精品解析：广东省汕头市潮南区司马浦公校2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试题

2024～2025学年度第二学期 八年级数学科期末测试卷 内容包括：第十六章—第二十章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列几组数中，是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 8，12，15 C. 9，15，17 D. 10，24，26 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，需满足两个条件：①三个正整数；②满足．逐一验证各选项即可． 【详解】选项A： ，不满足勾股定理，故A错误． 选项B：，不满足勾股定理，故B错误． 选项C：，不满足勾股定理，故C错误． 选项D：，满足勾股定理，且均为正整数，故D正确． 故选：D． 3. 已知一次函数的图像经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断一次函数的图像经过的象限，根据的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图像经过第一、二、三象限； 故选A． 4. 如图，A，B两点被一座小山隔开，在外平地选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E， 现测得，则长为（ ）m A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．根据中位线定理可得：米． 【详解】解：∵D是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， 故选：D． 5. 若点在一次函数的图象上，且，则下列的值可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】根据题意得， ， 在中只有， 故选：A． 6. 某校男子足球队队员的年龄分布如下表，则该校男子足球队队员的平均年龄是（　　） 年龄/岁 12 13 14 15 人数 2 3 10 7 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求12，13，14，15这四个数的平均数，对平均数的理解不正确． 根据加权平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： （岁）． 则该校男子足球队队员的平均年龄是14岁． 故选：C． 7. 下列关于二次根式的说法不正确的是（ ） A. 是2的算术平方根 B. C. 与是同类二次根式 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质、运算及同类二次根式的判断．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．根据算术平方根的定义，非负数平方根中非负的根即为算术平方根．满足且，故A正确． B．根据二次根式乘法法则（），，故B正确． C．化简，，两者均含，是同类二次根式，故C正确． D．展开：，故D错误． 故选：D． 8. 关于正比例函数的描述，错误的是（ ） A. 图象是一条过原点的直线 B. 随的增大而增大 C. 图象过 D. 图象过一、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，， ∴点在图象上， ∴函数图象不经过．选项C说法错误，其他选项说法正确． 故选：C． 9. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半．根据菱形的性质得出，，，求出，根据求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题） 11. 化简：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简即可. 【详解】= 12. 若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，本题直接利用勾股定理即可解出斜边的长． 【详解】解：由题意得：斜边长， 故答案为：13． 13. 如图，在中，，是边上一点，，连接，则的度数为______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，先由得到，，则，再由求出即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的方差为_____ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数的定义和方差的计算方法． 根据众数的概念，确定x的值，再求该组数据的方差． 【详解】解：因为一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4， 所以． 于是这组数据为2，3，4，4，1，4，3． 该组数据的平均数为：． ． 故答案为：． 15. 如图①，在中，，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，设点到的距离为，运动的时间为，与的函数图象如图②所示，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理、等腰三角形的性质，由题意可得是等腰直角三角形，从而可得当点在线段上运动时，，随着的增大而增大，当点与点重合时，最大，结合图②得出，最后由勾股定理计算即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得是等腰直角三角形， ∴当点在线段上运动时，， ∴当点在线段上运动时，随着的增大而增大，当点与点重合时，最大， 由图②可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）___________； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理的两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间距离公式进行计算即可； （2）先利用勾股定理求出，进而得到，然后根据勾股定理逆定理证明为直角三角形即可． 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴； 小问2详解】 解：， 由勾股定理同理可得， ， ， ， ． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，先化简各项，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长和的长． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 四边形是平形四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平形四边形， ∴，， ， ， ， ， ， ， ． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 目前，新能源汽车发展迅速，在新能源汽车渗透率持续上升的趋势下，智能驾驶辅助系统（以下简称智驾系统）越发受到大家关注．有关人员开展了对“”、“”两款智驾系统的使用满意度评分（百分制）调查，从中各随机抽取了20个评分分数，并对数据进行了整理和分析，得到下列信息：（评分分数用x表示，共分为五个等级：，，，，），下面给出了部分信息： 抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据： 57，69，70，78，79，80，88，89，90，91，93，93，93，93，93，94，94，97，99，100，抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85，87，88，89，89，89，90，抽取的“”、“”两款智驾系统的使用满意度评分统计表 智驾系统 平均数 中位数 众数 “”款 87 92 a “”款 87 b 89 抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分扇形统计图 （1）填空： ； ； （2）根据以上数据，你认为哪款智驾系统更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次调查中，有840人对“”智驾系统进行评分，有1100人对“”智驾系统进行评分，请通过计算，估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有多少人？ 【答案】（1） （2）“”款智驾系统，理由见详解 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，运用中位数，众数做决策，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）出现次数最多的数为众数，先把数据排序，位于中间位置的数（如果中间位置有两个数，那么求出它们的平均数）作为中位数，据此进行分析，即可作答． （2）再结合平均数相等的情况下，运用中位数，众数做决策，即可作答． （3）先分别求出对“”款和“”款智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的人数，再求出它们的和，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，在抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据中，93分出现次数最多，故， 在个数据中，位于中间位置的数在第10和11位， 观察扇形统计图，得出， ∵抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85，87，88，89，89，89，90， ∴在第10和11位的数都是89， 则， 即； ∵B等级的数据有个，即所在的百分数为， ∴， 即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，“”款智驾系统更受用户喜爱，理由如下： 在平均数都是分的前提下，但“”款的中位数和众数都比“”款的要高， ∴“”款智驾系统更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：∵在此次调查中，有840人对“”智驾系统进行评分，有1100人对“”智驾系统进行评分， ∴（人），（人）， ∴（人）， 即估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有人． 20. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． （1）填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； （2）结合图形直接写出的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①解方程得到，，得，根据勾股定理得，代入数据计算即可； ②根据一次函数与二元一次方程组关系即可得到结论； （2）根据图形可知，两函数图象的交点，再结合图形可得结论； （3）利用三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①在中， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的长度为， 故答案：； ②∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵直线与直线交于点，直线与轴交于点， 当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方， ∴的解集为； 【小问3详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键． 21. 综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为和的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案． 欣欣的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 畅畅的方案：如图2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱． （1）若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． （2）若畅畅的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． （3）若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，则___________的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大．（填“欣欣”或“畅畅”） 【答案】（1） （2） （3）欣欣 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，几何体的展开图，数形结合是解题的关键； （1）根据图1，根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据图2，得出盖长方体铁箱的宽为，长为，进而求得体积； （3）分别求得两个方案中长方体铁箱的体积，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意， 裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为 【小问2详解】 解：四个直角处的小正方形边长为 无盖长方体铁箱的宽为，长为 裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积为 【小问3详解】 这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 欣欣方案中制作的无盖长方体铁箱的高为，则底面正方形①的边长是， 底面积是： 体积为： 畅畅的方案中正方形②的边长为，则制作的无盖长方体铁箱的宽为： 底面积为， 体积为 ∵ ∴欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 故答案为：欣欣． 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 已知点E，F，M，N分别在矩形ABCD的边DA，AB，BC，CD上. （1）如图1，若EM垂直平分BD，求证：四边形BMDE是菱形； （2）如图2，若∠MAN=∠NMC=45°，求证：MC2=ND2+BM2； （3）如图3，若四边形EFMN是平行四边形，AB=4，BC=8，求四边形EFMN周长的最小值. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）四边形EFMN周长的最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线的性质，判定△DOE≌△BOM，得出DE=BM，进而得到四边形BMDE是平行四边形，依据BD⊥EM，可得四边形BMDE是菱形； （2）延长MN交AB，AD的延长线于P，G，过A作AQ⊥AN，使得AQ=AN，连接PQ，MQ，判定△AQP≌△ANG，即可得到NG=PQ，∠QPN=∠G=45°，判定△QAM≌△NAM，即可得到MN=QM，由勾股定理可得QP2+MP2=QM2，即NG2+MP2=NM2，再根据NG= ND，MN=CM，PM=BM，即可得出MC2=ND2+BM2； （3）延长EN交BC的延长线于H，则∠H=∠FMB=∠NED，判定△BFM≌△DNE，可得BF=DN，作点F关于BC的对称点F'，连接F'M，F'N，则FM=F'M，依据FM+MN=F'M+MN≥F'N，可得FM+MN的最小值为F'N的长，求得FM+MN的最小值为 ，即可得出平行四边形EFMN周长的最小值为8. 【详解】解：（1）∵EM垂直平分BD， ∴BO=DO，∠DOE=∠BOM=90°， 又∵矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠EDO=∠MBO， ∴△DOE≌△BOM， ∴DE=BM， 又∵DE∥BM， ∴四边形BMDE是平行四边形， 又∵BD⊥EM， ∴四边形BMDE是菱形； （2）如图，延长MN交AB，AD的延长线于P，G，过A作AQ⊥AN，使得AQ=AN，连接PQ，MQ， ∵矩形ABCD，∠NMC=45°， ∴∠APG=∠G=45°， ∴AG=AP， ∵∠PAD=∠QAN=90°， ∴∠QAP=∠NAG， ∴△AQP≌△ANG， ∴NG=PQ，∠QPN=∠G=45°， ∴∠QPM=90°， ∵∠NAM=45°， ∴QAM=45°， ∴∠NAM=∠QAM， ∴△QAM≌△NAM， ∴MN=QM， ∵Rt△QPM中，QP2+MP2=QM2， ∴NG2+MP2=NM2， NG=ND，MN=CM，PM=BM， ∴（ND）2+（BM）2=（CM）2 ∴MC2=ND2+BM2； （3）如图，延长EN交BC的延长线于H， 则∠H=∠FMB=∠NED， 又∵平行四边形MNEF中，EN=FM，而∠D=∠FBM=90°， ∴△BFM≌△DNE， ∴BF=DN， ∴BF+CN=DN+CN=DC=4， 如图，作点F关于BC对称点F'，连接F'M，F'N，则FM=F'M， ∴FM+MN=F'M+MN≥F'N， 即FM+MN的最小值为F'N的长， 由勾股定理可得，F'N=， ∴FM+MN的最小值为 ∴平行四边形EFMN周长的最小值为. 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及最短距离问题的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得出结论．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 23. 在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，直线，分别交坐标轴于点、、、． （1）求直线的函数表达式，并求出点、、、的坐标； （2）如图2，点为线段上的一个动点，将绕点逆时针旋转得到．点随着点的运动而运动，请求出点运动所形成的线段所在直线的解析式； （3）直线上有任意一点，平面直角坐标系内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；，，， （2） （3）存在；或或或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）把点代入，求出，得，把代入，求出，再求出直线与坐标轴的交点坐标即可； （2）证明，求出点，则可得结论； （3）分为边、为对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可． 【小问1详解】 解：已知点在直线的图象上， ， ∴， 把点代入直线，得， 解得：， 直线的函数表达式为：； 在直线中，令，则， ， 令，则， 解得， ， 直线中，令，则， ， 令，则， 解得， ． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 旋转， ，， ，且， ， ，， 点在直线的图象上， 设，则， ，，， ， 令，， ，， ， ∴整理得，， 点运动所形成的线段所在直线的解析式为：； 【小问3详解】 解：存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 理由如下：在直线中，令，则， ，则， 点是直线上有任意一点， 设， 第一种情况，如图所示，以，为边，四边形是菱形，过点作轴于点， 则，， ，， ，即，解得，， 或， 或． 第二种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形， ，， ，， ， 点于点重合， ， ； 第三种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形，连接交以点， ， ， 四边形是菱形， ，， 点的纵坐标为，即，解得，， ， ； 综上所述，存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第二学期 八年级数学科期末测试卷 内容包括：第十六章—第二十章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几组数中，是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 8，12，15 C. 9，15，17 D. 10，24，26 3. 已知一次函数的图像经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 4. 如图，A，B两点被一座小山隔开，在外平地选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E， 现测得，则长为（ ）m A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 5. 若点在一次函数的图象上，且，则下列的值可能为（　　） A. B. C. D. 6. 某校男子足球队队员的年龄分布如下表，则该校男子足球队队员的平均年龄是（　　） 年龄/岁 12 13 14 15 人数 2 3 10 7 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 7. 下列关于二次根式的说法不正确的是（ ） A. 是2的算术平方根 B. C. 与是同类二次根式 D. 8. 关于正比例函数的描述，错误的是（ ） A. 图象是一条过原点的直线 B. 随的增大而增大 C. 图象过 D. 图象过一、三象限 9. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 二、填空题（本大题共5小题） 11. 化简：=_____． 12. 若一个直角三角形两直角边长分别是5和12，则斜边长为__________． 13. 如图，在中，，是边上一点，，连接，则度数为______． 14. 已知一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的方差为_____ ． 15. 如图①，在中，，，动点由点出发，沿路径匀速运动，设点到的距离为，运动的时间为，与的函数图象如图②所示，则的长为_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）___________； （2）求证：． 17. 计算：． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长和的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 目前，新能源汽车发展迅速，在新能源汽车渗透率持续上升的趋势下，智能驾驶辅助系统（以下简称智驾系统）越发受到大家关注．有关人员开展了对“”、“”两款智驾系统的使用满意度评分（百分制）调查，从中各随机抽取了20个评分分数，并对数据进行了整理和分析，得到下列信息：（评分分数用x表示，共分为五个等级：，，，，），下面给出了部分信息： 抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据： 57，69，70，78，79，80，88，89，90，91，93，93，93，93，93，94，94，97，99，100，抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85，87，88，89，89，89，90，抽取的“”、“”两款智驾系统的使用满意度评分统计表 智驾系统 平均数 中位数 众数 “”款 87 92 a “”款 87 b 89 抽取“”款智驾系统的使用满意度评分扇形统计图 （1）填空： ； ； （2）根据以上数据，你认为哪款智驾系统更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次调查中，有840人对“”智驾系统进行评分，有1100人对“”智驾系统进行评分，请通过计算，估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有多少人？ 20. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． （1）填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； （2）结合图形直接写出的解集； （3）求的面积． 21. 综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为和的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案． 欣欣的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 畅畅的方案：如图2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱． （1）若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． （2）若畅畅的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． （3）若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，则___________的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大．（填“欣欣”或“畅畅”） 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 已知点E，F，M，N分别在矩形ABCD的边DA，AB，BC，CD上. （1）如图1，若EM垂直平分BD，求证：四边形BMDE是菱形； （2）如图2，若∠MAN=∠NMC=45°，求证：MC2=ND2+BM2； （3）如图3，若四边形EFMN是平行四边形，AB=4，BC=8，求四边形EFMN周长的最小值. 23. 在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，直线，分别交坐标轴于点、、、． （1）求直线的函数表达式，并求出点、、、的坐标； （2）如图2，点为线段上的一个动点，将绕点逆时针旋转得到．点随着点的运动而运动，请求出点运动所形成的线段所在直线的解析式； （3）直线上有任意一点，平面直角坐标系内是否存在点，使得以点、、、为顶点四边形是菱形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$