7.6 用锐角三角函数解决问题(2) 学案 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

淮安市北京路中学九年级数学学案 7.6 用锐角三角函数解决问题(2) 班级__________ 姓名__________ 评价_________ 【学习目标】 1．能把实际问题抽象为几何问题，借助直角三角形、锐角三角函数把已知量与未知量联系在一起解决实际问题。 2．构造直角三角形是解决这类问题重要辅助线。 【典型例题】 例1 建筑工地中的塔吊由支架，吊臂，拉线等组成．画出其示意图名图如图，为支架，为吊臂，拉线为，，其中与互相垂直．已知，，．若点恰好位于同一个圆周上，试求吊臂长．（，，，结果保留整数） 例2如图1，在小雅家的北偏东方向处有一家儿童乐园，北偏西的方向 处有一家游乐场，在这两个地方都有最受欢迎的项目荡秋千．周末，小雅的爸爸妈妈带她到儿童乐园玩，如图2，正是小雅在儿童乐园里荡秋千的画面，点C处是秋千静止时的起始点，小雅在起点处两脚在地面上用力一蹬，秋千便开始旋转起来，当摆角恰为时，妈妈在点B处接住她后用力一推，然后爸爸在A处接住她，此时摆角为，已知妈妈接住小雅的位置点B距离地面高，秋千链子的长度为．（参考数据：）． (1)请问儿童乐园和游乐场之间的距离是多少米？ (2)请问爸爸是在距离地面多高的地方接住小雅的？（结果保留一位小数） 【课堂练习】 1．如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（   ） 第1题 第2题 第3题 A． B． C． D． 2．小明带妹妹玩秋千，当秋千停止不动时，踏板与地面的距离米．小明推了一把，秋千旋转到位置，踏板与地面的距离米．已知，则秋千顶O与地面距离（   ）米 A．4.3 B．4.1 C．4 D．3.8 3．桔槔俗称“吊杆”、“称杆”，是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点位于最高点时，，此时，点到地面的距离为（    ） A．米 B．5米 C．米 D．米 4．如图，图①是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图②是其示意图．支撑杆垂直于地面，活动杆固定在支撑杆上的点A处．若，厘米，厘米，则活动杆端点离地面的高度为（   ） 第4题 第5题 第6题 A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 5．如图是背肌训练器在被使用过程中的示意图，立柱竖直固定在水平地面上，摆臂 可绕点在一定范围内上下转动，的长为米．的长为米．小滨将摆臂绕点O往下拉，现小滨将摆臂下拉到图中位置，，则握手点B离水平地面的竖直高度为（　）（参考数据，，） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心A的距离为 厘米，小球从点A处摆动到最低点B处时，，在点O的正下方有一个阻碍物P，小球从点B处到点C的摆动，是以P为圆心，为半径的向右摆动，设点A和点C的垂直高度差为m（点A高于点C），的长为n，若，则m和n满足的关系为（取）（　　） A． B． C． D． 【达标反馈】 7．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角，分别为和，这时点F相对于点E升高了．该摆绳的长度为（   ）． 第7题 第8题 A． B． C． D． 8．一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，某摩天轮的半径为，轮子的中心距离地面．小伟乘坐的座舱从最低点处上升至点处，若，则点处距离地面 ． 10．在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传，现在也深受儿童的喜爱．如图所示成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为，当摆角为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为．则座板距地面的最大高度为 ． 11．人民公园是当地人民喜欢的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们的喜爱．如图所示， 秋千静止时，秋千链子与支柱重合，秋千链子，将座板推至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，松开后座板摆动至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，则座板从点处摆动至点处的水平距离为 ．（结果保留根号） 第9题 第10题 第11题 12．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最大高度位置秋千底部所经过的路径长为 米．（结果保留） 第12题 第13题 第14题 13．2025年3月21日“神舟”十九号航天员乘组圆满完成第3次出舱任务，如图，当“神舟”十九号运行到地球表面点的正上方的点处时，从点能直接看到的地球表面最远的点记为点，已知，，，则圆心角所对的弧长约为 （结果保留）． 14手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，如图是其侧面结构示意图．已知托板．托板固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板可绕点D转动．支撑板长．若，点A到底座的距离是 ．（结果精确到，参考数据：） 15．图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是 米（精确到0.1米）（参考数据：）． 16．【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对公园里的摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图象如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； （2）求摩天轮的半径； 【问题解决】如图2，摩天轮从点旋转到点需6分钟，且两点与地面距离相等，即． （3）若距离地面82米以上能够获得最佳观赏效果，试问摩天轮从点旋转到点的全过程中是否能够获得最佳观赏效果，并说明理由．（结果精确到0.1米，参考数据，，） 17．如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成，如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果．悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，，） 18．图1为水平放置在地面上的穿衣镜，其支架形状固定不变，镜面可任意角度调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的水平收纳架，支架为水平地面，经测量得． (1)求支架顶点A到地面的距离； (2)如图3，将镜面顺时针旋转，求此时穿衣镜顶部端点O到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$