零点个数为， 由偶函数知，在上的零点个数为，所以在区间上共674个零点，D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 20．（25辽宁丹东高三上月考）已知函数的定义域为，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，然后研究函数的周期性，再结合赋值法表示出，利用周期性即可得到问题的答案. 【详解】因为函数的定义域为，且， 令代，可得， 联立，可得， 所以是定义在奇函数，所以， 由，令代， 可得， 因为，所以， 令代，，则， 令代，则， 所以函数是周期为6的周期函数. 由， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 所以， ， 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于函数方程的问题，采用“赋值法”可求一些特殊的函数值以及找到对称性与周期性，这往往是问题的突破口. 【变式】（24湖南雅礼高二下月考）已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．以为周期的函数 D． 【答案】D 【分析】令，求出可判断A；利用和得出可判断B正确；利用周期函数的定义和求出周期可判断C；赋值法求出，结合周期可判断D. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以，， 对于A，令，可得， 因为，可得，故A正确； 对于B，因为， 所以， 可得， 从而， 又因为，可得， 所以，可得， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，因为， 所以，所以， 可得，所以有， 所以以6为周期的函数，故C正确； 对于D，，，令可得，可得， 令可得，可得， 令可得，可得， 令可得，可得，所以， 所以，故D错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键，求解抽象函数问题，要有扎实的基础知识和较强的抽象思维和逻辑推理能力. 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $$