第3章 勾股定理 单元测试题2025-2026学年苏科版数学八年级上册

答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C C A A D A A 一．选择题（共10小题） 1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（　　） A．8，15，17 B．5，6，7 C．，， D．6，7，8 【解答】解：A、82+152＝172，能构成直角三角形，符合题意； B、52+62≠72，所以不能构成直角三角形，不符合题意； C、（）2+（）2≠（）2，所以不能构成直角三角形，不符合题意； D、62+72≠82，所以不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 2．若一个直角三角形的两边长分别为6和8，则斜边长为（　　） A．10 B．8 C．或8 D．10或8 【解答】解：①若6和8都是两直角边，由勾股定理得：斜边长； ②若8为斜边，6为直角边时，则斜边长为8； 综上所述，斜边长为10或8， 故选：D． 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，不属于“勾股数”的是（　　） A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25 【解答】解：A：32+42＝9+16＝25＝52，满足勾股数条件，不符合题意； B：52+72＝25+49＝74，而92＝81，74≠81，不满足勾股数条件，符合题意； C：82+152＝64+225＝289＝172，满足勾股数条件，不符合题意； D：72+242＝49+576＝625＝252，满足勾股数条件，不符合题意， 故选：B． 4．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【解答】解：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，设折断处离地面的高度AB为x尺，则AC＝（10﹣x）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， ∴x2+42＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.2， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 5．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（　　） A．36 B．72 C．18 D．144 【解答】解：∵正方形面积等于边长的平方，大正方形的面积为81，设其边长为a， 则a2＝81， 解得a＝9； 小正方形的面积为9，设其边长为b， 则b2＝9， 解得b＝3． 设直角三角形较短的直角边为x，较长的直角边为y， 根据勾股定理可得x2+y2＝a2＝81， 又∵较长直角边与较短直角边的差等于小正方形的边长， 即y﹣x＝b ＝3． ∵直角三角形面积，由x2+y2＝81，y﹣x＝ 3， 可得（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy， 将y﹣x＝3代入可得 4xy＝81﹣9， 即4xy＝72，那么xy＝18， ∴， ∵大正方形面积减去小正方形面积得到4个直角三角形的面积，即4个直角三角形面积为81﹣9＝72， ∴一个直角三角形的面积为18． 故选：C． 6．如图是以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是15，22，则正方形A的边长为（　　） A． B．7 C． D． 【解答】解：由正方形的面积公式结合勾股定理可得， SA＝22﹣15＝7， ∴正方形A的边长为， 故选：A． 7．已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 【解答】解：设铅笔长度为x cm， 已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm， ∴（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122， 解得x＝22， 故铅笔的长为22cm， 故选：A． 8．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，点A对应的数是﹣1，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，AP＝AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1， ∴AC， ∴AP， ∵点A所表示的数是﹣1， ∴点P所表示的数为1， 故选：D． 9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，分别以AB，AC，BC为直径画半圆，则阴影部分的面积为（　　） A． B．2π C． D． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4， ∴AB2+AC2＝BC2，BCAB＝2， ∴AC2， ∴阴影部分的面积π（BC）2π（AC）2+S△ABCπ（AB）2 π（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC ＝S△ABC 2×2 ＝2， 故选：A． 10．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝24，则EF的长是（　　） A． B．4 C．5 D． 【解答】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：c2＝a2+b2， 由题意，得：S1＝（a+b）2，S2＝c2，S3＝（a﹣b）2， ∴S1+S2+S3＝（a+b）2+c2+（a﹣b）2， ＝a2+2ab+b2+c2+a2﹣2ab+b2 ＝c2+c2+c2 ＝3c2＝24， ∴c2＝8， 即EF2＝8， ∴EF＝2， 故选：A． 二．填空题（共8小题） 11．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”!已知AC＝6m，BC＝8m，则走路AB比走路A﹣C﹣B少了　4　 m． 【解答】解：∵草坪是矩形的， ∴∠C＝90°， 在Rt△ABC中，AC＝6m，BC＝8m， 由勾股定理得：AB10（m）， ∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m）， 故答案为：4． 12．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这个三角形的面积是　54　 ． 【解答】解：∵92+122＝152， ∴△ABC为直角三角形， ∴这个三角形的面积是：9＝54， 故答案为：54． 13．如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为 　17　 ． 【解答】解：∵两个正方形的面积分别是64和49， ∴AB＝BD＝8，DC＝7， 根据勾股定理得：AC17． 故答案为：17． 14．如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则∠DAC﹣∠BAC＝　45　 °． 【解答】解：如图，取格点E，连接AE，DE， ∵AB＝AE＝DE，AC⊥BE， ∴∠BAC＝∠EAC， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝∠DAC﹣∠BAC， ∵AD， ∴AD2＝AE2+DE2， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝∠ADE＝45°， ∴∠DAC﹣∠BAC＝45°， 故答案为：45． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，若CD＝DE＝a，则AB的长为 　2a　 ． 【解答】解：∵CD⊥AB，CD＝DE＝a， ∴CEa， 在△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB的中点， ∴AB＝2CE＝2a， 故答案为：2a． 16．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离DE的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即BC＝8尺，秋千踏板离地的距离BF和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，运用所学知识求出绳索的长是　10　 尺． 【解答】解：由题意可知：DE的长为1尺，BC＝8尺，CE＝BF＝5尺， ∴CD＝5﹣1＝4（尺）， 设绳索AD＝AB＝x尺，则AC＝（x﹣4）尺， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴82+（x﹣4）2＝x2， 解得x＝10， ∴绳索AD的长为10尺， 故答案为：10． 17．如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，则阴影部分的面积为 　24　 ． 【解答】解：连接AB， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵BD＝12，AD＝13， ∴AB2+BD2＝52+122＝169，AD2＝132＝169， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠ABD＝90°， ∴阴影部分的面积＝△ABD的面积﹣△ABC的面积 AB•BDAC•BC 5×124×3 ＝30﹣6 ＝24， 故答案为：24． 18．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知AC＝8，BC＝6，其中阴影部分的面积是 　56　 ． 【解答】解：如图， 在Rt△ABC中，AB2＝BE2＝AC2﹣BC2＝82﹣62＝28， 在Rt△BEH中，BE2＝EH2+BH2＝28， ∴S阴影＝S正方形ABED+S正方形EFGH+S正方形BHMN ＝AB2+EH2+BH2 ＝28+28 ＝56， 故答案为：56． 三．解答题（共6小题） 19．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． （1）判断∠D是否是直角，并说明理由． （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）解：∠D是直角． 理由：连接AC， ∵∠B＝90°， ∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625， ∵DA2+CD2＝242+72＝625， ∴AC2＝DA2+DC2， ∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角； （2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC， ∴S四边形ABCDAB•BCAD•CD， ， ＝234． 20．如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆AB的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？ 【解答】解：（1）∵旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，C处到旗杆底部B的距离为9米， 设旗杆AB的高度为x m，则AC＝（x+3）m， 在Rt△ABC中，∠B＝90°， 由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， ∴x2+92＝（x+3）2， 解得：x＝12， 答：旗杆AB的高度为12m； （2）过E作EM⊥AB重为M，如图， 则∠MEB＝∠MBD＝∠EDB＝90°， ∴四边形BDEM为矩形， ∴MB＝ED＝2m，BD＝ME， ∵AB＝12m， ∴AM＝12﹣2＝10（m），AE＝12+3＝15（m）， 在Rt△AME中，∠AME＝90°， 由勾股定理得：， ∴， 答：小明需后退． 21．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵EF⊥BD， ∴∠AEF+∠AED＝90°， ∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C， ∴∠C+∠AED＝90°， ∴∠EAC＝90°， ∴AE⊥AC； （2）解：∵∠EAC＝90°， ∴AE2+AC2＝CE2， ∵CE＝CD+DE＝DE+8， ∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC， ∴AD6， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2， ∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2， 解得：DE＝4.5． 22．学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆AB的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设旗杆AB＝x米，则AC＝　（x+3）　 米，AE＝　（x﹣1）　 米；（用含x的式子表示） （2）求旗杆x的值． 【解答】解：（1）设旗杆AB＝x米，则AC＝（x+3）米，AE＝（x﹣1）米， 故答案为：（x+3）（x﹣1）； （2）在Rt△AEC中，∠AEC＝90°， ∴AE2+EC2＝AC2， 即（x﹣1）2+122＝（x+3）2， 解得：x＝17， 答：旗杆x的值为17米． 23．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度AD． （2）如果想要风筝沿DA方向再上升12m，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【解答】解：（1）由题意得，∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米，CD＝1.8米， ∴（米）， ∴AD＝AC+CD＝9.8（米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）当风筝沿DA方向再上升12米， 所以A′C＝AC+AA′＝8+12＝20米， 在Rt△A′BC中，∠A'CB＝90°，BC＝15米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出25﹣17＝8（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 24．勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． （1）以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2 证明：连结BD，过点D作BC边上的高DF⊥BC于点F，则DF＝EC＝b﹣a． ∵， 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝　c2a（b﹣a）　 ， ∴　　 ， ∴a2+b2＝c2． （2）请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 【解答】证明：（1）证明：连接BD，过点D作BC边上的高DF⊥BC于点F，则DF＝EC＝b﹣a． ∵， 又∵， ∴， ∴a2+b2＝c2， 故答案为：c2a（b﹣a），； （2）证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a． ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴b2＝c2﹣a2， ∴a2+b2＝c2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 6页） 第 3章 勾股定理 单元测试题 （考试时间为 100 分钟，满分为 120 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A．8，15，17 B．5，6，7 C． 3， 4， 5 D．6，7，8 2．若一个直角三角形的两边长分别为 6和 8，则斜边长为（ ） A．10 B．8 C．2 7或 8 D．10或 8 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各 组数中，不属于“勾股数”的是（ ） A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25 4．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题 意是：一根竹子原高 1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根 4尺，试问折断处离 地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 第 4题 第 5题 第 6题 5．如图的“赵爽弦图”是用 4个全等的直角三角形与 1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正 方形的面积为 81，小正方形的面积为 9，则一个直角三角形的面积为（ ） A．36 B．72 C．18 D．144 6．如图是以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是 15，22，则正方形 A的 边长为（ ） A． 7 B．7 C．4 5 D． 37 7．已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是 8cm和 12cm．将一支铅笔按如图方式先后放 入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为 3cm和 1cm，则铅笔的长是（ ） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 第 2页（共 6页） 8．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，点 A对应的数是﹣1，若以点 A为 圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点 P，则点 P表示的数为（ ） A． 5 B． 5 − 1 C． 10 D． 10 − 1 第 7题 第 8题 9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，分别以 AB，AC，BC为直径画半圆，则阴影 部分的面积为（ ） A．2 3 B．2π C．3� − 32 D．� + 3 10．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的 弦图，图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKJ的面积分别记为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3＝24， 则 EF的长是（ ） A．2 2 B．4 C．5 D．5 3 第 9题 第 10题 第 11题 二、填空题：本题共 8小题，每小题 3分，共 24分。 11．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”， 却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”!已知 AC＝6m，BC＝8m，则走路 AB比走路 A ﹣C﹣B少了 m． 12．在△ABC中，若其三条边的长度分别为 9、12、15，则这个三角形的面积是 ． 13．如图，两个正方形的面积分别是 64和 49，则 AC的长为 ． 第 3页（共 6页） 14．如图，点 A，B，C，D均在正方形网格格点上，则∠DAC﹣∠BAC＝ °． 第 13题 第 14题 第 15题 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点 D，点 E是 AB的中点，若 CD＝DE＝a，则 AB的 长为 ． 16．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二 步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如 图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 DE的长为 1 尺，将它向前水平推送 8 尺时，即 BC＝8 尺，秋千踏板离地的距离 BF和身高 5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”， 运用所学知识求出绳索的长是 尺． 第 16题 第 17题 第 18题 17．如图，已知 AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，则阴影部分的面积为 ． 18．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知 AC＝8，BC＝6，其中阴影部分的面积 是 ． 三、解答题：本题共 6小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．(本小题 10分)如图，四边形 ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． （1）判断∠D是否是直角，并说明理由． （2）求四边形 ABCD的面积． 第 4页（共 6页） 20．(本小题 10分)如图，数学兴趣小组要测量旗杆 AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端 A的绳子垂到地 面多出一段的长度为 3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点 C处，到旗杆底部 B的距离为 9米． （1）求旗杆 AB的高度； （2）小明在 C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的 2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子 末端落在点 E处，问小明需要后退几米（即 CD的长）？ 21．(本小题 10分)在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点 D是 BC的中点，点 E是线段 BD上的动点， 过点 E作 EF⊥BD交 AB于点 F．连结 AE，若∠AEF＝∠B． （1）求证：AE⊥AC； （2）求 DE的长． 22．(本小题 12分)学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆 AB的高度，通 过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长 3米（如图 1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离 CD为 1米，到旗杆的距离 CE为 12米（如图 2）．根据以上信息，解答下列问题： （1）设旗杆 AB＝x米，则 AC＝ 米，AE＝ 米；（用含 x的式子表示） （2）求旗杆 x的值． 第 5页（共 6页） 23．(本小题 12分)数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋 时期，距今已 2000多年，相传墨翟以木头 制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风 筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离 地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所 示的示意图，测得水平距离 BC的长为 15m， 根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AB的 长为 17m．牵线放风筝的手到地面的距离为 1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测 量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度 AD． （2）如果想要风筝沿 DA方向再上升 12m， 且 BC长度不变，则他应该再放出多少米 线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 第 6页（共 6页） 24．(本小题 12分)勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定 理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现 在为止有 500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面 积证明等． 当两个全等的直角三角形按图 1或图 2摆放时，都可以用“面积法”来证明． （1）以下是利用图 1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图 1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2 证明：连结 BD，过点 D作 BC边上的高 DF⊥BC于点 F，则 DF＝EC＝b﹣a． ∵�四边形���� = �△��� + �△��� = 1 2 � 2 + 12 ��， 又∵S 四边形 ADCB＝S△ADB+S△DCB＝ ， ∴ ， ∴a2+b2＝c2． （2）请参照上述证明方法，利用图 2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图 2所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 第3章 勾股定理 单元测试题 (考试时间为100分钟,满分为120分) 一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组线段中,能够组成直角三角形的是( ) A.8,15,17 B.5,6,7 C.,, D.6,7,8 2.若一个直角三角形的两边长分别为6和8,则斜边长为( ) A.10 B.8 C.或8 D.10或8 3.我国是最早了解勾股定理的国家之一,它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中,不属于“勾股数”的是( ) A.3,4,5 B.5,7,9 C.8,15,17 D.7,24,25 4.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几何?题意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹稍触地面处离竹根4尺,试问折断处离地面多高?则折断处离地面的高度为( ) A.4.55尺 B.5.45尺 C.4.2尺 D.5.8尺 第4题 第5题 第6题 5.如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.如果该大正方形的面积为81,小正方形的面积为9,则一个直角三角形的面积为( ) A.36 B.72 C.18 D.144 6.如图是以直角三角形的三边为边向外作正方形,其中两个正方形的面积分别是15,22,则正方形A的边长为( ) A. B.7 C. D. 7.已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同,高度分别是8cm和12cm.将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒,铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm,则铅笔的长是( ) A.22cm B.21cm C.20cm D.19cm 8.如图,Rt ABC中,∠ABC=90 ,AB=3,BC=1,AB在数轴上,点A对应的数是﹣1,若以点A为圆心,AC的长为半径画弧交数轴于点P,则点P表示的数为( ) A. B. C. D. 第7题 第8题 9.如图,Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠A=30 ,AB=4,分别以AB,AC,BC为直径画半圆,则阴影部分的面积为( ) A. B.2 C. D. 10.某数学兴趣小组学完勾股定理后,类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图,图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKJ的面积分别记为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=24,则EF的长是( ) A. B.4 C.5 D. 第9题 第10题 第11题 二、填空题:本题共8小题,每小题3分,共24分。 11.文化广场有一块矩形的草坪如图所示,有少数的人为了避开拐角走“捷径”,在草坪内走出了一条“路”,却踩伤了花草!青青绿草地,悠悠关我心,足下留“青”!已知AC=6m,BC=8m,则走路AB比走路A﹣C﹣B少了 m. 12.在 ABC中,若其三条边的长度分别为9、12、15,则这个三角形的面积是 . 13.如图,两个正方形的面积分别是64和49,则AC的长为 . 14.如图,点A,B,C,D均在正方形网格格点上,则∠DAC﹣∠BAC= . 第13题 第14题 第15题 15.如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,CD⊥AB于点D,点E是AB的中点,若CD=DE=a,则AB的长为 . 16.我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,5尺人高曾记,仕女家人争蹴.良工高士素好奇,算出索长有几?”此问题可理解为:“如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地距离DE的长为1尺,将它向前水平推送8尺时,即BC=8尺,秋千踏板离地的距离BF和身高5尺的人一样高,秋千的绳索始终拉得很直,试问绳索有多长?”,运用所学知识求出绳索的长是 尺. 第16题 第17题 第18题 17.如图,已知AC=4,BC=3,BD=12,AD=13,∠ACB=90 ,则阴影部分的面积为 . 18.如图,是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,已知AC=8,BC=6,其中阴影部分的面积是 . 三、解答题:本题共6小题,共66分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 19.本小题分如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90 . (1)判断∠D是否是直角,并说明理由. (2)求四边形ABCD的面积. 20.本小题分如图,数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度,同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米,小明同学将绳子拉直,绳子末端落在点C处,到旗杆底部B的距离为9米. (1)求旗杆AB的高度; (2)小明在C处,用手拉住绳子的末端,后退至观赛台的2米高的台阶上,此时绳子刚好拉直,绳子末端落在点E处,问小明需要后退几米(即CD的长)? 21.本小题分在 ABC中,AB=AC=10,BC=16.点D是BC的中点,点E是线段BD上的动点,过点E作EF⊥BD交AB于点F.连结AE,若∠AEF=∠B. (1)求证:AE⊥AC; (2)求DE的长. 22.本小题分学过《勾股定理》后,学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆AB的高度,通过测量得到如下信息: ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米(如图1); ②当将绳子拉直时,测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米,到旗杆的距离CE为12米(如图2).根据以上信息,解答下列问题: (1)设旗杆AB=x米,则AC= 米,AE= 米;(用含x的式子表示) (2)求旗杆x的值. 23.本小题分数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题,实践报告如下: 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期,距今已2000多年,相传墨翟以木头制成木鸟,研制三年而成,是人类最早的风筝起源.兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度. 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据,并画出了如图所示的示意图,测得水平距离BC的长为15m,根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17m.牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m. 问题产生 经过讨论,兴趣小组得出以下问题: (1)运用所学勾股定理相关知识,根据测量所得数据,计算出风筝离地面的垂直高度AD. (2)如果想要风筝沿DA方向再上升12m,且BC长度不变,则他应该再放出多少米线? 问题解决 …… 该报告还没有完成,请你帮助兴趣小组解决以上问题. 24.本小题分勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用,勾股定理是一个非常重要的数学定理,它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用.关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种,勾股定理常见的一些证明方法是:几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等. 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明. (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程,请将证明过程补充完整: 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90 ,求证:a2+b2=c2 证明:连结BD,过点D作BC边上的高DF⊥BC于点F,则DF=EC=b﹣a. ∵, 又∵S四边形ADCB=S ADB+S DCB= , ∴ , ∴a2+b2=c2. (2)请参照上述证明方法,利用图2完成下面的证明. 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90 ,求证:a2+b2=c2. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$