专题04 分式与分式方程的实际应用问题（专项训练）数学冀教版2024八年级上册

专题04 分式与分式方程的实际应用问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式加减的应用 1 题型二、分式乘除的应用 2 题型三、列分式方程 3 题型四、分式方程的行程问题 5 题型五、分式方程的工程问题 6 题型六、分式方程的经济问题 8 题型七、分式方程和差倍分问题 8 题型八、分式方程的其他实际问题 8 题型九、分式方程的新定义应用 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式加减的应用 1．为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（） (1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差． (2)若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？ 2．有，两箱水果，箱水果质量为，箱水果质量为（其中），售完后，两箱水果都卖了120元． (1)哪箱水果的单价要高些？ (2)两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？ 3．将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 4．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 5．数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． (1)若在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为______； (2)现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一现象．（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如所以，同样如果，就说明） 题型二、分式乘除的应用 6．浓度为的盐水公斤与浓度为的盐水公斤混合后的溶液浓度是(　　) A． B．( C． D． 7．2025年我国黄海休渔时间表：5月1日中午12点到9月16日中午12点．受休渔影响，“五一”期间皮皮虾的价格波动较大．小明家“五一”期间购买了两次皮皮虾，两次价格不同．现有两种购买方案，小明的购买方案：每次购买的总金额固定；小明妈妈购买方案：每次所购买的数量固定．若规定平均单价越低，则该购买方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　） A．小明妈妈方案实惠 B．小明方案实惠 C．两种方案一样实惠 D．哪种方案实惠需由两次单价决定 8．学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 9．某小区为了进一步美化环境，物业计划安排绿化施工队在小区里的一块空地上种植棵树，若甲队单独完成，则需要天，若乙队单独完成，则需要的时间比甲队的2倍多1天，则甲队平均每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由． 10．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 题型三、列分式方程 11．“竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 12．甲、乙两人加工同一零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工60个零件的时间与乙加工50个的时间相同．设乙每小时加工x个，则方程应为（   ） A． B． C． D． 13．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 14．乡村振兴，交通先行．近年来，某县高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．该县准备修一条道路，在修建600米后，剩下的4800米道路采用新的修建技术，每天修建的长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务．设原来每天修建道路米，则根据题意可列方程： ． 15．下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 题型四、分式方程的行程问题 16．某校组织部分八年级的同学乘坐大巴车去市博物馆研学，市博物馆距离该校25千米，1号车出发5分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求1号车的平均速度． 17．从甲地到乙地有两条路：一条是全长800千米的普通公路，另一条是全长600千米高速公路．某客车从甲地出发去乙地，若走高速公路，则客车平均速度是走普通公路的平均速度的2倍，所需时间比走普通公路所需时间少10小时．问该客车走普通公路的平均速度是每小时多少千米？ 18．马小虎同学早上到离家1200米的学校上学，到学校后发现数学作业丢在家里了，此时还有30分钟上第一节课，于是他立即步行回家，在家拿数学作业用了2分钟，然后骑自行车返回学校，已知马小虎骑自行车的平均速度是步行平均速度的2.5倍，马小虎骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟． (1)马小虎步行的平均速度是每分钟多少米？ (2)通过计算判断马小虎能否在第一节课上课前赶到学校？ 19．如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？ (2)高铁出发前，两车在什么时刻相距？ 20．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 题型五、分式方程的工程问题 21．2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 22．某工厂计划生产3600个零件，现有甲、乙两个车间都具备生产能力．已知甲车间单独生产完成这批零件比乙车间单独生产完成这批零件多用6天；乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.5倍． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产的零件数量； (2)若甲车间生产的费用是每天1000元，乙车间生产的费用是每天1800元．若工厂计划让甲、乙两个车间共同生产这批零件，且总费用不超过19000元，则甲车间最少生产多少天？ 23．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，逐步更新生产设备，新设备生产效率比旧设备提高了 ．若旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天． (1)求新设备每天生产多少件产品； (2)日前该企业接到8000件产品的生产任务，若此次生产任务安排2台旧设备，4台新设备，求至少需要多少天完成任务． 24．随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的6倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了亩玉米，他想用一小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，王伯伯参与其中，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 25．为改善校园生态环境，某校计划对校园内面积为1000平方米的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队每天完成绿化面积是乙工程队每天完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为480平方米的绿化时，甲工程队比乙工程队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天完成绿化面积分别是多少平方米； (2)若甲工程队工作一天需付费万元，乙工程队工作一天需付费万元，要使这次绿化总费用不超过7万元，至少应安排甲工程队工作多少天？ 题型六、分式方程的经济问题 26．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ 27．依据最新出台的山西初中体育与健康学业水平考试方案，2025年山西中考体育成绩将以60分计入总成绩中，必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、立定跳远、三大球任选一项等．选考项目包括一分钟跳绳、一分钟仰卧起坐等．为适应学生体育课学习、日常参与体育锻炼，左权县某中学购买A，B两种型号的跳绳共110根，且购买A型号跳绳与B型号跳绳的费用都是1500元，已知A型号跳绳的单价是B型号跳绳单价的倍． (1)求：A，B两种型号跳绳的单价各是多少？ (2)若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求：A型号跳绳最多可购买多少根？ 28．某快递公司计划为500名员工每人购买一套工作服，员工可选A款或B款，已知A款每套比B款费20元，用2400元购买A款的数量和用2000元购买B款的数量相同． (1)求A款和B款工作服每套的价格各是多少元？ (2)公司预算不超过52000元购买工作服，则至少需要购买B款工作服多少套？ (3)由于购买数量较多，服装商家让利销售，A款八折优惠，B款每件降价元，采购部发现：无论A款和B款如何分配，所需资金都相同．求值． 29．习近平总书记在谈到基层教育时指出，我们的教育要善于从五千年中华传统文化中汲取优秀的东西，同时也不摒弃西方文明成果，真正把青少年培养成为拥有“四个自信”的孩子．某校响应号召，为满足学生的阅读需求新购买了一批图书，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书，已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.5倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用6000元购买的乙种书柜数量多4个，求每个甲、乙书柜的价格各为多少元？ 30．综合与实践 依据以下素材，完成探究任务（三项任务）． 设计奖品购买及兑换方案 素材1 某文具店销售某种钢笔和笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．经兑换后，发现笔记本与钢笔的数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 运用所学数学知识，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探求奖品的购买方案 运用所学数学知识，设计购买奖品的方案． 任务3 探索并确定兑换方式 运用所学数学知识，确定符合条件的兑换方式． 题型七、分式方程的和差倍分问题 31．某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 32．近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的． (1)求A型、B型玩具的进价分别是多少元； (2)老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？ 33．某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 34．为了美化校园环境，学校在今年2月份购进了、两种盆栽，每种盆栽均花费了4000元，其中种盆栽的数量比种盆栽的数量少100盆，已知2月份种盆栽的单价是种盆栽的单价的2倍． (1)请问学校在2月份购进种盆栽和种盆栽各多少盆？ (2)3月份学校再次购进了、两种盆栽，其中种盆栽单价有折扣优惠，种盆栽单价不变，学校3月份购进的种盆栽的数量比2月份购进的数量增加了，3月份购进的种盆栽的数量比2月份的减少了75盆，结果学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元，请问种盆栽打了几折？ 35．“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等． (1)甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ (2)根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？ 题型八、分式方程的其他实际问题 36．某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 37．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．           (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 38．综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 39．2025年，能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：7.2元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 (1)若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多0.79元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 40．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 题型九、分式方程的新定义应用 41．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 42．定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 43．定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 44．已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：． (1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． (2)计算：． (3)当时，若，尝试求出x的值． 45．定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 1．（2025年-广东广州·一模）随着科技的发展，智能芯片技术也达到了新的高度．某科技公司研发了甲 乙两型智能芯片． (1)已知一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次，求一枚甲芯片与一枚乙芯片每秒平均运算次数各为多少万亿次? (2)该科技公司对芯片进行算法优化，成功将甲型芯片每秒的整数运算次数提升到原来的，进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒，求算法优化前、后一枚申型芯片每秒运算次数各为多少万亿次? 2．（2025年-湖南长沙·一模）为了提高广大人民群众的生活品质，使劣质高芥酸菜籽油变革成大宗植物油中营养品质最好的低芥酸菜籽油，省农科院油料所计划用基地的甲、乙两区农田进行菜籽试种，甲区的农田比乙区的农田多100亩，甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同． (1)求甲、乙两区各有农田多少亩； (2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上菜籽后，为加强菜籽的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药·由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩． 3．在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件． (1)求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递的数量； (2)为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量． 4．奉节脐橙果皮脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，是中国地理标志产品．一批发商收购了1000千克的大果和中果，共花费6800元，已知大果收购价每千克8元，中果收购价每千克5元． (1)求该批发商大果和中果各收购了多少千克？ (2)因销量可观，该批发商计划再次收购6300元的大果和6300元的中果，受价格上涨的影响，大果比中果少收购270千克，已知大果和中果的收购单价上涨金额相同，则第二次收购时大果和中果的收购价分别为每千克多少元？ 5．（2025年-河北唐山·一模）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题． 题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．问甲、乙两种图书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……，等量关系：甲图书数量乙图书数量 解法二 设……，等量关系：甲图书单价乙图书单价20 (1)解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示______．（填序号） ①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量． (2)请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． (3)若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本，求甲种图书最多能购买的数量． 6．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了3000元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． (1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 7．今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，成为全民话题，片中各角色的经历和所做所为共同构成了一部生动的教育启示录，“哪吒2”的成功上映，不仅意味着国漫崛起，也是一场教育哲学的胜利，它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．“哪吒2”的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．金字塔电影院最初上映时准备了成人票和儿童票，发现购买3张成人票和5张儿童票共需350元；若购买6张成人票和3张儿童票共需420元． (1)①每张成人票单价为_______元，每张儿童票单价为_______元； ②某培训机构计划支持国产电影，拿出850元资金购买成人票与儿童票若干张，请帮忙算算有几种购买方案，能够刚好花完850元； (2)金字塔电影院预估正月初一到正月初六处于观看高峰阶段，不再分类购票，实行票价统一．据统计正月初一该影院票房收入费用为40000元，正月初二该影院票房收入费用为43200元，但正月初二的电影票单价在正月初一的票价上涨了，且正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，那么正月初一该影院的电影票的单价是多少元？ 8．（2025年-重庆·一模）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 9．臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 10．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式与分式方程的实际应用问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式加减的应用 1 题型二、分式乘除的应用 2 题型三、列分式方程 3 题型四、分式方程的行程问题 5 题型五、分式方程的工程问题 6 题型六、分式方程的经济问题 8 题型七、分式方程和差倍分问题 8 题型八、分式方程的其他实际问题 8 题型九、分式方程的新定义应用 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式加减的应用 1．为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（） (1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差． (2)若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？ 【答案】(1)米/天 (2)天 【分析】本题考查了分式加减乘除运算的实际应用，找到题中的数量关系是解题的关键． （1）根据工作效率等于工作量除以工作时间，分别求出甲乙的工作效率即可求解； （2）求出甲、乙合作的工作效率，用总的工作量除以合作工作效率即可求解； 【详解】（1）解： 一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成， 甲工程队的工作效率为米/天，乙工程队的工作效率为米/天， 甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天． 答：甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天． （2）解：甲、乙工程队一起完成这项工程，工作效率为， 则完成工程需要的时间为：（天） 答：若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要天． 2．有，两箱水果，箱水果质量为，箱水果质量为（其中），售完后，两箱水果都卖了120元． (1)哪箱水果的单价要高些？ (2)两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？ 【答案】(1)箱水果的单价高些 (2) 【分析】本题考查了分式的减法的应用，分式的除法的应用，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． （1）根据单价总价数量，列出算式，计算即可得出答案； （2）根据题意列出算式，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴箱水果的单价高些； （2）解：由题意得：， ∴两箱水果中高的单价是低的单价的倍． 3．将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 【答案】(1)B (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）根据“糖水浓度糖糖水”，即可求解； （2）先表示出加入克糖后，糖水的浓度为：，根据糖水变甜，浓度变大，得出； （3）利用作差法进行证明即可． 【详解】（1）解：糖水的浓度为：， 故选：B； （2）再往杯中加入克糖后，糖水的浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ， 故答案为：； （3）证明： ，， ，， ， 即． 4．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 【答案】(1)甲的平均价格是，乙的平均价格是 (2)所以乙的购买方式平均单价低． 【分析】此题考查了列代数式，分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分． （1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价； （2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算． 【详解】（1）解：甲的平均价格是（元） 乙的平均价格是：（元） （2）解：甲－乙  即 因为（）， 所以， 所以，即 所以． 所以乙的购买方式平均单价低． 5．数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． (1)若在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为______； (2)现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一现象．（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如所以，同样如果，就说明） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了列代数式，分式加减的实际应用． （1）用糖水中糖与糖水的比表示即可； （2）设往杯中加入克糖，则此时糖水的甜度为：，再利用作差法比较大小即可． 选择合适的方法比较分式的大小是解答本题的关键． 【详解】（1）解：糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度， 在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为； （2）设往杯中加入克糖，则此时糖水的甜度为：， ， ，， ，，， ， ， 向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，糖水更甜． 题型二、分式乘除的应用 6．浓度为的盐水公斤与浓度为的盐水公斤混合后的溶液浓度是(　　) A． B．( C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数的除法，根据题意分别求得总溶质质量为公斤，总溶液质量为公斤，进而根据溶质除以溶液，即可求解． 【详解】解：浓度为的盐水公斤中溶质质量为公斤，浓度为的盐水公斤中溶质质量为公斤． 总溶质质量为公斤，总溶液质量为公斤． 混合后的浓度为： 故选：D． 7．2025年我国黄海休渔时间表：5月1日中午12点到9月16日中午12点．受休渔影响，“五一”期间皮皮虾的价格波动较大．小明家“五一”期间购买了两次皮皮虾，两次价格不同．现有两种购买方案，小明的购买方案：每次购买的总金额固定；小明妈妈购买方案：每次所购买的数量固定．若规定平均单价越低，则该购买方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　） A．小明妈妈方案实惠 B．小明方案实惠 C．两种方案一样实惠 D．哪种方案实惠需由两次单价决定 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，比较法在不等式大小比较中的应用，设两次购买的皮皮虾单价分别为a，，且，将购买的皮皮虾的平均单价分别用a，b表示出来，作差即可比较大小． 【详解】解：设两次购买的皮皮虾单价分别为a，，且， 小明方案：设购买的皮皮虾的总金额为W，则平均价格； 小明妈妈方案：设每次购买的数量为N，则平均价格， 则， ∵ ∴，， ∴， ∴，小明方案实惠． 故选：B． 8．学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 【答案】D 【分析】本题考查了浓度，分式的除法等知识，设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为，根据浓度=溶质质量÷溶液体积可得出原浓度，新浓度为，然后发局分式的除法法则计算即可． 【详解】解：设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为， 则原浓度，新浓度为， ∴浓度变化的倍数为， 即中药的浓度变为原来的1.2倍， 故选：D． 9．某小区为了进一步美化环境，物业计划安排绿化施工队在小区里的一块空地上种植棵树，若甲队单独完成，则需要天，若乙队单独完成，则需要的时间比甲队的2倍多1天，则甲队平均每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由． 【答案】甲队平均每天植树的棵数不是乙队的3倍，理由如见解析 【分析】此题考查了分式的乘除运算，解题的关键是读懂题意列出式子．由题意可知，甲队平均每天植树的棵数为，乙队平均每天植树的棵数为，再作商比较即可． 【详解】解：甲队平均每天植树的棵数不是乙队的3倍，理由如下： 由题意可知，甲队平均每天植树的棵数为，乙队平均每天植树的棵数为， 则， ， ， ， 甲队平均每天植树的棵数不是乙队的3倍． 10．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为：元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为：元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 题型三、列分式方程 11．“竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，快车间每天生产量是慢车间的倍，即快车间每天生产套，原计划慢车间单独生产所需时间为天，快车间单独生产时间为天，快车间比慢车间提前10天完成，因此原计划时间减去快车间时间等于10天． 【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则慢车间单独生产时间：天，快车间单独生产时间：天， 由快车间比慢车间提前10天可得： ， 故选：B． 12．甲、乙两人加工同一零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工60个零件的时间与乙加工50个的时间相同．设乙每小时加工x个，则方程应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意，甲每小时加工零件数比乙多2个，乙每小时加工x个，则甲每小时加工个，根据“甲加工60个的时间与乙加工50个的时间相等”，据此建立方程求解． 【详解】解：设乙每小时加工x个，则甲每小时加工个， 则甲加工60个所需时间为小时，乙加工50个所需时间为小时， 由题意得：， 故选：B． 13．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 【答案】 【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同，即可列出方程. 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据题意可得方程：； 故答案为：. 14．乡村振兴，交通先行．近年来，某县高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．该县准备修一条道路，在修建600米后，剩下的4800米道路采用新的修建技术，每天修建的长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务．设原来每天修建道路米，则根据题意可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意找出等量关系是解题的关键．设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，根据题意列出分式方程即可． 【详解】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米， 根据题意得：， 故答案为：． 15．下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 【答案】(1)每个小组学生的人数；原计划每名学生做的彩旗数 (2)每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系，列出方程． （1）根据所列出方程结合题意和等量关系即可判定未知数所表示的量； （2）选择一个方程进行求解即可． 【详解】（1）解：冰冰同学所列方程为，则表示每个小组学生的人数； 庆庆同学所列方程为，则原计划每名学生做的彩旗数； 故答案为：表示每个小组学生的人数； 表示原计划每名学生做的彩旗数； （2）解：方法一：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（个）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗； 方法二：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（人）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗． 题型四、分式方程的行程问题 16．某校组织部分八年级的同学乘坐大巴车去市博物馆研学，市博物馆距离该校25千米，1号车出发5分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求1号车的平均速度． 【答案】1号车的平均速度为50千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设1号车的平均速度为千米/时，则2号车的平均速度为千米/时，根据时间路程速度，结合1号车比2号车多用5分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设1号车的平均速度为千米/时，则2号车的平均速度为千米/时，         依题意，得：，         解得：，             经检验，是原方程的解且符合题意，         答：1号车的平均速度为50千米/时． 17．从甲地到乙地有两条路：一条是全长800千米的普通公路，另一条是全长600千米高速公路．某客车从甲地出发去乙地，若走高速公路，则客车平均速度是走普通公路的平均速度的2倍，所需时间比走普通公路所需时间少10小时．问该客车走普通公路的平均速度是每小时多少千米？ 【答案】该客车走普通公路的平均速度是每小时50千米 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设该客车走普通公路的平均速度是每小时x千米，则该客车走高速公路的平均速度是每小时千米，根据走高速公路所需时间比走普通公路所需时间少10小时建立方程求解即可． 【详解】解：设该客车走普通公路的平均速度是每小时x千米，则该客车走高速公路的平均速度是每小时千米， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：该客车走普通公路的平均速度是每小时50千米． 18．马小虎同学早上到离家1200米的学校上学，到学校后发现数学作业丢在家里了，此时还有30分钟上第一节课，于是他立即步行回家，在家拿数学作业用了2分钟，然后骑自行车返回学校，已知马小虎骑自行车的平均速度是步行平均速度的2.5倍，马小虎骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟． (1)马小虎步行的平均速度是每分钟多少米？ (2)通过计算判断马小虎能否在第一节课上课前赶到学校？ 【答案】(1)马小虎步行的平均速度是每分钟80米 (2)能 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． （1）设马小虎步行的平均速度是每分钟x米，根据骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟，即可列出分式方程，解方程并检验后可得答案； （2）求出马小虎步行回家和骑自行车到学校所用的时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：设马小虎步行的平均速度是每分钟x米，则马小虎骑自行车的平均速度是每分钟米， 由题意得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合题意， 答：马小虎步行的平均速度是每分钟80米； （2）解：因为， 所以马小虎能在第一节课上课前赶到学校． 19．如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？ (2)高铁出发前，两车在什么时刻相距？ 【答案】(1)动车的平均速度为时，高铁的平均速度为时 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数除法的应用，理解题意是解题关键． （1）设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据动车的平均速度求出所需时间，即可求解． 【详解】（1）解：设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时． 由题意可得， 解得， 经检验，为方程的解， ∴， 答：动车的平均速度为时，高铁的平均速度为时； （2）解：解：∵高铁出发前，动车的平均速度为h， ∴， 此时的时间为． 20．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)无人机的速度至少提高到70千米/时 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多6分钟，列分式方程即可求解； （2）根据前10分钟无人机的行程+提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式即可解答. 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式应用，解题关键是理解题意，根据数量关系列方程或不等式. 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）设无人机的速度提高到千米/时，则 答：无人机的速度至少提高到70千米/时， 题型五、分式方程的工程问题 21．2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】(1)甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为 (2)甲数据中心至少需要工作 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，根据等量关系列出方程． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少，列出方程，解方程即可； （2）设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据共用至少完成的数据迁移，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为； （2）解：设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据题意得： ， 解得：， 答：甲数据中心至少需要工作． 22．某工厂计划生产3600个零件，现有甲、乙两个车间都具备生产能力．已知甲车间单独生产完成这批零件比乙车间单独生产完成这批零件多用6天；乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.5倍． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产的零件数量； (2)若甲车间生产的费用是每天1000元，乙车间生产的费用是每天1800元．若工厂计划让甲、乙两个车间共同生产这批零件，且总费用不超过19000元，则甲车间最少生产多少天？ 【答案】(1)甲车间每天生产的零件数量为200个，则乙车间每天生产的零件数量为300个 (2)甲车间最少生产13天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设甲车间每天生产的零件数量为x个，则乙车间每天生产的零件数量为1.5x个，根据题意得出分式方程，解方程即可； （2）设甲车间最少生产a天，根据题意得出，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲车间每天生产的零件数量为x个，则乙车间每天生产的零件数量为1.5x个， 根据题意得， 解得， 经检验：是原分式方程的解． ∴（个） 即甲车间每天生产的零件数量为200个，则乙车间每天生产的零件数量为300个． （2）设甲车间最少生产a天．根据题意， 得， 解得， 答：甲车间最少生产13天． 23．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，逐步更新生产设备，新设备生产效率比旧设备提高了 ．若旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天． (1)求新设备每天生产多少件产品； (2)日前该企业接到8000件产品的生产任务，若此次生产任务安排2台旧设备，4台新设备，求至少需要多少天完成任务． 【答案】(1)新设备每天生产125件产品 (2)至少需要12天完成任务 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键。 （1）设旧设备每天生产x件产品，则新设备每天生产件产品．根据旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天建立方程求解即可； （2）设该企业需要y天完成任务，根据新旧设备生产总量要不少于8000件建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设旧设备每天生产x件产品，则新设备每天生产件产品． 根据题意，得． 解得． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴． 答：新设备每天生产125件产品． （2）解：设该企业需要y天完成任务． 根据题意，得． 解得． ∵y是正整数， ∴y的最小值为12． 答：至少需要12天完成任务． 24．随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的6倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了亩玉米，他想用一小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，王伯伯参与其中，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 【答案】(1)一个人打药的面积为4亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为24亩． (2)王伯伯至少还需要47个人同时打药． 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：一个人打药的面积为4亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为24亩． （2）解：设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意得： ， 解得：； 答：王伯伯至少还需要47个人同时打药． 25．为改善校园生态环境，某校计划对校园内面积为1000平方米的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队每天完成绿化面积是乙工程队每天完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为480平方米的绿化时，甲工程队比乙工程队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天完成绿化面积分别是多少平方米； (2)若甲工程队工作一天需付费万元，乙工程队工作一天需付费万元，要使这次绿化总费用不超过7万元，至少应安排甲工程队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天完成绿化面积是80平方米，乙工程队每天完成绿化面积是40平方米 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找准数量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米，根据工作时间总工作量工作效率，结合在独立完成面积为480平方米区域的绿化时甲队比乙队少用6天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设应安排甲队工作天，则需安排乙队工作天，根据总费用每天费用工作时间结合这次的绿化总费用不超过7万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙工程队每天完成绿化面积为平方米，则甲工程队每天完成绿化面积为平方米，根据题意： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以 答：甲工程队每天完成绿化面积是80平方米，乙工程队每天完成绿化面积是40平方米． （2）解：设安排甲工程队工作天，则安排乙工程队工作天，根据题意： ， ， 解得：， 答：至少应安排甲工程队工作10天． 题型六、分式方程的经济问题 26．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ 【答案】(1)A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元 (2)该商店有5种进货方案 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程，并找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元，根据用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品件，根据商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元； （2）解：设购进A种商品a件，则购进B种商品件， 由题意得：， 解得： ， ∵a为正整数， ∴， 答：该商店有5种进货方案． 27．依据最新出台的山西初中体育与健康学业水平考试方案，2025年山西中考体育成绩将以60分计入总成绩中，必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、立定跳远、三大球任选一项等．选考项目包括一分钟跳绳、一分钟仰卧起坐等．为适应学生体育课学习、日常参与体育锻炼，左权县某中学购买A，B两种型号的跳绳共110根，且购买A型号跳绳与B型号跳绳的费用都是1500元，已知A型号跳绳的单价是B型号跳绳单价的倍． (1)求：A，B两种型号跳绳的单价各是多少？ (2)若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求：A型号跳绳最多可购买多少根？ 【答案】(1)A型号跳绳的单价是30元，B型号跳绳的单价是25元 (2)100根 【分析】本题考查了一元一次不等式、分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的关系式，难度不大． （1）设B型号跳绳的单价是x元，则A型号跳绳的单价是元，根据购买A型号跳绳与B型号跳绳的费用都是1500元，共110根，列出分式方程，求解即可； （2）设A型号跳绳购买a根，则B型号跳绳购买根．根据题意列不等式，即可得到结论． 【详解】（1）解：设B型号跳绳的单价是x元，则A型号跳绳的单价是元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的根． 则（元）． 答：A型号跳绳的单价是30元，B型号跳绳的单价是25元． （2）解：设A型号跳绳购买a根，则B型号跳绳购买根． 根据题意，得． 解得． 所以a可取的最大整数为100． 答：A型号跳绳最多可购买100根． 28．某快递公司计划为500名员工每人购买一套工作服，员工可选A款或B款，已知A款每套比B款费20元，用2400元购买A款的数量和用2000元购买B款的数量相同． (1)求A款和B款工作服每套的价格各是多少元？ (2)公司预算不超过52000元购买工作服，则至少需要购买B款工作服多少套？ (3)由于购买数量较多，服装商家让利销售，A款八折优惠，B款每件降价元，采购部发现：无论A款和B款如何分配，所需资金都相同．求值． 【答案】(1)A款和B款工作服每套的价格各是元和元 (2)至少需要购买B款工作服套 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，整式的应用；找出等量关系式及不等关系式是解题的关键． （1）等量关系式：2400元购买A款的数量用2000元购买B款的数量，列方程，即可求解； （2）不等关系式：购买A款的费用购买B款的费用元，列不等式，即可求解； （3）购买A款工作服套，所需资金为元，由的取值与无关，即可求解． 【详解】（1）解：设A款工作服每套的价格是元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， （元）， 答：A款和B款工作服每套的价格各是元和元； （2）解：设购买B款工作服套，由题意得 ， 解得：， 答：至少需要购买B款工作服套； （3）解：设购买A款工作服套，所需资金为元，由题意得 ， 无论A款和B款如何分配，所需资金都相同 的取值与无关， ， 解得：． 29．习近平总书记在谈到基层教育时指出，我们的教育要善于从五千年中华传统文化中汲取优秀的东西，同时也不摒弃西方文明成果，真正把青少年培养成为拥有“四个自信”的孩子．某校响应号召，为满足学生的阅读需求新购买了一批图书，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书，已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.5倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用6000元购买的乙种书柜数量多4个，求每个甲、乙书柜的价格各为多少元？ 【答案】每个甲种书柜的价格为150元，每个乙种书柜的价格为100元． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设每个乙种书柜的价格是x元，则购进每个甲种书柜的价格是元，根据“每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.5倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用6000元购买的乙种书柜数量多4个”，列出分式方程，进行求解即可．读懂题意，正确的列出分式方程，是解题的关键． 【详解】解：设每个乙种书柜的价格是x元，则每个甲种书柜的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲种书柜的价格为150元，每个乙种书柜的价格为100元． 30．综合与实践 依据以下素材，完成探究任务（三项任务）． 设计奖品购买及兑换方案 素材1 某文具店销售某种钢笔和笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．经兑换后，发现笔记本与钢笔的数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 运用所学数学知识，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探求奖品的购买方案 运用所学数学知识，设计购买奖品的方案． 任务3 探索并确定兑换方式 运用所学数学知识，确定符合条件的兑换方式． 【答案】（1）笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；（2）该校购买笔记本20件，钢笔30件；（3）共有8张兑换券，其中2张用于兑换笔记本，6张用于兑换钢 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次方程，二元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元，列分式方程求解即可； （2）设该校购买笔记本a件，则购买钢笔件，列方程求解即可； （3）设张兑换券中，有张用于兑换笔记本，则有张兑换钢笔，列二元一次方程，并根据情况列举合适的值代入计算即可求解． 【详解】解：（1）设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则钢笔的单价：（元）， 答：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元． （2）设该校购买笔记本a件，则购买钢笔件， 依题意，得， 解得， 经检验，符合题意， 则购买钢笔：（件）， 答：该校购买笔记本20件，钢笔30件． （3）设张兑换券中，有张用于兑换笔记本，则有张兑换钢笔， 依题意，得， （法一）， ， 是非负整数，为正整数， 是的倍数， 或9，即或8， 当时，，不合题意，舍去， 当时，， 即文具店赠送8张兑换券，其中2张兑换券兑换笔记本，6张兑换券兑换钢笔， 此时笔记本与钢笔数量相同，均为36，符合题意． （法二）解得， ， ， 由题意知，，解得， 为正整数， ， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不合题意，舍去； 综上，共有8张兑换券，其中2张用于兑换笔记本，6张用于兑换钢笔． 题型七、分式方程的和差倍分问题 31．某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 【答案】16元 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列方程是解题关键．设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为元，根据“用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同”，即可列方程求解． 【详解】解：设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲商店硬面笔记本的单价为16元． 32．近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的． (1)求A型、B型玩具的进价分别是多少元； (2)老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？ 【答案】(1)A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元 (2)购进A型玩具80套 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元，根据用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套，根据恰好用了950元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元； （2）解：设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套， 由题意得：， 解得：， 答：购进A型玩具80套． 33．某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 【答案】(1)食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件 (2)食品加工厂第二周采购A种食材30件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件，根据该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，根据食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件 解得： 答：食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件． （2）解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，则 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：食品加工厂第二周采购A种食材30件． 34．为了美化校园环境，学校在今年2月份购进了、两种盆栽，每种盆栽均花费了4000元，其中种盆栽的数量比种盆栽的数量少100盆，已知2月份种盆栽的单价是种盆栽的单价的2倍． (1)请问学校在2月份购进种盆栽和种盆栽各多少盆？ (2)3月份学校再次购进了、两种盆栽，其中种盆栽单价有折扣优惠，种盆栽单价不变，学校3月份购进的种盆栽的数量比2月份购进的数量增加了，3月份购进的种盆栽的数量比2月份的减少了75盆，结果学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元，请问种盆栽打了几折？ 【答案】(1)学校2月份购进A种盆栽100盆，B种盆栽200盆 (2)九折 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程． （1）由题意：用4000元全部购进A种盆栽的数量比用4000元全部购进B种盆栽的数量少100盆，列出分式方程，解方程即可； （2）根据“学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设B种盆栽的单价为x元，则A种盆栽的单价为元，根据题意，A的数量比B少100盆，则： ， 解得， 故B的单价为20元，A的单价为40元； A的数量：盆，B的数量：盆； 答：学校2月份购进A种盆栽100盆，B种盆栽200盆； （2）解：3月份A的数量为盆，B的数量为盆， 设A打d折，则A的单价为元，总费用为元， 根据总费用关系得：， 整理得：， 解得：， 所以，种盆栽打了九折． 35．“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等． (1)甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ (2)根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？ 【答案】(1)甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元； (2)学校最多可购进甲种图书200本． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，根据“用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等”列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，根据“该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元； （2）解：设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本， 由题意得：， 解得：， 答：学校最多可购进甲种图书200本． 题型八、分式方程的其他实际问题 36．某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】(1) (2)人 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 37．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．           (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)整数的值为或． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的应用． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 38．综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1）500 （2）当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，正确列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元，列方程求解即可； （2）设每年行驶里程为，根据新能源车的年使用费用更少，列不等式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 得：， 解得：， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 答：的值为500． （2）燃油车的每千米行驶费用：（元）， 新能源车的每千米行驶费用：（元）． 设每年行驶里程为，由题意得： ， 解得：， 答：当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 39．2025年，能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：7.2元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 (1)若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多0.79元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1)燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元 (2)行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元．列出分式方程，求出，即可解决问题； （2）设每年行驶的里程为x千米，根据新能源车的年费用更低，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 当时，， ， 答：燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元； （2）解：设每年行驶里程为，依题意得： ， 解得， 答：行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低． 40．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 【答案】(1)不一样 (2)克 【分析】此题考查了分式的性质，分式方程的应用，解题的关键是正确列式． （1）根据题意表示出加入了克糖后的浓度，进而求解即可； （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）不一样． 理由：七分糖奶茶甜度为， 在五分糖奶茶加入克糖后的甜度为． ，， （即）， 七分糖奶茶甜度与这杯奶茶甜度不一样． （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样， 依题意，得， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 答：需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样． 题型九、分式方程的新定义应用 41．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 42．定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 43．定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 44．已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：． (1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． (2)计算：． (3)当时，若，尝试求出x的值． 【答案】(1)满足，推导过程见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了异分母分式加减法，新定义下的实数运算，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义是解题的关键． （1）根据定义的新运算“※”，计算出和，即可得出结论； （2）根据定义的新运算“※”，直接列式计算即可得出答案； （3）根据定义的新运算“※”，得出关于的分式方程，解之并检验即可． 【详解】（1）解：新运算“※”满足乘法交换律，理由如下： ， ， ； （2）解： ； （3）解：， 当时，， 即：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 的值为． 45．定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2） ； （3）由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 1．（2025年-广东广州·一模）随着科技的发展，智能芯片技术也达到了新的高度．某科技公司研发了甲 乙两型智能芯片． (1)已知一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次，求一枚甲芯片与一枚乙芯片每秒平均运算次数各为多少万亿次? (2)该科技公司对芯片进行算法优化，成功将甲型芯片每秒的整数运算次数提升到原来的，进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒，求算法优化前、后一枚申型芯片每秒运算次数各为多少万亿次? 【答案】(1)甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次 (2)优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和分式方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． （1）设甲型芯片每秒运算x万亿次，乙型芯片每秒运算y万亿次，根据“一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次”列二元一次方程组，求解即可； （2）设优化前甲型芯片每秒运算a万亿次，则优化后为万亿次，根据“进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒”列争式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲型芯片每秒运算x万亿次，乙型芯片每秒运算y万亿次， 根据题意得，， 解得 答：甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次； （2）解：设优化前甲型芯片每秒运算a万亿次，则优化后为万亿次， 根据题意得，， 解得， 优化后为， 答：优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次． 2．（2025年-湖南长沙·一模）为了提高广大人民群众的生活品质，使劣质高芥酸菜籽油变革成大宗植物油中营养品质最好的低芥酸菜籽油，省农科院油料所计划用基地的甲、乙两区农田进行菜籽试种，甲区的农田比乙区的农田多100亩，甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同． (1)求甲、乙两区各有农田多少亩； (2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上菜籽后，为加强菜籽的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药·由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩． 【答案】(1)甲区有农田500亩，乙区有农田 400亩 (2)派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设乙区有农田x亩，则甲区有农田亩，根据甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同建立方程，解方程即可得； （2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，根据派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），再建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设乙区有农田x亩，则甲区有农田亩． 根据题意得 ， 解得， ∴． 答：甲区有农田500亩，乙区有农田 400亩． （2）解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩． 根据题意得， 解得 ． 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意． 答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩． 3．在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件． (1)求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递的数量； (2)为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量． 【答案】(1)1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件 (2)1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程成为解题的关键． （1）设1个人1小时分拣快递件，则1台机器人1小时分拣快递件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设1台甲型机器人1小时分拣快递件，财1台乙型机器人1小时分拣快递件，然后根据题意列分式方程求解并检验即可解答． 【详解】（1）解：设1个人1小时分拣快递件，则1台机器人1小时分拣快递件， 由题意可列方程， 解得， ∴（件）， 答：1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件； （2）解：设1台甲型机器人1小时分拣快递件，财1台乙型机器人1小时分拣快递件， 由题意得，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件． 4．奉节脐橙果皮脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，是中国地理标志产品．一批发商收购了1000千克的大果和中果，共花费6800元，已知大果收购价每千克8元，中果收购价每千克5元． (1)求该批发商大果和中果各收购了多少千克？ (2)因销量可观，该批发商计划再次收购6300元的大果和6300元的中果，受价格上涨的影响，大果比中果少收购270千克，已知大果和中果的收购单价上涨金额相同，则第二次收购时大果和中果的收购价分别为每千克多少元？ 【答案】(1)该批发商大果收购了600千克，中果收购了400千克 (2)第二次收购时大果的收购价为每千克10元，中果的收购价为每千克7元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用． （1）设该批发商大果收购了千克，则中果收购了千克，根据题意列出方程求解即可； （2）设收购单价的上涨金额为元，根据题意列出分式方程，求出，即可求解． 【详解】（1）解：设该批发商大果收购了千克，则中果收购了千克， 则， 解得， 则， 答：该批发商大果收购了600千克，中果收购了400千克； （2）设收购单价的上涨金额为元， 由题意得， 解得（负值不符合题意，舍去）， 经检验：是分式方程的根，且符合题意； 大果收购价为（元），中果收购价为（元）， 答：第二次收购时大果的收购价为每千克10元，中果的收购价为每千克7元． 5．（2025年-河北唐山·一模）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题． 题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．问甲、乙两种图书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……，等量关系：甲图书数量乙图书数量 解法二 设……，等量关系：甲图书单价乙图书单价20 (1)解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示______．（填序号） ①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量． (2)请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． (3)若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本，求甲种图书最多能购买的数量． 【答案】(1)①；③ (2)50元，30元 (3)甲种图书最多能购买35本． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）分别选择两个方程求解即可得到答案； （3）设甲种图书购买的数量为本，则乙种图书购买的数量为本，该校用不超过2500元钱的资金购进甲、乙两种图书，求解的范围，可得答案． 【详解】（1）解：由甲商品数量乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价乙商品进价可得：中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； （2）解：解法一：， 方程两边同乘，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元； 解法二：， 方程两边同乘，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元； （3）解：设甲种图书购买的数量为本，则乙种图书购买的数量为本， 根据题意得， 解得 答：甲种图书最多能购买35本． 6．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了3000元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． (1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【答案】(1)购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元 (2)该校此次最多可购买33个B品牌篮球 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用： （1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元 （2）解：∵A品牌篮球售价比第一次购买时提高了， ∴（元） 设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个， 依题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买33个B品牌篮球． 7．今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，成为全民话题，片中各角色的经历和所做所为共同构成了一部生动的教育启示录，“哪吒2”的成功上映，不仅意味着国漫崛起，也是一场教育哲学的胜利，它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．“哪吒2”的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．金字塔电影院最初上映时准备了成人票和儿童票，发现购买3张成人票和5张儿童票共需350元；若购买6张成人票和3张儿童票共需420元． (1)①每张成人票单价为_______元，每张儿童票单价为_______元； ②某培训机构计划支持国产电影，拿出850元资金购买成人票与儿童票若干张，请帮忙算算有几种购买方案，能够刚好花完850元； (2)金字塔电影院预估正月初一到正月初六处于观看高峰阶段，不再分类购票，实行票价统一．据统计正月初一该影院票房收入费用为40000元，正月初二该影院票房收入费用为43200元，但正月初二的电影票单价在正月初一的票价上涨了，且正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，那么正月初一该影院的电影票的单价是多少元？ 【答案】(1)①50；40；②共有5种购买方案，能够刚好花完850元； (2)正月初一该影院的电影票的单价是40元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，解题的关键是： （1）①设每张成人票x元，每张儿童票y元，根据“购买3张成人票和5张儿童票共需350元；购买6张成人票和3张儿童票共需420元”列方程组求解即可；②设购买成人票a张，购买儿童票b张，根据850元资金购买成人票与儿童票若干张列二元一次方程求解正整数解即可． （2）设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是，根据“正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张”，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：①设每张成人票x元，每张儿童票y元， 根据题意，得， 解得， 答：每张成人票50元，每张儿童票40元； ②设购买成人票a张，购买儿童票b张， 由题意得， 整理得， ∵a、b为非负整数， ∴，；，；，；，；，； ∴共有5种购买方案，能够刚好花完850元； （2）解：设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：正月初一该影院的电影票的单价是40元． 8．（2025年-重庆·一模）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【答案】(1)一台机器人每分钟采茶的片数为30，则一名工人每分钟采茶的片数为25 (2) 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用， （1）设一台机器人每分钟采茶的片数为x，则一名工人每分钟采茶的片数为，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）设一台机器人每分钟采茶的片数为x，则一名工人每分钟采茶的片数为 根据题意得， 解得 ∴ ∴一台机器人每分钟采茶的片数为30，则一名工人每分钟采茶的片数为25； （2）根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解． 9．臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 【答案】(1)大蒜元每市斤 (2)安排名工人加工汤料包 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设大蒜元每市斤，列方程求解即可； （2）设安排名工人加工汤料包，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大蒜元每市斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大蒜元每市斤； （2）解：设安排名工人加工汤料包， 根据题意得：， 解得：， 答：安排名工人加工汤料包． 10．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 【答案】(1)主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； (2)制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个 (3)最多可生产85套机器人 【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可； （2）设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是列出二元一次方程组求解即可； （3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 【详解】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴主控芯片单价为（元） 答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； （2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得， 解得：， 故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个， 答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个； （3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块， 主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 答：最多可生产85套机器人． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$