14.3 角的平分线 导学案 第1课时 2025-2026学年人教版八年级上册数学

人教版八年级上册数学导学案 课题：14.3 角的平分线的性质 【学习目标】 掌握性质定理：理解并证明角平分线上的点到角两边距离相等的性质。 掌握判定定理：理解并证明到角两边距离相等的点在角平分线上。 尺规作图：能用尺规准确作出已知角的平分线。 应用能力：能综合运用角平分线的性质和判定解决几何问题。 【学习准备】 工具：圆规、直尺、量角器、三角板 知识回顾：全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS） 【探究学习】 一、问题引入（10分钟） 思考讨论： 什么是角的平分线？它有什么特点？ 如果一个点在角的平分线上，这个点到角的两边有什么关系？ 反过来，如果一个点到角的两边距离相等，这个点是否在角的平分线上？ 观察教材图14.3-1，如下： 当OM=ON时，为什么PM=PN？ 这说明了角的平分线具有什么性质？ 【新课学习】 二、角平分线的性质定理（20分钟） 实验探究： 在纸上画一个∠AOB，用尺规作出它的平分线OC。 在OC上任取一点P，分别作PG⊥OA，PD⊥OB，测量PG和PD的长度。 发现：PD____PE（填"="或"≠"）。 定理证明： 已知：OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PG⊥OA，PD⊥OB。 求证：PG=PD。 证明： ∵ OC平分∠AOB， ∴ ∠AOC=∠BOC． ∵ PG⊥OA，PD⊥OB， ∴ ∠PGO=∠PDO=90°． 在△PGO和△PDO中， ∠AOC=∠BOC， ∠PGO=∠PDO， OP=OP（公共边）， ∴ △PGO≌△PDO（AAS）． ∴ PG=PD． 结论：角平分线上的点到角两边的距离______。 几何语言： ∵ OP平分∠AOB，PG⊥OA，PD⊥OB， ∴  = 三、尺规作图：作已知角的平分线（15分钟） 作图步骤（教材图14.3-3）： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。 （2）分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C。 （3）作射线OC，OC即为∠AOB的平分线。 思考：为什么第二步要以大于的长为半径？ 如果半径≤，两弧会______。 【典例解析】 例（性质应用） 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。 求证：（1）DE=DF；（2）AD垂直平分EF。 【分层训练】 A组（基础达标） 填空题：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。若PD=3cm，则PE=______cm。到角两边距离相等的点在______上。 判断题： 1.角平分线上的点到角两边的距离相等。（ ） 2.到角两边距离相等的点不一定在角平分线上。（ ） B组（能力提升） 证明题： 已知：如图，BD是∠ABC的平分线，BA=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD。 求证：PM=PN。 C组（拓展挑战） 综合题：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD:DC=3:2，点D到AB的距离为6cm，求BC的长。 【课堂小结】（思维导图） 角的平分线 ├─ 性质定理：角平分线上的点到角两边距离______ ├─ 判定定理：到角两边距离______的点在角平分线上 └─ 尺规作图： ├─ 步骤：①画弧→②画弧→③连线 └─ 关键：第二步半径必须______ 【课后反思】 本节课的核心结论： 性质定理：________________________________________。 判定定理：________________________________________。 我的疑问：________________________________________________。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$