精品解析：北京市通州区2024-2025学年高一年级下学期期末考试数学试题

通州区2024-2025学年第二学期高一年级期未质量检测 数学试卷 2025年7月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点在第二象限 3. 已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（ ） A. 2.0 B. 2.1 C. 2.2 D. 2.4 4. 一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（ ） A. 31 B. 33 C. 34 D. 35 5. 某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（ ） A. 20 B. 30 C. 50 D. 60 6. 已知平面向量为单位向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图2中，下列说法正确的个数为（ ） ①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形 ②鳖臑的四个面均为直角三角形 ③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍 ④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在长方体中，，，点，分别为，中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知复数共轭复数为，则____________. 12. 天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为____________. 13. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图所示，已知一木制陀螺模型，其中圆柱的高是圆锥的高的2倍，圆锥的底面半径与圆锥的高相同，若圆柱的高为6cm，则该圆柱的侧面积为____________cm2；该陀螺的体积为_____________cm3. 14. 在中，，，点在线段上，若，则__________；若，当取得最小值时，___________. 15. 如图1，正方形中，，为的中点，，.将沿翻折到，沿翻折到，连接，如图2.给出下列四个结论： ①平面平面； ②当时，三棱锥的体积为； ③设二面角的平面角为，当时，； ④设直线与平面所成角为，当时，则. 其中所有正确结论的序号是_____________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. （1）平面； （2）平面. 17. 在中，角所对的边分别为，，，. （1）若，，求及的值； （2）若，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示. （1）求图中的值； （2）学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团. （ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数； （ⅱ）从选定7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率. 19. 如图，在五面体中，四边形正方形，平面平面，，，. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）求证：. 20. 如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为. （1）求证：平面平面； （2）若，恰为二面角的平面角，求的面积. 21. 在中，角，，所对边分别为，，，点为内的一点，且. （1）当时， （ⅰ）求角； （ⅱ）若，，求的值； （2）若，且，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2024-2025学年第二学期高一年级期未质量检测 数学试卷 2025年7月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据向量平行得到关系式，解得答案. 【详解】已知向量，，若，所以， 则实数. 故选：A. 2. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点在第二象限 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据虚部的定义判断即可；对于B，根据求复数模长的公式求解即可；对于C，根据复数的乘方运算求解即可；对于D，根据复数的几何意义判断即可. 【详解】对于A，虚部不带，是与虚数单位相乘的实数部分，因此复数的虚部是，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，在复平面内，复数对应的点为，在第四象限，D错误. 故选：B. 3. 已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（ ） A. 2.0 B. 2.1 C. 2.2 D. 2.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本数据的平均数和方差公式计算即可. 【详解】因为该组样本数据的平均数为15，所以，解得， 则该组样本数据的方差为， 故选：A . 4. 一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（ ） A. 31 B. 33 C. 34 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】题中的样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列，因此直接根据分位数的定义和计算方法求解即可. 【详解】依题意，该组样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列，且该组样本共10个数据，， 算得小数，向下取整，因此取第8个数作为分位数，即分位数为35. 故选：D. 5. 某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（ ） A. 20 B. 30 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据频数、频率及样本容量的关系即可求得答案． 【详解】根据直方图可得用水量小于1.5立方米的用户数为． 故答案为：C． 6. 已知平面向量为单位向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用公式结合已知条件求出，再利用，代入计算. 【详解】平面向量为单位向量， 故选：C. 7. 已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的必要条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行， 所以故“”是“”的不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8. 如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，通过证明可得，即得为异面直线与所成的角或其补角，利用余弦定理即可. 【详解】 如图，连接，取的中点，连接. 因点，，分别为，，的中点，则，即得， 则，易证，即得， 则，故得，即得，从而， 即为面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为2，则，， 在中，由余弦定理，， 即异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：C. 9. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图2中，下列说法正确的个数为（ ） ①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形 ②鳖臑的四个面均为直角三角形 ③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍 ④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于②，根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于③，根据棱柱与棱锥的表面积公式结合已知条件分析判断；对于④，根据棱柱与棱锥的体积公式结合已知条件分析判断. 【详解】对于①，如图，由题意可知平面，平面，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以阳马的四个侧面都是直角三角形，故①错误； 对于②，如图，由题意可知平面，平面，则， 因为平面，平面，则， 所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以②正确； 对于③，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以堑堵的表面积， ， 阳马的表面积， ， 由于 ， 所以堑堵的表面积不是阳马的表面积的2倍，即③错误； 对于④，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以堑堵的体积，鳖臑的体积， 所以堑堵的体积是鳖臑的体积的三倍，所以④错误. 故选：B 10. 如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，过点作出与平面平行的长方体部分截面，确定点的轨迹即可. 【详解】在长方体中，取的中点，连接, 由点为的中点，得，则四边形是平行四边形， ，又，则四边形是平行四边形， 于是，取中点，在上取点，使得，连接， 而，则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 于是平面，由为的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 由直线平面，点平面，则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹是线段，而， 所以点的轨迹长度为. 故选：C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知复数的共轭复数为，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义求出，再由复数的除法计算即得. 【详解】由题意，，则. 故答案为：. 12. 天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可. 【详解】记端午假期甲地降雨为事件，乙地降雨为事件， 由题知，，且相互独立，所以相互独立， 所以两地都不降雨的概率为. 故答案为： 13. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图所示，已知一木制陀螺模型，其中圆柱的高是圆锥的高的2倍，圆锥的底面半径与圆锥的高相同，若圆柱的高为6cm，则该圆柱的侧面积为____________cm2；该陀螺的体积为_____________cm3. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥的底面半径及高，再利用圆柱的侧面积公式及圆柱、圆锥体积公式求解. 【详解】依题意，圆锥的高为3cm，圆锥、圆柱的底面圆半径为3cm， 所以圆柱的侧面积为（）； 该陀螺的体积为（）. 故答案为：； 14. 在中，，，点在线段上，若，则__________；若，当取得最小值时，___________. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】第一空，根据P为的中点，确定，利用数量积定义即可额求得答案；第二空，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求得取得最小值时P点坐标，结合即可求得答案. 【详解】由题意知为等腰三角形，，， 当时，P为的中点，则，则， 则； 若，则以的中点为坐标原点O，以为x轴建立平面直角坐标系， 则，设, 则， 当时，取最小值，符合题意， 又，即， 则， 故答案为：3； 15. 如图1，正方形中，，为的中点，，.将沿翻折到，沿翻折到，连接，如图2.给出下列四个结论： ①平面平面； ②当时，三棱锥的体积为； ③设二面角的平面角为，当时，； ④设直线与平面所成角为，当时，则. 其中所有正确结论的序号是_____________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于命题①，根据题意可知，在利用线面垂直的判定即可证明；对于命题②，时，与重合，由平面即可求体积；对于命题③，时，过作交于点，连接，通过计算可证就是二面角的平面角，然后求余弦值即可；对于命题④，当时，易知，即此时点在上，所以即可判断. 【详解】对于命题①，根据题意， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故①正确； 对于命题②，时，与重合， 此时在中，，则， 由①知，平面，所以，故②正确； 对于命题③，时，，， 过作交于点，连接， 又，所以，， ，， ， ， 则，则，又， 所以就是二面角的平面角， ，故③正确； 对于命题④，当时， ， 则，即此时点在上，所以，故④错误； 故答案为：①②③. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. （1）平面； （2）平面 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过构造平行四边形找到与平面内直线平行的线，从而证明线面平行； （2）根据线面垂直的性质和矩形的性质证明线面垂直. 【小问1详解】 如图取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点， 根据三角形中位线定理，在中，，且， 又因为底面为矩形，是的中点， 所以，且， 由此可得，且， 所以四边形是平行四边形， 那么， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 又因为底面是矩形，所以， 而，、平面， 又平面， 所以平面. 17. 在中，角所对的边分别为，，，. （1）若，，求及的值； （2）若，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）选②，或；选③，. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求，由正弦定理求； （2）选①，可得，从而得三角形不存在； 选②，求得由正弦定理求得，由余弦定理求得或，由面积公式求解即可； 选③，可得，再由正弦定理可得，由面积公式求解即可. 【小问1详解】 解：由余弦定理可得：， 所以； 由正弦定理可得， 所以 【小问2详解】 解：选①：， 则， 所以此时不存在； 选②：， 由正弦定理可得， 解得； 由余弦定理得， 即， 解得或； 所以或； 选③：， 则， 由正弦定理可得， 解得， 由余弦定理得， 即， 解得或（舍）； 所以. 18. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示. （1）求图中的值； （2）学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团. （ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数； （ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率. 【答案】（1） （2）（ⅰ）5人，2人；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得的值； （2）（ⅰ）根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数； （ⅱ）依题意即可写出样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得； 【小问2详解】 （ⅰ）由图可得和这两组的频率之比为， 故应从学生中抽取的学生人数为（人）， 应从学生中抽取的学生人数为（人）；, （ⅱ）设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为 ， 共有21个基本事件； 事件“至少有1人测试成绩位于区间”，事件的个数有11个， 即， 故. 19. 如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）求证：. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由正方形得，根据线面平行的判定得到平面，再根据线面平行的性质即可得到； （2）先面面垂直的性质证得，结合，可得,,即可证得平面； （3）取的中点，通过证是平行四边形得到，证得； 再由勾股定理逆定理得到，证得平面，得，即可得，进而证得平面，即可证得. 【小问1详解】 由正方形，得， 又∵平面，平面，∴∥平面， ∵平面，平面平面， ∴ 【小问2详解】 由正方形，得, ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面， 又∵平面，∴， 由（1）知，∴，， 又，平面， ∴平面； 【小问3详解】 取的中点，连接，则， 又，所以四边形是平行四边形. ∴，∴. 由，得，，∴. ∵，，平面， ∴平面. ∵平面，∴. 由正方形，得∥，∴, ∵，平面，∴平面, ∵平面，∴ 20. 如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为. （1）求证：平面平面； （2）若，恰为二面角的平面角，求的面积. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，得，由点为的中点，可得,从而得平面，即可证明平面平面； （2）由，可得平面，根据四面体的体积为，可得，进而可得，再由恰为二面角的平面角，得由三角形的面积公式可求得，即可求得的面积 【小问1详解】 证明：由题意可得为等腰直角三角形，斜边, 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为点为的中点， 所以, 又平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 解：因为，， 且平面，， 所以平面， 所以为四面体的高， 所以四面体的体积, 解得， 又因为, 所以， 又因为恰为二面角的平面角， 所以， 所以， 又因为， 解得， 所以, 又因为， 所以. 21. 在中，角，，所对的边分别为，，，点为内的一点，且. （1）当时， （ⅰ）求角； （ⅱ）若，，求的值； （2）若，且，，求的最小值. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用正弦定理边化角，消去，结合和差公式和辅助角公式可解； （ⅱ）根据列方程求解可得； （2）利用余弦定理表示出，根据勾股定理得的关系，借助基本不等式即可得解. 【小问1详解】 （ⅰ）由正弦定理边化角得， 因， 所以， 即， 因为，所以， 即，因为， 所以，得； （ⅱ）因，所以， 记， 则，即， 又，所以， 所以， 由余弦定理得， 所以. 【小问2详解】 记，则， 在中，由余弦定理得： ，， ， 因为，所以，， 所以， 所以，所以，整理得， 根据题意，所以， 记，则，解得（舍去）或， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $