14.2 三角形全等的判定（第1课时SAS） 同步课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

§14.2 三角形全等的判定 （第1课时） 恰 同 学 少 年 正 是 读 书 时 人教版（2025版）数学八年级上册 第十四章 全等三角形 1.经历探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 2.理解并掌握三角形全等判定“边角边”条件的内容. 3.熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等. 专心一点，多学一点吧 人教新版八年级 目标 我们这节课要学会什么？ 我们已经知道什么是全等三角形，同学们说一下 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 如果△ABC 与△A′B′C′分别满足三条边相等，三个角分别相等，即 ①AB=A′B′ ② BC=B′C′ ③ CA=C′A′ ④∠A=∠A′ 　 ⑤∠B=∠B′ ⑥∠C=∠C′ 思考 那要怎么判定两个三角形是全等的呢？我们从构成三角形的元素——边、角的关系出发，研究三角形全等的判定方法. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 A B C 可以 不一定 A′ B′ C′ 思考 1.一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？ 2.上述六个条件中，有些条件是相关的，能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′满足上述条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你画出的△ABC和△A′B′C′一定全等吗？ 探究1 同学们自己在纸上先试着画一画，如果不一定，举例说明 专心一点，多学一点 人教新版八年级 结论：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等. （1）只给一条边时． （2）只给一个角时. 60° 60° 60° 画一画 专心一点，多学一点 人教新版八年级 （1）两边； （3）两角． （2）一边一角； 报告老师，还是不能 我们再试试其他的 如果三角形的两边分别为2cm，4cm时． 2cm 2cm 4cm 4cm 结论：两条边对应相等的两个三角形不一定全等. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 一边一角： 三角形的一条边为5cm,一个内角为30°时: 30° 30° 30° 两角： 三角形的两个内角分别是30°，55°时． 30° 30° 55° 55° 一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等 两个角对应相等的两个三角形不一定全等 专心一点，多学一点 人教新版八年级 通过上述的画图，我们容易举出△ABC与△A′B′C′不全等的例子，那如果满足上述六个条件中的三个，能保证△ABC≌△A′B′C′吗? 我们分情况讨论. 思考 （1）两边一角； （2）两角一边． （3）三条边； （4）三个角； 给三个条件时，共有几种情况呢？ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 如图，直观上，如果∠A，AB,AC的大小确定了，△ABC是形状、大小也就确定了，也就是说，在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′.这个判断正确吗？ 探究2 A A′ C′ B′ B C （1）两边及其夹角 我们先讨论 两边一角的情况 专心一点，多学一点 人教新版八年级 我们自己先试着画一画，两人一组，和同桌合作，选择两条线段和一个角作为三角形的两边及其夹角，并用尺规作出这个三角形。你作的三角形与同伴作的一定全等吗？ 例如，三角形两条边分别为2.5 cm,3.5 cm,它们所夹的角为40°. 40° 2.5cm 3.5cm 提示:先作出角,再在两边上截取两边. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 A B C （A′） （C′） （B′） 如图，由∠A′=∠A可知，如果使点A′与点A重合，并且使射线A′B′与射线AB重合，那么射线A′C′与射线AC重合.再由A′B′=AB，A′C′=AC，可知点B′，C′分别与点B，C重合，这样，△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A′B′C′与△A′B′C′能够完全重合，因而△ABC≌△A′B′C′. 结论：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 符号语言： 在△ABC和△A′B′C′中， AB=A′B′， ∠B=∠B′， BC=B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”）. 敲黑板，记笔记 专心一点，多学一点 人教新版八年级 例1 如图，AC=AD，AB平分∠CAD ，求证:∠C=∠D. C B D A 证明:∵AB 平分∠CAD， ∴∠CAB=∠DAB. 在△ABC与△ABD中， AC=AD ， ∠CAB=∠DAB， AB=AB ， ∴△ABC≌△ABD（SAS）， ∴∠C=∠D. AB既是△ABC的边又是△ABD的边.我们称它为这两个三角形的公共边 专心一点，多学一点 人教新版八年级 A B C D E 1 2 教材练习1 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使得CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？ 解：由题可知，∠ACB=∠DCE（对顶角相等）. 在△CAB和△CDE中， CA=CD， ∠ACB=∠DCE， CB=CE， ∴△CAB≌△CDE（SAS）. ∴AB=DE，即DE的长就是A，B的距离. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例1 (2025自贡中考）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF． 证明：∵∠ABE＝∠BAF， ∴CB＝CA， ∵CE＝CF， ∴CB+CE＝CA+CF，即BE＝AF， 在△ABE和△BAF中， ∴△ABE≌△BAF（SAS）， ∴AE＝BF． ∵ BE=AF， ∠ABE=∠BAF， AB=BA, 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例2：如图所示,B为AC的中点,BE=BF,∠1=∠2,△ABE与△CBF全等吗?请说明理由. 解:△ABE≌△CBF.理由如下: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠EBF=∠2+∠EBF, 即∠ABE=∠CBF. ∵B是AC的中点, ∴AB=CB. 在△ABE和△CBF中， ∵ AB=CB， ∠ABE=∠CBF， BE=BF, ∴△ABE≌△CBF(SAS). 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例3：如图，点A、F、E、C在同一直线上，AF=CE，BE//DF，BE=DF,求证:AB//CD. 证明:∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF， 即AE=CF， ∵BE//DF， ∴∠1=∠2， 在△AEB和△CFD中， ∴△AEB≌△CFD(SAS)， ∴∠A=∠C， ∴AB//CD. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 （2）两边及一边的对角 A B C 3 cm 4.5 cm 40° 40° 4.5 cm 3 cm 结论：两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. A′ C′ B′ 思考 我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等.现在我们讨论第二种情况 专心一点，多学一点 人教新版八年级 课堂练习 1.下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　) A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF 解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C. C 专心一点，多学一点 人教新版八年级 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，BC＝10，则BD＝（　　）  A．5 B．6 C．7 D．8 A 专心一点，多学一点 人教新版八年级 3.如图，已知线段AC、BD相交于点E，AE=DE, BE=CE， 求证:△ABE≌△DCE. 证明：在△ABE和△DCE中， AE=DE(已知)， ∠AEB=∠DEC(对顶角相等)， BE=CE(已知)， ∴△ABE≌△DCE (SAS) 专心一点，多学一点 人教新版八年级 4．（2025湖北中考）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：∠B＝∠D． 证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴∠B＝∠D． AB=AD， ∠BAC=∠DAC， AC=AC, 专心一点，多学一点 人教新版八年级 5．（2025•陕西中考）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC． 证明：∵点D是BC延长线上一点，DE∥AB， ∴∠D＝∠ABC， 在△BDE和△ABC中， ∴△BDE≌△ABC（SAS）， ∴BE＝AC． BD=AB， ∠D=∠ABC， DE=BC, 专心一点，多学一点 人教新版八年级 6.如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2， 若∠1＝60°，求∠C 的度数。 又因为在△ABC 和 △FBE 中， BC = BE，AB = FB， 所以 △ABC ≌△FBE (SAS)， 所以∠C ＝∠BEF。 所以 ∠C ＝∠BEF ＝∠1 ＝ 60°。 解：因为∠1＝∠2， 所以∠ABC ＝∠FBE 。 因为 BC ∥ EF， 专心一点，多学一点 人教新版八年级 7．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，CE＝DF，∠AEC＝∠BFD． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若AB＝8，CD＝4，求AC的长． (1)证明：在△ACE和△BDF中， ∵ AE=BF， ∠ABC=∠BFC， CE=DF, ∴△ACE≌△BDF(SAS). （2）解：∵△ACE≌△BDF， ∴AC＝BD， ∵AC+CD+BD＝AB，且AB＝8，CD＝4， ∴AC+4+AC＝8， ∴AC＝2， ∴AC的长是2． 专心一点，多学一点 人教新版八年级 8.已知:如图, AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，试说明:∠A=∠D. 1 A 2 C B D E 解:∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质)， 即∠ABC＝∠DBE. 在△ABC和△DBE中, ∵ AB＝DB(已知)， ∠ABC＝∠DBE(已证)， CB＝EB(已知)， ∴△ABC≌△DBE(SAS). ∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等). 专心一点，多学一点 人教新版八年级 9.如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：AE＝BD. 证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ECD＝∠ACB＝90°. ∴∠ECD－∠ACD＝∠ACB－∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD. 在△ACE与△BCD中， EC＝DC， ∠ACE＝∠BCD， AC＝BC， ∴△ACE≌△BCD (SAS)． ∴AE＝BD.   专心一点，多学一点 人教新版八年级 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 注意 已知两边，必须找“夹角” 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 课堂小结 三角形全等的判断定理 专心一点，多学一点 人教新版八年级 恰 同 学 少 年 正 是 读 书 时 $$