【第十八章 分式 04讲 整数指数幂】【三大知识点+三大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十八章 分式 04讲 整数指数幂 题型归纳 【题型1. 负整数指数幂】………………………………………………………………… 2 【题型2. 用科学记数法表示绝对值小于1的数】……………………………………… 3 【题型3. 整数指数幂的运算】…………………………………………………………… 4 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 5 知识清单 知识点1 负整数指数幂 1.定义：一般地，当n是正整数时，. 即是的倒数. 知识点2 整数指数幂的运算性质 1.性质：（1）（m，n是整数）； （2） （m，n是整数）； （3） （n是整数）； （4） （，m，n是整数）； （5） （，n是整数）； （6）（）； （7） （，，n是整数） . 知识点3 科学记数法 1.绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中的范围是，n是正整数. 2.确定n的方法：n的值是这个数从左边第一个不为0的数字前面0的个数（包括小数点前的那个0）.从左边起第一个不为0的数是1，1前面有5个0（包括小数点前的那个0），故n=5. 如： 题型专练 题型1. 负整数指数幂 【例1】（2025·广东潮州·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽安庆·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广西梧州·期中）若式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型2. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例1】（24-25七年级下·山东济南·期中）北宋词人晏殊笔下《破阵子・春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据0.0000084用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．4 B． C．4 D．5 【例3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为 ． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 该微生物的直径为米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期末）2025年6月，《Nature》报道中国科学家研究成果：通过亚晶格重构提升光子雪崩非线性，成功使得直径27nm（相当于0.000000027m）的纳米颗粒的光学非线性阶数从40跃升至156，为低成本超分辨成像奠定关键技术基础．将数据0.000000027用科学记数法可表示为 【变式4】（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有，用科学记数法表示是 ． 题型3. 整数指数幂的运算 计算： 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）某种感冒病毒的直径是米，用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体，石墨烯（）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使米长的石墨烯断裂．将用科学记数法表示为的形式，则（    ） A．，都是负整数 B．，都是正整数 C．是负整数，是正整数 D．是正整数，是负整数 3．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图是植物细胞的结构图，其中细胞核是细胞的控制中心．若某植物细胞中细胞核的直径约为，将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·北京·模拟预测）一根普通的头发丝的直径约为，而光刻机的精度可以达到级别，相当于一根头发丝直径的h分之一，已知，则h约为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如果，，，那么、、三数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·重庆·期末）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当时，，例如：．则下列说法正确的有（    ）个 ①． ②． ③若是关于的函数，则当时，有最小值为． A．0 B．1 C．2 D．3 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 10．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列计算正确的有 （   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）若，则 ． 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，，，则、、的大小关系是 (用“”连接) 13．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）计算： ． 14．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若与的和是单项式，则 ． 15．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，这是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，数据米用科学记数法表示为 米． 16．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则 ． 17．（24-25九年级上·福建福州·期中）点与点关于原点对称，则的值为 ． 18．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知 ，则 ． 19．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若，，，，则a，b，c，d的关系是 ．（用“＜”连接） 20．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为 ． 三、解答题 21.计算 22．（24-25八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值：，其中． 23．（24-25八年级下·重庆黔江·期末）先化简，再求值：，其中． 24．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）先化简，再求值，其中． 25．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 26．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 27．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）王老师在黑板上写了一道题目，计算：．丹丹同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查．请你仔细阅读丹丹同学的计算过程，帮助丹丹同学改正错误． 解： ① ② ③ ④ (1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？ ；（用序号表示） (2)从①到②是否正确？ ；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ； (3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当，时的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 分式 04讲 整数指数幂 题型归纳 【题型1. 负整数指数幂】………………………………………………………………… 2 【题型2. 用科学记数法表示绝对值小于1的数】……………………………………… 4 【题型3. 整数指数幂的运算】…………………………………………………………… 7 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 8 知识清单 知识点1 负整数指数幂 1.定义：一般地，当n时正整数时，. 即是的倒数. 知识点2 整数指数幂的运算性质 1.性质：（1）（m，n是整数）； （2） （m，n是整数）； （3） （n是整数）； （4） （，m，n是整数）； （5） （，n是整数）； （6）（）； （7） （，，n是整数） . 知识点3 科学记数法 1.绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中的范围是，n是正整数. 2.确定n的方法：n的值是这个数从左边第一个不为0的数字前面0的个数（包括小数点前的那个0）.从左边起第一个不为0的数是1，1前面有5个0（包括小数点前的那个0），故n=5. 如： 题型专练 题型1. 负整数指数幂 【例1】（2025·广东潮州·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了同底数幂除法，完全平方公式，积的乘方和负整数指数幂，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同底数幂除法，完全平方公式，积的乘方和负整数指数幂，求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂的运算等指数，根据相关运算法则逐一计算，即可获得答案． 【详解】解：A.，本选项运算正确，符合题意； B.，本选项运算不正确，不符合题意； C.，当时，该式无意义，本选项运算不正确，不符合题意； D.，本选项运算不正确，不符合题意． 故选：A． 【变式1】（2025·安徽安庆·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则，，进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·广西梧州·期中）若式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据题意可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查实数比较大小．根据题意将三个数统一为相同指数后比较系数即可． 【详解】解：将均转换为以为指数的形式： ，，， ∵， ∴对应的数的大小关系为， 故选：B． 题型2. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例1】（24-25七年级下·山东济南·期中）北宋词人晏殊笔下《破阵子・春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据0.0000084用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．4 B． C．4 D．5 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为 ． 【分析】本题考查了科学记数法转化为小数，解题的关键在于掌握科学记数法还原规则，即把a的小数点向左移动n位． 将的小数点向左移动5位即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 该微生物的直径为米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，科学记数法转换为小数时，需将的小数点向左移动位，对于，将1.24的小数点左移3位即可作答． 【详解】解：依题意，将科学记数法转换为小数形式，需将1.24的小数点向左移动3位， ∴用小数表示为， 故选A． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期末）2025年6月，《Nature》报道中国科学家研究成果：通过亚晶格重构提升光子雪崩非线性，成功使得直径27nm（相当于0.000000027m）的纳米颗粒的光学非线性阶数从40跃升至156，为低成本超分辨成像奠定关键技术基础．将数据0.000000027用科学记数法可表示为 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000000027用科学记数法可表示为． 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有，用科学记数法表示是 ． 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】用科学记数法表示是． 故答案为：． 题型3. 整数指数幂的运算 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）某种感冒病毒的直径是米，用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体，石墨烯（）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使米长的石墨烯断裂．将用科学记数法表示为的形式，则（    ） A．，都是负整数 B．，都是正整数 C．是负整数，是正整数 D．是正整数，是负整数 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较小的数，用科学记数法表示一个数就是把一个数写成的形式，其中，用科学记数法表示绝对值小于的数时，小数点向右移动几位，的指数就是负几． 【详解】解：， 则是正整数，是负整数． 故选：D． 3．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图是植物细胞的结构图，其中细胞核是细胞的控制中心．若某植物细胞中细胞核的直径约为，将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10 时，是正数，当原数绝对值小于 1 时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 4．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及负整数指数幂的定义．需逐一验证各选项是否符合运算规则． 【详解】解：A．，即A选项错误， B．，即B选项错误， C．，即C选项错误， D．，即D选项正确， 故选：D． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查整式的运算，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A、，符合题意； B、 与的指数不同，不是同类项，无法合并，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 6．（2025·北京·模拟预测）一根普通的头发丝的直径约为，而光刻机的精度可以达到级别，相当于一根头发丝直径的h分之一，已知，则h约为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，科学记数法，分别用科学记数法表示出头发丝的直径和光刻机的精度，再根据光刻机的精度当于一根头发丝直径的h分之一列式求解即可． 【详解】解：头发丝直径为． 光刻机精度为． ∴． 故选C． 7．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如果，，，那么、、三数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则． 先由零指数幂和负整数指数幂，乘方的运算法则求出，再根据有理数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级下·重庆·期末）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当时，，例如：．则下列说法正确的有（    ）个 ①． ②． ③若是关于的函数，则当时，有最小值为． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查了新定义及运算性质，需逐一验证三个说法的正确性． 【详解】解：①：由定义，，故，正确． ②：展开原式： 由，代入得：，正确． ③：化简，得： 当时，，但题目中称最小值为，错误． 综上，正确的有①和②，共2个， 故选C． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，负整整数指数幂，等根据新定义运算的规则，将根据新定义得出，分步计算各部分的值后求和． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：B 10．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列计算正确的有 （   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，逐一验证各式的正确性，统计正确个数即可． 【详解】解：①：，错误； ②：，正确； ③：，错误； ④：，正确； ⑤：，错误； ⑥：，错误； ⑦：，正确． 综上，②、④、⑦正确，一共3个， 选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）若，则 ． 【分析】本题主要考查了非负性的性质，解二元一次方程组，负整数指数幂，根据非负性的性质可得，则，解方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，，，则、、的大小关系是 (用“”连接) 【分析】本题主要考查负整数指数幂、有理数大小比较、零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据负整数指数幂，零指数幂进行计算，再比较大小． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）计算： ． 【分析】本题主要考查了零次幂、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用零次幂、负整数次幂运算，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：4． 14．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若与的和是单项式，则 ． 【分析】本题考查同类项．（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同．注意只有同类项才能合并使它们的和是单项式．根据同类项的定义列出关于m、n的方程，求出m、n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，这是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，数据米用科学记数法表示为 米． 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则 ． 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂除法逆用，负整数指数幂，解题的关键是灵活运用知识解决问题．由，，得到，，进一步可得，即，所以，由此即可解决问题． 【详解】解：，， ，， ，即， ， ， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·福建福州·期中）点与点关于原点对称，则的值为 ． 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，负整数指数幂，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数求得的值，进而求得的值． 【详解】解：点与点关于原点对称， 故答案为： 18．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知 ，则 ． 【分析】此题考查了多项式乘多项式，负整指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，合并同类项后再利用多项式相等的条件求出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：， ，， 解得：，， 则原式． 故答案为：12． 19．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若，，，，则a，b，c，d的关系是 ．（用“＜”连接） 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂分别计算后再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故答案为：． 20．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为 ． 【分析】此题考查了负整数指数幂和有理数的混合运算．根据负整数指数幂和有理数的混合运算进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 三、解答题 21.计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，化简得，再化简，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 则， 把代入，得． 23．（24-25八年级下·重庆黔江·期末）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题主要考查分式的化简求值以及实数的混合运算，熟练掌握分式的化简方法是解题的关键． 先对括号里的式子进行通分，接着运用公式法对后面式子的分子因式分解，将除号变为乘号，化简，再利用实数的混合运算求出x的值，代入前式即可． 【详解】解：原式 原式 24．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）先化简，再求值，其中． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，先把第一个分式的分子与分母分解因式并约分，再把小括号内的式子通分化简，接着把除法变成乘法后约分化简，并计算分式加减法化简，最后求出a的值并代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 25．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 【分析】本题主要考查了定义幂的新运算．熟练掌握新运算规则，同底数幂的除法法则，是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出，可得，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 26．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得：， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 27．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）王老师在黑板上写了一道题目，计算：．丹丹同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查．请你仔细阅读丹丹同学的计算过程，帮助丹丹同学改正错误． 解： ① ② ③ ④ (1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？ ；（用序号表示） (2)从①到②是否正确？ ；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ； (3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当，时的值． 【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键． （1）根据运算顺序，先算除法可知，第①步开始出现错误； （2）去括号时，出现错误； （3）按照分式的运算法则和运算顺序，进行计算，根据负整数指数幂和零指数幂的法则，求出x的值，将x，y的值代入化简后的式子中，进行计算求值即可． 【详解】（1）解：根据分式的运算顺序，应该先算除法，丹丹同学第①步先算的减法， ∴从第①步开始出现错误； 故答案为：①； （2）解：在去括号时，括号前面是“”号，括号里面的每一项都要变号，丹丹同学括号里的第二项没有变号，出现错误， ∴从①到②不正确，错用去括号法则； 故答案为：否，错用去括号法则； （3）解：原式 ； ， 原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$