15.3.2等腰三角形 习题（思维导图+知识点+习题精练）2025-2026学年人教版八年级数学上册

15.3.2 等腰三角形 一、知识梳理 1、等边三角形的性质 性质1:等边三角形的三个角都 ， 并且每一个角都等于 性质2:等边三角形每条边上的 、高和所对角的 相互重合，即“ ” 轴对称性:等边三角形是 图形，有 对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 2、等边三角形的判定 定义法:三边都相等的三角形是等边三角形 判定方法1:三个角都相等的三角形是等边三角形 判定方法2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 3、含30°角的直角三角形的性质 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的 . 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于 . 二、知识精练 一、单选题 1．如图，在等边中，点D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知和均为等边三角形，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，真命题是（　　） A．两个等边三角形全等 B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 5．如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在等边三角形中，，于相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图在直线的同一侧作和和都是等边三角形，连接交于点，下列选项正确的是（   ） ①；②；③连接，则平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 10．如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，等边周长是18，是的平分线，则 ． 12．边长为2的等边三角形的面积为 ． 13．如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 14．如图，是等边三角形的角平分线，点是边的中点，点是上一动点，连接，已知，则最小值为 ． 三、解答题 15．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 16．已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． (1)求证：； (2)求的度数． 17．在四边形中． (1)如图（1），若平分，，，则线段、的长度满足的数量关系是_____．（直接填答案） (2)如图（2），C是边的中点，若平分，，说明线段、、的长度满足的数量关系． (3)如图（3），C是边的中点，平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？ 18．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 15.3.2 等腰三角形 1．A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外角的定义和性质，由等边三角形的性质得出，由三角形外角的定义和性质可求出． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故选：A 2．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，等边三角形的性质，因为和均为等边三角形，由等边三角形的性质得到，，，再利用角与角之间的关系求得，则，故可求． 【详解】解：∵ 和均为等边三角形， ∴ ，，， ∵ ，， ∴ 在和中 ∴ ∴ 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形、等边三角形相关概念，解题的关键是准确理解全等三角形的判定条件和性质． 根据全等三角形的判定条件，逐一分析各选项是否成立． 【详解】A．两个等边三角形全等：错误．等边三角形对应边相等且每个角均为，但若边长不同（如边长为2和3的等边三角形），则不全等； B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等：错误．等腰三角形仅腰长相等，但底边长度或顶角可能不同（如腰长均为5，底边分别为6和8的三角形），无法保证全等； C．面积相等的两个三角形全等：错误．面积相等仅说明面积数值相同，但形状和边长可以不同（如底4高3与底6高2的三角形面积均为6），不全等； D．成轴对称的两个三角形全等：正确．轴对称是几何变换中的全等变换，变换前后图形形状、大小完全一致，符合全等定义． 故选：D． 5．D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质，正确找出两个全等三角形是解题关键． 先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∴， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，证明是解题的关键． 根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断③． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； ， 和边上的高相等， 即点B到和边的距离相等， 平分，故③正确； 综上可知，正确的结论有3个， 故选：D． 8．D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 9．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，由等边三角形的性质得到，再求出，根据平行线的性质得到，再判定为等边三角形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形的边长为7， ∴， ∵点E，F是边的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是：， 故选：C． 10．D 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 11．3 【分析】本题考查等边三角形的性质，“三线合一”，根据等边三角形三边相等可得，根据“三线合一”可得是的中线，即可得出． 【详解】解：等边周长是18， ， 是的平分线，， 是的中线， ， 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，过点A作，垂足为D，利用等边三角形的性质可得，，然后利用勾股定理求出的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：是等边三角形，过点A作，垂足为D， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作的平行线，交的延长线于点，证得后即可证得，然后利用等边三角形的性质可得，即可求得的长，解题的关键是正确的作出辅助线． 【详解】解：过点作的平行线，交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、都是等边三角形， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 14．6 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解．本题主要考查等边三角形的性质（三线合一）与轴对称 - 最短路径问题及全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形三线合一及利用轴对称转化线段是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为： ． 15．证明见解析 【分析】本题考查等边三角形中求角度，涉及“一线三等角”模型，先利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形外角性质得到，再由已知条件即可得证．熟记等边三角形性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 【详解】证明：是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ，， ． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质结合题意可得，由角平分线的定义可得，利用得出； （2）证明，由全等三角形的性质结合等边三角形的性质可得，最后再由全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）证明即可得到结论； （2）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （3）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中， ∴． ∴，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． （3）解：，理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． 18．（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，，求得，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明．，，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，，再证明，可得为等边三角形，从而，再根据面积即可求解． 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$