【第十八章 分式 03讲 分式的加法与减法】【两大知识点+五大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十八章 分式 03讲 分式的加法与减法 题型归纳 【题型1. 同分母分式加减】……………………………………………………………… 2 【题型2. 异分母分式加减】……………………………………………………………… 3 【题型3. 分式的混合运算】……………………………………………………………… 4 【题型4. 分式的化简求值】……………………………………………………………… 5 【题型5. 分式加减的应用】……………………………………………………………… 6 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 8 知识清单 知识点1 同分母分式加减 1.运算法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 知识点2 异分母分式的加减 1.运算法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 题型专练 题型1. 同分母分式加减 【例1】（2025·天津·模拟预测）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 【变式1】（2025·贵州铜仁·三模）化简结果正确的是（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被遮盖的是（   ） A． B． C．2 D．1 计算： 题型2. 异分母分式加减 【例1】（2025·河南·中考真题）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 计算： 题型3. 分式的混合运算 【例1】（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）化简 的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·四川乐山·期中）下列分式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 计算： 题型4. 分式的化简求值 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 【例2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）先化简：，再取一个你喜欢的数代入求值． 【例3】（24-25八年级下·四川达州·期末）先化简，再从，1，2，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）先化简，再求值：，请你任选一个你喜欢的m的值代入求解，且是负整数． 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）先化简式子，再从如下三个条件中：①，且；②；③，且；选择一个合适的条件代入求值（三个条件中只能选择一个，若不做选择，则默认为①）． 【变式3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）先化简，再求值：，其中a是一元—次不等式组的整数解． 题型5. 分式加减的应用 【例1】（24-25九年级下·江苏镇江·期中）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 【例2】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若，，为常数，则的值为 ． 【例3】（24-25八年级下·山东·阶段练习）已知，且，求的最小值． 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【变式2】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）临近春节，甲厂联系一辆车送m名员工返乡过年，租金为3000元，临出发时，有3名乙厂员工也随车返乡，如果所有乘车人员平均分摊车费，则甲厂员工最后人均车费比原来少了 元． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）小强的爸爸开汽车到距离外的单位去上班，在正常情况下经过可以到达．但是有一天由于汽车需要维修晚出发，小强的爸爸每小时应该多走多少，才能按时到达单位？ 【变式4】（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）下列代数式变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西·模拟预测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东淄博·二模）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．，的大小关系与的取值有关 6．（2025·河北邯郸·二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏连云港·二模）2025年我国黄海休渔时间表：5月1日中午12点到9月16日中午12点．受休渔影响，“五一”期间皮皮虾的价格波动较大．小明家“五一”期间购买了两次皮皮虾，两次价格不同．现有两种购买方案，小明的购买方案：每次购买的总金额固定；小明妈妈购买方案：每次所购买的数量固定．若规定平均单价越低，则该购买方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　） A．小明妈妈方案实惠 B．小明方案实惠 C．两种方案一样实惠 D．哪种方案实惠需由两次单价决定 8．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 9．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）对于任何实数，都有恒成立．下列说法： ①，； ②若，则； ③若，则（为正整数）．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 10．（24-25八年级下·重庆荣昌·期末）已知实数，有，，，对于，有以下结论： ①对任意实数，若成立，则； ②当时，的值一定是； ③当时，若为负整数，则整数的值有2个． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 12．（2025·江苏扬州·中考真题）计算： ． 13．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 14．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要 天完成． 15．（2025八年级下·河南郑州·专题练习）已知，则的值为 ． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）若的值为负数，则的取值范围是 ． 17．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 18．（2025·河北石家庄·模拟预测）计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 19．（24-25八年级下·山西晋城·期中）王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 20．（24-25八年级下·福建泉州·期中）若分式，分式（，为整数且），且分式与分式的和等于，则的值为 ． 三、解答题 21.计算 22．（24-25八年级下·重庆·期末）化简，再求值：，其中 23．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）先化简 ，然后在中选择一个你喜欢的整数代入求值． 24．（24-25九年级下·吉林松原·期中）先化简，再求值：，其中． 25．（24-25八年级下·河南郑州·期末）定义新运算：对于两个代数式，，规定，例如． (1)化简：． (2)的结果能否为零？若能，请计算此时的值；若不能：请写出理由． 26．（2025·广东茂名·模拟预测）下面是小莹同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)小莹同学的化简过程从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 27．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）阅读与思考：观察下列式子：，，，， (1)（探索规律）用正整数表示上述式子的规律是______； (2)（问题解决）容器里有升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，，第次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这升水能否倒完？说明理由； (3)（拓展探究）化简：． 28．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式，当其分子次数高于或等于分母次数时，我们称之为“假分式”；当其分子次数低于分母次数时，我们称之为“真分式”．如为假分式，，为真分式．假分式可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）或整式，如． 解决下列问题： (1)下列分式中属于“假分式”的是 ．（填序号） ；；；． (2)将假分式化为带分式的形式． 29．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 30．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 老师：比较与的大小． 小明：本题的两个整式比较大小可采用“作差法”．解答如下 ∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？如： 若，，，，试比较与的大小． 素材2 甲、乙两人买大米，甲习惯买一定质量的大米，乙习惯买一定金额的大米，两人每次买大米的品种、单价均相同，例如： 第一次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 元 乙 千克 元 第二次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 ▲元 乙 ▲千克 元 素材3 设甲每次买质量为千克的大米，乙每次买金额为元的大米，两人每次买大米  的单价相同，两次的单价分别是元千克、元千克． 素材4 生活中，无论油价如何变化，有人习惯按相同金额给汽车加油，有人习惯按相同 油量给汽车加油． 任务1 解答素材1中老师提出的第二个问题； 任务2 求出素材2中甲、乙两人两次买大米的均价分别为____元/千克、______元/千克； 任务3 确定方案 根据素材3，若你平时也有甲、乙两人买大米的习惯，你准备选择甲、    乙两人中哪一种购买方案，并说明理由； 任务4 问题解决 结合任务3的计算结果，建议有素材4中习惯的人按相同_____加 油更合算(填“金额”或“油量”)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 分式 03讲 分式的加法与减法 题型归纳 【题型1. 同分母分式加减】……………………………………………………………… 2 【题型2. 异分母分式加减】……………………………………………………………… 4 【题型3. 分式的混合运算】……………………………………………………………… 7 【题型4. 分式的化简求值】……………………………………………………………… 10 【题型5. 分式加减的应用】……………………………………………………………… 14 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 19 知识清单 知识点1 同分母分式加减 1.运算法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 知识点2 异分母分式的加减 1.运算法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 题型专练 题型1. 同分母分式加减 【例1】（2025·天津·模拟预测）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，同分母分式相减，分母不变，分子相减，然后对分子进行化简并约分即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 【变式1】（2025·贵州铜仁·三模）化简结果正确的是（   ） A．1 B． C． D． 【分析】本题考查了同分母分式的加减，掌握加减运算法则是解题的关键；根据同分母分式减法法则，分母不变，把分子相减即可． 【详解】解：； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被遮盖的是（   ） A． B． C．2 D．1 【分析】本题考查分式的加减运算，用根据分式加减法的运算法则，将等式两边变形，求出被遮盖的部分即可． 【详解】解：∵， ∴； 因此，被遮盖的部分是1， 故选D． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式       解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2. 异分母分式加减 【例1】（2025·河南·中考真题）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查异分母的分式的加减运算．利用，求出，再求出倒数即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：D． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型3. 分式的混合运算 【例1】（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）化简 的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【分析】此题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合法则是解决此题的关键． 先根据乘法分配律去括号，再根据分式的减法法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·四川乐山·期中）下列分式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据分式的运算性质，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A、，不符合题意，选项错误； B、，不符合题意，选项错误； C、，不符合题意，选项错误； D、，符合题意，选项正确； 故选：D． 【变式2】（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．运用分式的乘除法法则、分式的加减法法则逐个运算，得出正确结论，即可判断． 【详解】解：解：①，嘉淇同学解法错误； ②，嘉淇同学解法错误； ③ ，嘉淇同学解法正确； 则嘉淇同学做对的有1个， 故选：B． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式= = = 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型4. 分式的化简求值 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查了分式的化简求值．先化简分式，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【例2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）先化简：，再取一个你喜欢的数代入求值． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，并把除法转化为乘法，约分化简，再取一个使原始分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式． 【例3】（24-25八年级下·四川达州·期末）先化简，再从，1，2，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，先根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分析有意义的条件，选择合数的数，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 当时，原式； 当时，原式． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）先化简，再求值：，请你任选一个你喜欢的m的值代入求解，且是负整数． 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 是负整数，且 ， 当时，原式． 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）先化简式子，再从如下三个条件中：①，且；②；③，且；选择一个合适的条件代入求值（三个条件中只能选择一个，若不做选择，则默认为①）． 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后分别选择三个条件中的一个条件进行求值即可． 【详解】解： ， ①，时，原式； ②当时，原式； ③当，时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴原式． 【变式3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）先化简，再求值：，其中a是一元—次不等式组的整数解． 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解以及分式的化简求值．根据题意先化简分式，然后解出不等式组，求出a的值，进行代入计算即可，注意分式有意义的条件． 【详解】解： ， 对于， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集是：， ∴整数为1，2，3， 且， ∴， 原式． 题型5. 分式加减的应用 【例1】（24-25九年级下·江苏镇江·期中）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 【分析】本题考查了新定义的运算． 根据“互助数”的定义，结合已知条件建立方程，通过代数变形和不等式求解确定p的取值范围，并验证选项中的可能值． 【详解】解：∵和为“互助数”， ∴， 整理得 ∵ ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ 解得或， ∴或 四个选项中只有3和26符合题意， 当时，，此时，，分母无意义，舍去． 当时，，满足，且， 故选：B． 【例2】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若，，为常数，则的值为 ． 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 【例3】（24-25八年级下·山东·阶段练习）已知，且，求的最小值． 【分析】本题主要考查了不等式，分式，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，当，时，由得：，计算，利用上述不等式即可得出，即可求解． 【详解】解：首先证明：当，时，； ∵, ∴， 即； ∵，，， ∴； ∵， 而， ∴， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，根据题意表示出，，，，即可求得每个数为一个循环，进而根据分式有意义的条件得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴且，，即且 故选：D 【变式2】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）临近春节，甲厂联系一辆车送m名员工返乡过年，租金为3000元，临出发时，有3名乙厂员工也随车返乡，如果所有乘车人员平均分摊车费，则甲厂员工最后人均车费比原来少了 元． 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先根据题意列代数式，再进行分式的减法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）小强的爸爸开汽车到距离外的单位去上班，在正常情况下经过可以到达．但是有一天由于汽车需要维修晚出发，小强的爸爸每小时应该多走多少，才能按时到达单位？ 【分析】本题考查的是列代数式及分式的减法运算，解题关键在非正常情况下与正常情况的联系解答． 【详解】解：由题意可知，正常情况下汽车的速度为，如果晚出发并且按时到达单位的速度为， 根据题意，得． 答：小强的爸爸每小时应该多走，才能按时到达单位． 【变式4】（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【分析】本题考查分式运算的实际应用；作差法比较两个实数的大小． （1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； （2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； （2）解：， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故选：B． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）下列代数式变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】该题考查了分式的基本性质和因式分解，根据分式的基本性质和因式分解的方法，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：，分子分母同乘，但若，变形后的分式无意义，而原分式在时仍有意义（仅需），此变形改变了分式的定义域，故错误． 选项B：，左边为，应分解为，右边展开为，结果为，与左边符号相反，故错误． 选项C：，左边为，需通分得，显然不等于（除非），故错误． 选项D：，左边整理为，提取负号得，因，故左边等于，与右边一致，正确． 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了解分式化简求值，解决本题的关键是根据等式的性质把进行变形，得到：，再把等式的两边同时除以即可得到结果． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 等式两边同时除以可得：． 4．（2025·山西·模拟预测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是异分母分式相加减时必须先通分，把异分母化为同分母分式然后再相加减．还要注意去括号法则，括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里面各项都变号． 将两个分式通分后合并，利用平方差公式分解分子并化简． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 5．（2025·山东淄博·二模）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．，的大小关系与的取值有关 【分析】根据，，结合为任意正整数，解答即可． 本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 由为任意正整数， 故． 故， 故选：C． 6．（2025·河北邯郸·二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解决本题的关键． 由题意列出盖住部分的代数式，然后进行计算即可． 【详解】解：， 故选C． 7．（2025·江苏连云港·二模）2025年我国黄海休渔时间表：5月1日中午12点到9月16日中午12点．受休渔影响，“五一”期间皮皮虾的价格波动较大．小明家“五一”期间购买了两次皮皮虾，两次价格不同．现有两种购买方案，小明的购买方案：每次购买的总金额固定；小明妈妈购买方案：每次所购买的数量固定．若规定平均单价越低，则该购买方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　） A．小明妈妈方案实惠 B．小明方案实惠 C．两种方案一样实惠 D．哪种方案实惠需由两次单价决定 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，比较法在不等式大小比较中的应用，设两次购买的皮皮虾单价分别为a，，且，将购买的皮皮虾的平均单价分别用a，b表示出来，作差即可比较大小． 【详解】解：设两次购买的皮皮虾单价分别为a，，且， 小明方案：设购买的皮皮虾的总金额为W，则平均价格； 小明妈妈方案：设每次购买的数量为N，则平均价格， 则， ∵ ∴，， ∴， ∴，小明方案实惠． 故选：B． 8．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 【分析】本题考查了新定义运算，正确运用新定义的运算法则是解题的关键．根据新定义运算法则，逐个选项分析判断． 【详解】 解：A. ，根据题意，称是的“3分式”，故本选项说法正确，不符合题意； B.当的值为时，，根据题意，称是的“2分式”，故本选项说法正确，不符合题意； C. 若是的“1分式”，则，，，故本选项说法错误，符合题意； D.若与互为倒数，则，根据题意，称是的“5分式”，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 9．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）对于任何实数，都有恒成立．下列说法： ①，； ②若，则； ③若，则（为正整数）．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，分式的混合运算，因式分解的应用，新定义运算等知识，通过恒等式确定p和q的值，验证各说法的正确性． 【详解】解：①：将左边分子展开为，右边合并为， 比较分子系数得：可得出，，可得出，故①正确． ②：当时，由①知可知， ， ∴， 故②正确． ③：当时，， 总和为个1相加，结果为，故③正确． 综上，三个说法均正确， 故选：A． 10．（24-25八年级下·重庆荣昌·期末）已知实数，有，，，对于，有以下结论： ①对任意实数，若成立，则； ②当时，的值一定是； ③当时，若为负整数，则整数的值有2个． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】本题主要考查了整式运算、分式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． ①将转化为关于的不等式，判断其恒成立的条件； ②代入计算的值； ③当时，将分式化简并分析可能的整数解． 【详解】由得，化简得，即．因此，若对任意成立，则必须满足，结论①正确； 当时，，，，与无关，结论②正确； 当时，分式需为负整数， 由分式值为整数得分母为6的因数，可取，可取， 又分式值为负数，对的值逐个检验，只有，，符合题意，故共2个整数解，结论③正确； 综上，①②③均正确，正确个数为3个． 故选：D． 二、填空题 11．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 12．（2025·江苏扬州·中考真题）计算： ． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 【分析】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是掌握分式加减法的运算法则． 根据等式的性质，通过移项求出被盖住部分的值． 【详解】由题意得，被盖住的部分为： ， 故答案为：1． 14．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要 天完成． 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意得出甲每天完成，乙每天完成，设工作总量为，进而根据工作总量除以工作效率，即可求解． 【详解】解：甲单独做天完成，乙单独做天完成，设工作总量为， ∴甲每天完成，乙每天完成 ∴两人合作一共需要天 故答案为：． 15．（2025八年级下·河南郑州·专题练习）已知，则的值为 ． 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先通分化简原式，再把用表示，代入式子求解即可． 【详解】解：原式， ， ， ∴原式， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）若的值为负数，则的取值范围是 ． 【分析】本题考查分式的加法运算，求不等式的解集，先进行异分母分式的加法运算，再根据分式的值为负数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得： 是负数， ∴，即：； 故答案为：． 17．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 【分析】本题主要考查数字的变化规律，整式混合运算，解答的关键是由所给的等式分析归纳出存在的规律． 根据所给的等式的形式进行分析归纳第n个等式为：，然后将代入即得． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等2式； 第3个等式； 第4个等式； ……， 第n个等式， 当时，． ． 18．（2025·河北石家庄·模拟预测）计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 【分析】本题考查了分式的化简与整数条件的应用，将分式化简后，分析分式结果为整数的条件是解题的关键．先将原式进行化简，结果为，要是其为整数，需满足为或分数形式（为非零整数）． 【详解】解：由， 要是其为整数，需满足为或分数形式（为非零整数）， a可以为3或1或分数形式（为非零整数），答案不唯一， 故答案为：1（答案不唯一）． 19．（24-25八年级下·山西晋城·期中）王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 20．（24-25八年级下·福建泉州·期中）若分式，分式（，为整数且），且分式与分式的和等于，则的值为 ． 【分析】本题考查了分式的运算法则，二元一次方程的特殊解法． 先计算分式与分式的和，再根据得到，根据，为整数分情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵分式与分式的和等于， ∴ 整理得 方程两边同时加上49得 ∴， ∵，为整数， ∴，或，或，或， 当，时，， 此时； 当，时，， 此时； 当，时，， 此时； 当，时，， 此时； 故答案为：或． 三、解答题 21.计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 = 22．（24-25八年级下·重庆·期末）化简，再求值：，其中 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先进行分式混合运算的法则把原式进行化简，再进行代值运算． 【详解】解： 当 则原式 23．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）先化简 ，然后在中选择一个你喜欢的整数代入求值． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先把括号内通分，把除法转化为乘法，然后约分化简，再从中选择一个使原分式有意义的数代入计算． 【详解】原式 ， ∵，， ∴， ∴当时，原式，当时，原式，当时，原式． 24．（24-25九年级下·吉林松原·期中）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题关键是准确化简分式．先将小括号内通分，再将后的分式分子、分母分解因式，再将分式化简，再代入求值． 【详解】解：原式 ， 将代入，原式． 25．（24-25八年级下·河南郑州·期末）定义新运算：对于两个代数式，，规定，例如． (1)化简：． (2)的结果能否为零？若能，请计算此时的值；若不能：请写出理由． 【分析】本题侧重考查了分式的混合运算，掌握定义的新运算的意义是解题的关键． （1）根据已知新定义进行转化，然后结合分式的混合运算法则求解即可； （2）根据已知新定义进行转化，然后结合分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式． ； （2）解：不能为0，理由如下： 原式． 结果不会等于0． 26．（2025·广东茂名·模拟预测）下面是小莹同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)小莹同学的化简过程从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小莹同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： ； ∵， ∴， 当时，原式． 27．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）阅读与思考：观察下列式子：，，，， (1)（探索规律）用正整数表示上述式子的规律是______； (2)（问题解决）容器里有升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，，第次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这升水能否倒完？说明理由； (3)（拓展探究）化简：． 【分析】本题考查了数字类规律探索，分式的化简，根据题意找出规律是解题关键． （1）观察所给式子，即可得到规律； （2）根据（1）所得规律，计算第次倒出后剩余的水量，即可得到答案； （3）根据将式子分解，再计算即可． 【详解】（1）解：观察所给式子可知，等号左边为分数，分子是1，分母为相邻两个整相邻数的积，等号右边为相同的相邻整式的倒数的差， 则用正整数表示上述式子的规律是， 故答案为：； （2）解：不能倒完，理由如下： 第次倒出后剩余的水量为 ， 即这升水不能倒完； （3）解： 28．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式，当其分子次数高于或等于分母次数时，我们称之为“假分式”；当其分子次数低于分母次数时，我们称之为“真分式”．如为假分式，，为真分式．假分式可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）或整式，如． 解决下列问题： (1)下列分式中属于“假分式”的是 ．（填序号） ；；；． (2)将假分式化为带分式的形式． 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据“假分式”定义即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解：由“假分式”定义可知：属于“假分式”， 故选：； （2）解： ． 29．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 30．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 老师：比较与的大小． 小明：本题的两个整式比较大小可采用“作差法”．解答如下 ∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？如： 若，，，，试比较与的大小． 素材2 甲、乙两人买大米，甲习惯买一定质量的大米，乙习惯买一定金额的大米，两人每次买大米的品种、单价均相同，例如： 第一次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 元 乙 千克 元 第二次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 ▲元 乙 ▲千克 元 素材3 设甲每次买质量为千克的大米，乙每次买金额为元的大米，两人每次买大米  的单价相同，两次的单价分别是元千克、元千克． 素材4 生活中，无论油价如何变化，有人习惯按相同金额给汽车加油，有人习惯按相同 油量给汽车加油． 任务1 解答素材1中老师提出的第二个问题； 任务2 求出素材2中甲、乙两人两次买大米的均价分别为____元/千克、______元/千克； 任务3 确定方案 根据素材3，若你平时也有甲、乙两人买大米的习惯，你准备选择甲、    乙两人中哪一种购买方案，并说明理由； 任务4 问题解决 结合任务3的计算结果，建议有素材4中习惯的人按相同_____加 油更合算(填“金额”或“油量”)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，利用作差法，找出两分式的大小是解题的关键． 任务1：二者作差后，可得出，根据得出； 任务2：利用两次买大米的均价=两次买大米的金额之和÷两次买大米的质量之和，即可求出结论； 任务3：利用两次买大米的均价=两次买大米的金额之和÷两次买大米的质量之和，用含a,b的代数式表示出甲、乙两人两次买大米的均价，作差后，即可求解； 任务4：由任务3的结论，即可得出结论． 【详解】解：任务1： ∵， ∴ ∴ ∴ 任务2：∵第二次甲购买大米的金额为（元），乙购买大米的质量为（千克）， ∴甲两次买大米的均价为（元/千克），乙两次买大米的均价为（元/千克） 故答案为：、． 任务3：选择乙购买方案 理由如下：∵甲均价元 乙均价元 ∴ ∴选择乙购买方案 任务4：根据任务3的结论，得：任务3的素材4中习惯的人按相同金额加油更合算． 故答案为：金额． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$