13.3.2 三角形的外角 同步课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

§13.3.2 三角形的外角 恰 同 学 少 年 正 是 读 书 时 人教版（2025版）数学八年级上册 第十三章 三角形 1.了解三角形外角的概念. 2.理解三角形外角性质及三角形外角和的探究. 3.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题. 专心一点，多学一点吧 人教新版八年级 目标 我们这节课要学会什么？ D A B C 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角 定义 三角形的外角 ①顶点在三角形的一个顶点上; ②一条边是三角形的一条边; ③另一条边是三角形的某条边的延长线. 特点探究 专心一点，多学一点 人教新版八年级 A B C 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 探究 专心一点，多学一点 人教新版八年级 如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A,∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A,∠B有什么关系？ 70° 60° 解：∵∠ACB=180°-（∠A+∠B） =180°-（70°+60°） =180°-130° =50° ∴∠ACD=180°-50°=130° 思考 专心一点，多学一点 人教新版八年级 任意一个三角形的一个外角和它不相邻的内角是否都有这种关系？我们先看相邻的是什么样？ A C B D 外角 相邻的内角 ∠BCD与∠ACB互补. 探究 A C B D 不相邻的内角 外角 ∠BCD=∠A+∠B . 我发现 专心一点，多学一点 人教新版八年级 A C B D 下面我们任意画一个三角形，证明这个发现。 已知：在△ABC中，∠BCD是△ABC的外角，求证：∠BCD=∠A+∠B. 证明：∵∠ACB=180°-∠A-∠B ∴∠BCD=180°-∠ACB =180°-（180°-∠A-∠B） =180°-180°+∠A+∠B =∠A+∠B 推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 专心一点，多学一点 人教新版八年级 例4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解法1：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2． ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)． 由∠1+∠2+∠3=180°，得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°． 同学们还有其他方法吗？ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 解法2：由∠BAE +∠1=∠CBF +∠2 =∠ACD+∠3=180°，得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD =3×180°-(∠1+∠2+∠3) =540°-180°=360°． 通过例题你能得出什么结论呢？ 三角形的外角和定理 三角形的外角和等于360°. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 试说出下列图形中∠1和∠2的度数. 解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°. （2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°. （3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°. 60〫 80〫 1 2 （1） A B C 30〫 40〫 1 2 （2） A B C 40〫 2 1 ┌ （3） A B C 教材练习 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例1 如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法1：如解图，连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30° =101°. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 专心一点，多学一点 人教新版八年级 解法2：如解图，延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 ) 2 F 专心一点，多学一点 人教新版八年级 D A B C 拓展例2 △ABC的外角∠ACD与它不相邻的两个内角（∠A、∠B）的大小关系如何呢？ 解：∵∠ACD=∠A+∠B, ∴∠ACD＞A,∠ACD＞∠B. 定理：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例3 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝40°，△ ABC 的外角∠ CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E . (1)求∠ CBE 的度数； 【解】∵在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝40°， ∴∠ CBD ＝∠ A ＋∠ ACB ＝130°. ∵ BE 是∠ CBD 的平分线， ∴∠ CBE ＝ ∠ CBD ＝65°. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例4 如图，点O是△ABC内一点，连接BO，CO，CO恰好平分∠ACB，延长BO交AC于点E．已知∠A=50°，∠BCO=35°，∠BEC=65°，求∠ABO和∠OBC的度数． 解：∵∠A=50°，∠BCO=35°， ∴∠ABO=∠BEC-∠A=65°-50°=15°， ∵CO平分∠ACB ，∠BCO=35°， ∴∠BCA=2∠BCO=70°， ∴∠ABO=180°-∠A-∠BCA=180°-50°-70°=60°， ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO= 60°-15°=45°． 专心一点，多学一点 人教新版八年级 (2)过点 D 作 DF ∥ BE ，交 AC 的延长线于点 F ，求∠ F 的度数. 【解】∵∠ ACB ＝90°，∠ CBE ＝65°， ∴∠ CEB ＝90°－65°＝25°. ∵ DF ∥ BE ， ∴∠ F ＝∠ CEB ＝25°. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 课堂练习 1. 关于三角形的外角，下列说法中错误的是(　A　) A. 一个三角形只有三个外角 B. 三角形的每个顶点处都有两个外角 C. 三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角 D. 一个三角形共有六个外角 【点拨】 三角形的每个顶点处都有两个外角，一共有六个外角，故A错误，B，D 正确；根据三角形外角的定义可知C正确. A 专心一点，多学一点 人教新版八年级 2.（2025南充中考）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的 度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 3.如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是(　D　) A. ∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B. ∠1＋∠2＝∠4－∠3 C. ∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D. ∠1＋∠4＝∠2－∠3 D D 专心一点，多学一点 人教新版八年级 4．一副直角三角板按如图所示方式放置，则∠1的度数为（　　） A．75° B．60° C．105° D．120° 5.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=55°，∠B=45°，则∠ECD等于（ ） A.45° B.50° C.55° D.60° A B C D E B C 专心一点，多学一点 人教新版八年级 6.如图，在△ ABC 中，在 BC 的延长线上取点 D ， E ，连接 AD ， AE ，则下列式子中正确的是(　C　) C A. ∠ ACB ＞∠ ACD B. ∠ ACB ＞∠1＋∠2＋∠3 C. ∠ ACB ＞∠2＋∠3 D. 以上都正确 专心一点，多学一点 人教新版八年级 7.如图，在五角星的图中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 解:∵∠1是△BDF的一个外角, ∴∠1=∠B+∠D, ∵∠2是△EHC的一个外角, ∴∠2=∠C+∠E, ∵∠A+∠1+∠2=180°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 8.（1）如图，∠BDC是________的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数. A B C D E △ADE △ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 三角形的外角 三角形的外角和定理 三角形的外角和等于360°. 定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 课堂总结 定理：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 恰 同 学 少 年 正 是 读 书 时 $$