暑期综合提升测试02【范围：第二十二章 二次函数】-2025-2026学年人教版九年级数学上册暑假提升试题

2025-2026学年人教版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第二十二章 二次函数综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 4．（本题3分）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 6．（本题3分）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象与轴的一个交点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 8．（本题3分）在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 9．（本题3分）二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：①；②；③，④．其中正确的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（本题3分）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A．B．C．D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）若是关于的二次函数，则的值为 ． 12．（本题3分）抛物线的对称轴是直线 ． 13．（本题3分）若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 14．（本题3分）二次函数的最大值为 ． 15．（本题3分）已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为 ． 16．（本题3分）设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用号连接） 17．（本题3分）某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为 元/件时，该商场每个月的利润最大． 18．（本题3分）若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 20．（本题8分）已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)若该抛物线经过点，求m的值． 21．（本题8分）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 22．（本题10分）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 23．（本题10分）二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 24．（本题10分）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． (2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ (3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． 25．（本题12分）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第6页，共6页 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再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 5．（本题3分）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，b，c的大小是解题的关键． 先求出，，再判断一次函数图象即可． 【详解】∵二次函数图象开口向上， ∴； ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴； ∵与轴交点在负半轴， ∴．   对于一次函数，，，，故， ∴一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D． 6．（本题3分）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 7．（本题3分）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象与轴的一个交点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，先利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可得， ，解得：， ∴二次函数解析式为， 、∵， ∴图象的开口向上，不符合题意； 、当时，， 解得：，， ∴图象与轴的一个交点坐标为，符合题意； 、图象的对称轴是直线，不符合题意； 、∵，图象的开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 故选：． 8．（本题3分）在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的对称性增减性，是解题的关键． 根据二次函数解析式，得开口向上时，对称轴为直线，在对称轴右侧y随x的增大而增大．根据当时y随x的增大而增大，得对称轴应位于直线左侧或与之重合． 【详解】解：∵二次函数的开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵当时，随的增大而增大， 因此需满足． 故选：D． 9．（本题3分）二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：①；②；③，④．其中正确的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①错误； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知当时，， 故③错误； ∵抛物线开口向下，时抛物线与x轴相交， ∴时的抛物线位于x轴下方，即， ∴当时， 故④正确． 故选：B． 10．（本题3分）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。 根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。 【详解】解：①当点Q在上时，如图 有，， ∴（）． 此时y与x之间的函数为一次函数． ②当点Q在上时，如图 有，， ∴， ∴（）． 此时y与x之间的函数为二次函数． 综上所述，符合当时，图像为一次函数；时，图像为二次函数，只有B选项． 故选B． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（本题3分）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，对称轴是直线，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 13．（本题3分）若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，正确设出二次函数的解析是解题的关键．根据题意可设二次函数的顶点式，再用待定系数法即可求得． 【详解】解：设二次函数顶点式， 顶点为， 二次函数的图像过点， ． 故答案为：． 14．（本题3分）二次函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 根据所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是，由可知，顶点纵坐标为最大值． 【详解】解：分析二次函数， 该二次函数的， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴顶点坐标为， 所以，最大值为5， 故答案为：5． 15．（本题3分）已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为 ． 【答案】0或2 【分析】根据图象过点，点坐标满足解析式的思想，列式解方程即可． 本题考查了图象与点的关系，解方程，熟练掌握关系，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：二次函数，点在该函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：0或2． 16．（本题3分）设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用号连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据得出抛物线的开口方向向下，且对称轴为，该抛物线有最大值，即越靠近对称轴的所对应的函数值越大，再结合，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的开口方向向下，且对称轴为，该抛物线有最大值， 即越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵是抛物线上的三点，且 ∴ 故答案为： 17．（本题3分）某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为 元/件时，该商场每个月的利润最大． 【答案】65 【分析】本题考查了二次函数的应用．设售价上涨元，利润为元，则售价为元，销量为件，根据题意列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设售价上涨元，利润为元，则售价为元，销量为件， 根据题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值为2250． 元， ∴该种玩具的售价为65元/件时，该商场每个月的利润最大． 故答案为：65． 18．（本题3分）若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可知两个函数的开口方向和对称轴，当时，可求出两个函数的最小值，然后即可求出答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，函数值最小，， 二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小， ， 当时，函数值最小，， ， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)二次函数图象与轴的交点坐标为 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键． （1）把点代入计算即可求解； （2）二次函数，令，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点， ∴将代入， ∴； （2）解：二次函数，令，则有， 解得， 故二次函数图象与x轴的交点坐标为． 20．（本题8分）已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)若该抛物线经过点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特点，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得函数解析式，再把点P坐标代入函数解析式中计算求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点与 ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∵该抛物线经过点， ∴， 解得． 21．（本题8分）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． （2）∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 22．（本题10分）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 23．（本题10分）二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性得二次函数与轴的另一个交点坐标是，即可作答． （2）运用数形结合思想，得出当时，则的取值范围为，即可作答． （3）结合图象的开口方向以及最高点的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，对称轴是， 则， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标是， ∴方程的两个根是，； （2）解：由图课得出二次函数图象的开口向下， 由（1）得二次函数与轴的交点坐标是和， ∴当时，则的取值范围为， ∴不等式的解集是． （3）解：∵二次函数的图象的最高点，且图象开口向下 ∴当方程有两个实数根，则的取值范围是． 24．（本题10分）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． (2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ (3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． 【答案】(1)，当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元； (2)当利润达到万元时，需要减少吨或吨； (3)满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握顶点式，二次函数函数值、自变量值的计算是关键． （1）由二次函数解析式，根据对称轴直线的计算公式，顶点坐标的计算方法，顶点坐标表示的含义计算即可求解； （2）当时，代入计算即可求解； （3）根据题意图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，确定最大值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：， ∴对称轴直线为， 当时，， ∴顶点坐标为， ∵，即图象的开口象限， ∴当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元； （2）解：当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∴当利润达到万元时，需要减少吨或吨； （3）解：二次函数解析式为， ∵，顶点坐标为， ∴图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量， ∴当时，确定最大值， ∴， ∴满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元． 25．（本题12分）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 第12页，共21页 第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$