暑期综合提升测试01【范围：第一章 一元二次方程】-2025-2026学年苏科版九年级数学上册暑假提升试题

2025-2026学年苏科版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第一章 一元二次方程综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A：方程中含有两个未知数和，不符合“一元”条件，排除． 选项B：方程可整理为，仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义． 选项C：方程中含分式，不是整式方程，排除． 选项D：方程为一次方程，最高次数为1，排除． 故选：B． 2．（本题3分）一元二次方程的根为（    ） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，通过因式分解求解即可． 【详解】解：原方程可分解为， 解得或， 故选：C． 3．（本题3分）若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可. 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 4．（本题3分）一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；首先求出根的判别式的值，然后根据判别式的意义得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5．（本题3分）方程的根是，，则的值为（    ） A．2 B． C． D．24 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，使用是解决本题的关键． 根据二次方程根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：对于方程，其二次项系数，常数项， 根据二次方程根与系数的关系，两根的乘积为， 因此，的值为． 故选：C． 6．（本题3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，解一元二次方程．原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选：C． 7．（本题3分）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．﹣1或3 【答案】B 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于m的不等式，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+（m+2）x＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝（m+2）2＝0， 解得m＝﹣2． 故选B． 【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 8．（本题3分）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程． 根据运算程序可知，计算求解即可． 【详解】解：由题意可知 ∴ 解得，． 故选C． 9．（本题3分）电影《哪吒2》于2025年春节档上映，票房一路冲高．某影城也因为绝佳观影体验走红，《哪吒2》首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元，若在此期间内每天票房按相同的增长率增长，设票房收入的增长率为，则方程可列为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设票房收入的增长率为，根据“首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元”列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设票房收入的增长率为，列方程为， 故选：A． 10．（本题3分）如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x之间的关系如图2所示，则的长为（    ）． A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，函数图象，一元二次方程根与系数的关系等．观察函数图象可得，，设，，由勾股定理可得，，进而可得，推出x和y是一元二次方程的两个根，解方程求出y的值，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 由题意知，， ，， 设，，则，， ， ， x和y是一元二次方程的两个根， 解得，， 由图可得， ， ， 故选D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 12．（本题3分）若是方程的一个解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．（本题3分）若一元二次方程的两个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是， ∴， 故答案为：． 14．（本题3分）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 15．（本题3分）已知实数，满足．则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据题意可构造关于的一元二次方程，那么再由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵实数，满足， ∴为关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系可得：， 故答案为：4． 16．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键．根据一元二次方程有两个同正的实数根，利用一元二次方程根的判别式以及根和系数的关系，得到，，，求出m的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有两个的实数根， ， ， 两个实数根同正， ，， ， m的取值范围是是． 17．（本题3分）若m和n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数关系，利用根与系数关系得到，将方程的根m代入方程中得到，再利用整体代入求出答案即可． 【详解】解：∵m和n是关于x的一元二次方程的两根， ∴，，则， ∴， 故答案为：1． 18．（本题3分）有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式学会通过图形求出面积是解题关键．设截去的小正方形的边长为，从而得出这个长方体盒子的底面的长是，宽是，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可． 【详解】解：设截去的小正方形的边长为，根据题意列方程，得 ． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）先把原方程化为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得； （2）解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20．（本题8分）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 21．（本题9分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 22．（本题9分）某商店销售一种商品，成本价为每件40元．当售价为每件60元时，每月可售出300件．市场调研发现，售价每降低1元，销量增加20件．若商店希望每月利润达到6000元，求商品的售价应定为多少元？ 【答案】商品的售价应定为每件55元或60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设售价降低元，则销量为件，根据利润每件的售价销量建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设售价降低元，则销量为件， 由题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，每件商品的售价为（元）， 当时，每件商品的售价为（元）， 答：商品的售价应定为每件55元或60元． 23．（本题10分）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 24．（本题10分）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)或 (2)最小值为， (3)4 【分析】本题考查了完全平方式以及配方法的应用，在配方法中，通过加上或减去适当的常数，可将代数式凑成完全平方式，在配方时加减的常数为解决本题的关键． （1）根据完全平方式的定义求解即可． （2）由配方法的定义，可将配方成，将配方成，再配平常数，根据完全平方式非负即可求解最值，再由幂的运算法则即可计算． （3）先将转化为，再将配方为，将看做一个整体，根据完全平方式非负即可整体求解的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方式的定义，即， 可知代数式中，， 则， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以或． （2）解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为， 此时，，解得：，． 所以． （3）解：， ，， ，，的最小值为4． 25．（本题12分）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： (1)当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利___________元． (2)为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ (3)在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 【答案】(1)14000 (2)每盒应降价40元 (3)本次销售活动中每天利润不能达到15000元，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，一元二次方程的根的判别式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据每盒的利润数量总利润求解即可； （2）根据每天销售这种节能材料获利达14400元，列一元二次方程，求解即可； （3）若销售活动中每天利润能达到15000元，得到方程，再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，（元）， 故答案为：14000； （2）解：设每盒应降价元，根据题意，得： 化简方程，得： 解得：或， 因为更多的让利消费者，所以每盒应降价40元． 答：每盒应降价40元． （3）解：本次销售活动中每天利润不能达到15000元，理由如下： 设每盒应降价元，根据题意，得： 化简方程，得：， ， ∴方程无实数解， 所以，本次销售活动中每天利润不能达到15000元． 第14页，共16页 第13页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年苏科版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第一章 一元二次方程综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）一元二次方程的根为（    ） A． B．1 C．1或 D．0 3．（本题3分）若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 5．（本题3分）方程的根是，，则的值为（    ） A．2 B． C． D．24 6．（本题3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 7．（本题3分）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．﹣1或3 8．（本题3分）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 9．（本题3分）电影《哪吒2》于2025年春节档上映，票房一路冲高．某影城也因为绝佳观影体验走红，《哪吒2》首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元，若在此期间内每天票房按相同的增长率增长，设票房收入的增长率为，则方程可列为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x之间的关系如图2所示，则的长为（    ）． A． B． C．6 D．8 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 12．（本题3分）若是方程的一个解，则m的值为 ． 13．（本题3分）若一元二次方程的两个根是，则的值为 ． 14．（本题3分）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 15．（本题3分）已知实数，满足．则 ． 16．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 17．（本题3分）若m和n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是 ． 18．（本题3分）有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解下列方程： (1) (2) 20．（本题8分）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 21．（本题9分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 22．（本题9分）某商店销售一种商品，成本价为每件40元．当售价为每件60元时，每月可售出300件．市场调研发现，售价每降低1元，销量增加20件．若商店希望每月利润达到6000元，求商品的售价应定为多少元？ 23．（本题10分）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 24．（本题10分）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 25．（本题12分）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： (1)当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利___________元． (2)为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ (3)在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$