13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 同步课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

主讲： §13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 恰 同 学 少 年 正 是 读 书 时 人教版（2025版）数学八年级上册 第十三章 三角形 1.了解三角形的高、中线和角平分线的定义及画法. 2.掌握三角形的高、中线和角平分线的性质. 3.会利用三角形的三种线段性质来解决实际问题. 专心一点，多学一点吧 人教新版八年级 目标 我们这节课要学会什么？ D C B A 思考：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的什么呢？ 三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 O D C B A 如图，在△ABC中，还能画出几条中线呢？你发现了什么特征？ 还能画出2条，3条中线交于一点. 重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 思考 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例1 如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC 的长（AC＜AB）. 解:∵AD为△ABC的中线 ∴BD＝CD ∵△ABD和△ADC的周长差是4cm ∴AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD) ＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD＝AB﹣AC＝4cm ∵AB＝12cm ∴AC＝AB﹣4cm＝8cm ∴△ABC的边AC的长为8cm. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABC 的高．试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系， 为什么？ B C D E A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 思考：通过以上问题你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 思考 专心一点，多学一点 人教新版八年级 A C D B G 根据上面的性质，我们还可以得到什么呢？观察△ABG，△ACG，△BCG，△ABC之间的面积有什么关系 探究 专心一点，多学一点 人教新版八年级 回顾一下：什么叫角平分线？ 角平分线：画△ABC的∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫作△ABC的角的平分线。 D C B A O D C B A E F 三角形的三条角平分线相交于一点 专心一点，多学一点 人教新版八年级 D B C A 思考：如图，在△ABC中，还能画出几条角平分线呢？你发现了什么特征？ 还能画出2条，3条角平分线交于一点. O 内心 内心：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例2 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）. 若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE的度数. 解：∵在△ABC中， ∠B=80°，∠C=30°， ∴∠BAC=70°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠BAE=2∠CAE. ∵∠BAC=70°，∴∠BAE=35°. ∵AD⊥BC，∠B=80°，∴∠BAD=10°. ∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°. D E ┐ B A C 专心一点，多学一点 人教新版八年级 回顾一下：什么叫垂线？ 垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。 三角形的高：从△ABC的顶点向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线。 D C B A 专心一点，多学一点 人教新版八年级 A B C D E F 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高，你有什么发现？ A C D B ┐ ┐ ┐ A B C D E F 各有几条高？高相交于一点吗？ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 3条，3条高交于一点. O A B C D E F 垂心 垂心：三角形三条高所在直线的交点. 锐角三角形的高都在三角形的内部；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上 发 现 专心一点，多学一点 人教新版八年级 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. ∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段. ∵ AD是△ABC的边BC上的中线. ∴ BD=CD=BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段. ∵AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2=∠BAC 课堂总结 专心一点，多学一点 人教新版八年级 1. 下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高（ ） 2. 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 B B 课堂练习 专心一点，多学一点 人教新版八年级 2．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 4.如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC 的高的有（　 ） A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．5 条 B B 专心一点，多学一点 人教新版八年级 5.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）. A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2 A 专心一点，多学一点 人教新版八年级 6. 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC =3cm2，则S△ABC=_____cm2. 7.BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是　　. 12 2 专心一点，多学一点 人教新版八年级 8.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？ 解：根据面积比值为1：1：2的要求，可以将三角形菜地的总面积看作4份. 利用三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形的性质. 如图，分别作出两条中线，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面积之比就是1：1：2. A B C E D 专心一点，多学一点 人教新版八年级 9.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值． 此时由△ABC 的面积公式可知， AD·BC= BP·AC. 代入数值，可解得 BP= . P 专心一点，多学一点 人教新版八年级 10.如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C=26°，求∠DAE的度数． 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C =180°-90°-26°=64°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE= ∠BAC= ×100°=50°， ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°． 专心一点，多学一点 人教新版八年级 恰 同 学 少 年 正 是 读 书 时 $$