暑期综合提升测试01【范围：第二十二章 二次函数】-2025-2026学年人教版九年级数学上册暑假提升试题

2025-2026学年人教版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第二十二章 二次函数综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C．D． 2．（本题3分）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知抛物线过点和点，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 6．（本题3分）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（    ） A．B．C． D． 7．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是 C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大 8．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，抛物线 的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是（   ） A． B． C．关于的方程 没有实数根 D．若点 在该抛物线上，则 10．（本题3分）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）抛物线的对称轴是直线 ． 12．（本题3分）已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ． 13．（本题3分）若抛物线与x轴只有一个公共点，则a的值为 ． 14．（本题3分）已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是 ． 15．（本题3分）飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行 才能停下来． 16．（本题3分）如图，已知抛物线与直线交于点O、，与x轴交于点．若，则x的取值范围是 ． 17．（本题3分）如图，抛物线与平行于轴的直线交于，两点．若，则点的纵坐标为 ． 18．（本题3分）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，，都在抛物线上，则有．其中正确的结论是 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）已知二次函数的图像过点，顶点为，求函数解析式． 20．（本题8分）已知二次函数的图象经过两点． (1)求b和c的值． (2)当时，求y的取值范围． 21．（本题8分）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； (2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值． 22．（本题8分）如下图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，直线与抛物线交于A，B两点，直线l为． (1)抛物线的表达式为_______． (2)在l上是否存在一点P，使取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题10分）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 24．（本题12分）随着直播销售逐渐被大众接受，达人直播带货在短视频平台占据了主导地位，成为各大商家的重要销售渠道，某化妆品商家“双十一”在直播间开展预售活动，销售其旗下品牌化妆品，平均每分钟可售出10件，每件盈利30元；为了扩大销售、增加利润，该店再次发布了降价活动，在保障每件商品利润不少于15元的前提下，经过一段时间销售统计，发现销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件．设每件商品降价元，请你解决以下问题： (1)若，则每分钟的销量为______________件，若用含 的代数式表示，降价后每件商品的利润是______________元； (2)若降价后该商品每分钟的销售量记作件，请你求出与之间的关系式及的取值范围； (3)请你算一算每件商品降价多少元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润？最多为多少元？ 25．（本题12分）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 第4页，共7页 第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第二十二章 二次函数综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 2．（本题3分）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 3．（本题3分）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或 ， ∴， 则的值为． 故选：D． 4．（本题3分）已知抛物线过点和点，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象和性质，利用函数的对称性和增减性进行比大小即可 【详解】解：根据抛物线的性质， 开口向上，抛物线对称轴为 轴，对称轴左侧随的增大而减小，对称轴右侧随的增大而增大 由于关于对称轴的对称点为 ∵ ∴ 故选： A． 5．（本题3分）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 6．（本题3分）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案． 【详解】解：原抛物线为向左平移2个单位得到，再向下平移3个单位得到， 故选：B． 7．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是 C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∴；故A选项错误； ∴， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，当时，，故B，C选项错误； 由图象可知，当时，随的增大而增大；故D选项错误； 故选D． 8．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 9．（本题3分）如图，抛物线 的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是（   ） A． B． C．关于的方程 没有实数根 D．若点 在该抛物线上，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：由题得，，，， ∴， ∴，故该选项不符合题意； B：∵对称轴为直线，抛物线与轴交于点， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，故该选项不符合题意； C：∵抛物线与直线有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，故该选项不符合题意； D：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即当时，抛物线有最大值， ∴， 即，故该选项符合题意． 故选：D ． 10．（本题3分）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，直接利用对称轴的计算方法求解即可． 【详解】解∶ 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 12．（本题3分）已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图像与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，即， 解得，， ∴另一根为， 故答案为：． 13．（本题3分）若抛物线与x轴只有一个公共点，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系列方程求解． 【详解】解：由题意得：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：9． 14．（本题3分）已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分类讨论；确定出抛物线的对称轴，分三种情况考虑即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线； 当时，；当时，；当时，； 当时，在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而增大， 而此时，则函数在范围内的最小值不小于4，故满足题意； 当时，函数在内取得最小值， 由题意，只需满足，解得：， 即； 当时，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而减小， 由题意，只需满足，解得：， 故这样的t不存在， 综上，t的取值范围为． 故答案为：． 15．（本题3分）飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行 才能停下来． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此求解即可． 【详解】解： ， 当飞机着陆后滑行，才能停下来； 故答案为：． 16．（本题3分）如图，已知抛物线与直线交于点O、，与x轴交于点．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系． 由二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点，然后观察图象，即可求得答案． 【详解】解：由图象可知，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点与坐标原点， 当时，的图象在下方，因此； 由与轴交于点，可知当时，； ∴当时，． 故答案为：． 17．（本题3分）如图，抛物线与平行于轴的直线交于，两点．若，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．设点的坐标为，则点的坐标为，将点的坐标代入二次函数的解析式求解即可得． 【详解】解：设点的坐标为， ∵平行于轴，且， ∴点的坐标为， 将点，代入得： ， 解得， 将代入②得：， 所以点的纵坐标为， 故答案为：． 18．（本题3分）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，，都在抛物线上，则有．其中正确的结论是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为直线，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，即 又∵当时，有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为直线，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤错误． 综上所述，结论正确的有①③． 故答案为：①③． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）已知二次函数的图像过点，顶点为，求函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键．先设二次函数的顶点式为，再将点代入求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵二次函数的顶点为， ∴这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像过点， ∴， 解得， ∴，即． 20．（本题8分）已知二次函数的图象经过两点． (1)求b和c的值． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)；2 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）把利用待定系数法，求出b、c的值即可求解； （2）根据二次函数的性质，可得该函数图象的对称轴为直线，开口向上，再求出当时和当时y的值，即可得出y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过两点， ∴， 解得， 即b的值为，c的值为2； （2）解：由（1）得：二次函数的解析式为 ， ∴该函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵，且， ∴当时，该函数取得最大值9； 当时，该函数取得最小值， ∴当时，y的取值范围是． 21．（本题8分）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； (2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线．顶点的坐标为． （2）解：二次函数的解析式化为． ∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图图象经过点， ∴． 解得：． 22．（本题8分）如下图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，直线与抛物线交于A，B两点，直线l为． (1)抛物线的表达式为_______． (2)在l上是否存在一点P，使取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为 【分析】本题考查了利用顶点式求二次函数的解析式，函数图象交点坐标求法，待定系数法求直线解析式，将军饮马模型，解题的关键是熟练掌握二次函数的解析式求法，并能快速识别将军饮马模型． （1）根据题意，设顶点式求二次函数解析式； （2）先联立直线与抛物线，解方程组求出A，B两点的坐标，再作出点A关于直线的对称点， 连接与直线的交点即为所求点P，再利用直线的解析式求出点P的坐标． 【详解】（1）抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线解析式为， 又抛物线经过点， ，解得， 抛物线解析式为． （2）在l上存在一点P，使取得最小值，点P的坐标为．理由如下： 联立， 消去整理得，解得，， 当时，，；当时，，； 点A关于直线：的对称点记为，如下图所示： 连接与交直线于点P，此时取得最小值． 设直线的解析式为， 代入，B两点的坐标可得， 解得， 直线的解析式为， 当时，由解得， ． 在l上存在一点P，使取得最小值，点P的坐标为． 23．（本题10分）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解； （2）令，解方程即可求得、点坐标； （3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点， ∴设抛物线解析式为 代入，得 解得： ∴ （2）解：当时， 解得： ∴， （3）解：∵， 根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为． 24．（本题12分）随着直播销售逐渐被大众接受，达人直播带货在短视频平台占据了主导地位，成为各大商家的重要销售渠道，某化妆品商家“双十一”在直播间开展预售活动，销售其旗下品牌化妆品，平均每分钟可售出10件，每件盈利30元；为了扩大销售、增加利润，该店再次发布了降价活动，在保障每件商品利润不少于15元的前提下，经过一段时间销售统计，发现销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件．设每件商品降价元，请你解决以下问题： (1)若，则每分钟的销量为______________件，若用含 的代数式表示，降价后每件商品的利润是______________元； (2)若降价后该商品每分钟的销售量记作件，请你求出与之间的关系式及的取值范围； (3)请你算一算每件商品降价多少元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润？最多为多少元？ 【答案】(1)12， (2) (3)当每件商品降价10元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润，最大利润为400元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，正确的列出代数式和函数解析式，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件，列出函数关系式，根据每件商品利润不少于15元，求出自变量的取值范围即可； （3）设每件商品降价元时，该直播间商家每分钟销售利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解：设每件商品降价元，则每分钟的销量为件，降价后每件商品的利润为元， ∴当时，每分钟的销量为件． 故答案为：12，； （2）由题意，得 ∵每件商品利润不少于15元， ∴ ∴ ∴与的函数关系式为 （3）设每件商品降价元时，该直播间商家每分钟销售利润为元， 由题意，得， ∵， ∴当时，能取到最大值，最大值为400元， 即当每件商品降价10元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润，最大利润为400元． 25．（本题12分）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第2页，共24页 第1页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $$