第十八章 分式 单元测试卷（培优提升卷） 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第18章 分式 单元测试卷（培优提升卷） （考试时间为100分钟，满分为120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若分式的值为，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.下列分式是最简分式的是(    ) A. B. C. D. 3.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. 且 D. 4.若，则它们的大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.将分式中的、都扩大为原来的倍，则分式的值(    ) A. 不变 B. 扩大倍 C. 扩大倍 D. 扩大倍 6.已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为                                        (    ) A. B. C. 且 D. 且 7.某生态示范园计划种植一批核桃，原计划总产量达万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的倍，总产量比原计划增加了万千克，种植亩数减少了亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少千克设原计划每亩平均产量为千克，则改良后每亩产量为万千克，根据题意列方程为 A. B. C. D. 8.已知，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 9.已知，则的值为   ． A. B. C. D.         10.已知，为实数，，，，则，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 无法确定 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.分式与的最简公分母是_____________． 12.化简：      ． 13.若有理数，满足，则   ． 14.已知，，则 ______． 15.关于的方程无解，则的值为________． 16.甲、乙两工程队分别承接了米、米的道路铺设任务，已知乙比甲每天多铺设米，甲完成铺设任务的时间是乙的倍．设甲每天铺设米，则根据题意可列出方程：______． 17.若，则_______． 18.定义新运算：，若，则的值是         ． 三、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分计算： ； ． 20.本小题分 （1）先化简，再求值：，然后在，，，，中选一个你认为合适的值，代入求值． （2）已知：，求代数的值． 21.本小题分解下列方程： ；                  ． 22.本小题分 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．   第一步   第二步   第三步   第四步   第五步 ．  第六步 任务一：填空：以上化简步骤中，第          步是进行分式的通分，通分的依据是                    或填为           第          步开始出现错误，这一步错误的原因是                                   任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 23.本小题分 第届哈尔滨亚冬运会于年月日月日举行．冬运会期间其吉祥物“滨滨和妮妮”系列产品热卖．某商店计划购进，两款型号的吉祥物．已知用元购进型号吉祥物的数量比用元购进型号吉祥物的数量多套，且型号吉祥物每套价格是型号吉祥物每套价格的倍． 分别求，型号吉祥物每套的价格； 经市场调研，型号吉祥物每套零售价为元，型号吉祥物每套零售价为元．该商家决定购进，两种型号吉祥物共套，若要使这批吉祥物按零售价全部售完后的利润不低于元，求型号吉祥物最多购进多少套． 24.本小题分 阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知互不相等，求的值． 解：设，则，，，，． 依照上述方法解答下列问题：已知，其中，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：分式的值为， 且， 解得，而， ． 故选：． 2.【答案】  解：原式，故A错误； B.，故B错误； C.分式的分子、分母没有公因式，是最简分式，故C正确； D.原式，故D错误． 故选C． 3.【答案】  解：依题意，得 且， 解得且． 故选A． 4.【答案】  解：，，，， ． 故选B． 5.【答案】  解：将分式中的、都扩大为原来的倍可变为． 故选A． 6.【答案】  解：将分式方程转化为整式方程得： 解得：． 方程得解为正数， ， 解得：． 分式的分母不能为， ， ，即． ． 故且． 故选C． 7.【答案】  解：设原计划每亩平均产量万千克， 由题意得： 故选A． 8.【答案】  解：， ， ， 原式 ． 故选A． 9.【答案】  解：， ， ， 解得：， ， 故选C． 10.【答案】  解：由题意可知： ， 故选C． 11.【答案】  解：，， 他们的最简公分母为：． 故答案为． 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  解：由， 得，， 所以． 故答案为． 14.【答案】  解：原式 ， 当，时， 原式 ， 故答案为：． 15.【答案】  解：去分母得：， 整理得：， 当，即时，方程无解； 故答案为： 16.【答案】  【解析】解：设甲工程队每天铺设米，则乙工程队每天铺设米， 由题意得：． 故答案是：． 设甲每天铺设米，则乙每天铺设米，根据铺设时间和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可． 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程． 17.【答案】  解：由，得 ， 将上式两边平方，得 ， ． 故答案为： 18.【答案】  【解：， ， 又， ，即， 即，  ． 故答案为： 19.【答案】解： ； ．  20.（1）解：原式  ， 要使原分式有意义，则，，，， ，，，， 所以只能取， 把代入到上式可得： 原式．  （2）解：原式， ， ， ， ， ， 原式．  21.【答案】解： 整理得 去分母得， 去括号得 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 经检验：是原方程的增根， 原方程无解； ， 原方程变形为： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 经检验：是原方程的解．   22.【答案】任务一：三分式的基本性质分式的分子与分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变五括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号． 任务二：． 任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形．   23.【答案】解：设型号吉祥物每套价格为元，则型号吉祥物每套价格元， 根据题意，得， 解得， 经检验可知，是原方程的根， ， 答：型号吉祥物每套价格为元，型号吉祥物每套价格元； 设型号吉祥物购进套，则型号吉祥物购进套， 根据题意，得， 解得， 的最大值为， 答：型号吉祥物最多购进套．  24.【答案】解：设， 则：， 得：， ， ， ，， ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 4页 第十八章 分式 单元测试卷（培优提升卷） （考试时间为 100 分钟，满分为 120 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.若分式� 2−4 �+2的值为 0，则( ) A. � = 2 B. � =− 2 C. � = 2 或� =− 2 D. � ≠ 2 或� ≠− 2 2.下列分式是最简分式的是( ) A. 2�3�2� B. 2� 4� C. �+� �2+�2 D. �2−�� �2−�2 3.若式子 �−1�−2 在实数范围内有意义，则�的取值范围是( ) A. � ≥ 1 且� ≠ 2 B. � ≤ 1 C. � > 1 且� ≠ 2 D. � < 1 4.若� =− 0. 22, � =− 2−2, � = ( − 12 ) −2, � = ( − 12 ) 0，则它们的大小关系是( ) A. � < � < � < � B. � < � < � < � C. � < � < � < � D. � < � < � < � 5.将分式 2��−�中的�、�都扩大为原来的 3 倍，则分式的值( ) A.不变 B.扩大 3 倍 C.扩大 6 倍 D.扩大 9 倍 6.已知关于�的方程2�+��−2 = 3 的解是正数，则�的取值范围为 ( ) A. � > —6 B. � <  —6 C. � > —6 且� ≠—4 D. � <  —6 且� ≠ —4 7.某生态示范园计划种植一批核桃，原计划总产量达 36 万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种， 改良后平均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 9 万千克，种植亩数减少了 20 亩，则原计 划和改良后平均每亩产量各多少千克?设原计划每亩平均产量为�千克，则改良后每亩产量为 1.5�万千克， 根据题意列方程为 A. 36� − 36+9 1.5� = 20 B. 36 � − 36 1.5� = 20 C. 36+91.5� − 36 � = 20 D. 36 � + 36+9 1.5� = 20 8.已知1�− 1 � = 5，则代数式 3�−20��−3� �−2��−� 的值为( ) A. 5 B. − 53 C. 5 7 D. − 35 3 第 2页，共 4页 9.已知 3�−4�−1 �−2 = � �−1 + � �−2，则� + �的值为( )． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4  ​ ​ 10.已知�，�为实数，�� = 1，� = ��+1+ � �+1，� = 1 �+1+ 1 �+1，则�，�的大小关系是( ) A.� > � B. � < � C.� = � D.无法确定 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.分式 1�2−3�与 2 �2−9的最简公分母是_____________． 12.化简：� 2 4� ⋅ 6� � 2 = ． 13.若有理数�，�满足|� − 2| + (� − 2020)2 = 0，则�−1 + �0 = ． 14.已知� + � = 4，�� = 2，则��+ � � = ______． 15.关于�的方程2�−1�+1 = 1 + � �+1无解，则�的值为________． 16.甲、乙两工程队分别承接了 250 米、150 米的道路铺设任务，已知乙比甲每天多铺设 5 米，甲完成铺设 任务的时间是乙的 2 倍．设甲每天铺设�米，则根据题意可列出方程：______． 17.若� ​ 2 − 3� − 1  = 0，则� 2 + 1�2 =_______． 18.定义新运算：�⊕ � = 1�+ 1 �，若�⊕ ( − �) = 2，则 3�� 2�−2�的值是 ． 三、解答题：本题共 6 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 10 分)计算： (1) � 2 �−1 − � − 1； (2)1 − �−��+2�÷ �2−�2 �2+4��+4�2． 20.(本小题 10 分) （1）先化简，再求值： � 2+4 � + 4 ÷ �2−4 �2−2�− �−�2 �−1，然后在−2，−1，0，1，2 中选一个你认为合适的�值， 代入求值． （2）已知：�2 + 3� − 2 = 0，求代数 �−3�2−2� ÷ (� + 2 − 5 �−2 )的值． 第 3页，共 4页 21.(本小题 10 分)解下列方程： (1) � 3�−1 − 2 = 1 9�−3 ； (2) 2�−3 �2−1 − 1 �+1 = 2 �−1 ． 22.(本小题 12 分) 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． �2 − 9 �2 +6�+9 − 2� + 1 2� + 6 = (�+3)(�−3)(�+3)2 − 2�+1 2(�+3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第一步 = �−3�+3 − 2�+1 2(�+3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第二步 = 2(�−3)2(�+3)− 2�+1 2(�+3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第三步 = 2�−6−(2�+1)2(�+3) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第四步 = 2�−6−2�+12(�+3) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第五步 =− 52�+6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 或填为 ;  ② 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ; 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果; 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一 条建议． 第 4页，共 4页 23.(本小题 12 分) 第 9 届哈尔滨亚冬运会于 2025 年 2 月 8 日−2 月 14 日举行．冬运会期间其吉祥物“滨滨和妮妮”系列产 品热卖．某商店计划购进�，�两款型号的吉祥物．已知用 3600 元购进�型号吉祥物的数量比用 4000 元购 进�型号吉祥物的数量多 20 套，且�型号吉祥物每套价格是�型号吉祥物每套价格的 2 倍． (1)分别求�，�型号吉祥物每套的价格； (2)经市场调研，�型号吉祥物每套零售价为 100 元，�型号吉祥物每套零售价为 210 元．该商家决定购进�， �两种型号吉祥物共 200 套，若要使这批吉祥物按零售价全部售完后的利润不低于 8500 元，求�型号吉祥 物最多购进多少套． 24.(本小题 12 分) 阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知 � �−� = � �−� = � �−� (�, �, �互不相等)，求� + � + �的值． 解：设 � �−� = � �−� = � �−� = �，则� = �(� − �)，� = �(� − �)，� = �(� − �)，∴ � + � + � = �(� − � + � − � + � − �) = 0，∴ � + � + � = 0． 依照上述方法解答下列问题：已知 �+� � = �+� � = �+� � ，其中� + � + � ≠ 0，求 �+�−� �+�+�的值．