第十三章 三角形 单元测试卷（培优提升卷） 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 单元测试卷（培优提升卷） （考试时间为100分钟，满分为120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是(    ) A. B. C. D. 2.在中，，，  (    ) A. B. C. D. 3.下列图形不具有稳定性的是(    ) A. B. C. D. 4.下列说法正确的是(    ) A. 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B. 直角三角形只有一条高 C. 三角形的高至少有一条在三角形内 D. 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 5.如图，是的外角．若，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 第5题 第6题 第7题 第9题 6.如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长  (    ) A. B. C. D. 7.如图，等边三角形的两条角平分线和交于点，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 8.若三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是． A. B. C. D. 9.如图，的度数是  (    ) A. B. C. D. 10.如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 第10题 第12题 第13题 第14题 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知一个等腰三角形的两边长分别为，，则这个三角形的周长是          ． 12.如图，，，之间的大小关系为          用“”连接 13.将一副三角尺按如图所示的方式放置若，则的度数为          ． 14.如图，已知在中，，分别为边，的中点，且，则          ． 15.如图，求的度数为______． 第15题 第16题 第18题 16.如图，是的外角，的 平分线与的平分线交于点，的角平分线与的平分线交于，若，则的度数为          ． 17.已知的三边长，，，化简的结果是          ． 18.窗棂是中国传统文化的一种元素，它常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等图中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意图是这种窗棂中的部分图案，若，则______ 三、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 求出下列图形中的值． 20.本小题分 如图，每个小正方形的边长为个单位． 画出的边上的高，垂足为； 求的面积． 21.本小题分 如图，已知，在中，，平分，的线段除去端点、上一动点，于点． 若，，求的度数． 当在上移动时，、、之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由． 22.本小题分 如图，为的角平分线，是延长线上一点，于点． 若，，则的度数为          ； 若，，求的度数用，的代数式表示． 23.本小题分 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． 若的面积为，，求的长； 若，，求的大小． 24.本小题分 【课本引申】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么三角形的一个内角和与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 【尝试探究】 如图，与为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系，为什么？ 【拓展运用】 如图，在纸片中剪去，得到四边形，若，则剪掉的_______． 小明联想到了曾经解决的一个问题：如图，在中，、分别平分外角，，与有何数量关系？请直接写出答案：_______． 如图，在四边形中，、分别平分外角、，与、有何数量关系？为什么？若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  解：如图， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ． 故选C． 11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  解：如图， 四边形中，， 四边形中，， ，， ， ． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】是的外角，  是的外角，，的平分线与的平分线交于点， ，，，  同理，可得：  故答案为：． 17.【答案】  18.【答案】  【解析】解：如图， 由条件可知， ， ， 由条件可知 ， ． 故答案为：． 19.【答案】解：，解得． ，解得．   20.【答案】【小题】 解：如图，延长，过点作延长线的垂线，垂足为，线段即为的边上的高． 【小题】 解：每个小正方形的边长为个单位， 答：的面积为．   21.【答案】解：，， ． ， ． 平分， ． ； ． 理由： ，． ， B. 平分， B. ， ．   22.【答案】【小题】 【小题】 平分，，，．   【解析】 略  略 23.【答案】解：为中线， ， ， ． ， ， 平分， ， 为高， ， ．  24.【答案】． 理由如下： ． ； ；   理由如下：如图，延长、交于点，则， ， ．   【解析】见答案； ， ， ； ，、分别平分外角，， ． 在中，， 即； 见答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 5页 第十三章 三角形 单元测试卷（培优提升卷） （考试时间为 100 分钟，满分为 120 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.在下列长度的四根木棒中，能与 3 ��，8 ��长的两根木棒钉成一个三角形的是( ) A. 3 �� B. 5 �� C. 7 �� D. 12 �� 2.在△ ���中，∠� = 35°，∠� = 60°，∠� = ( ) A. 115° B. 85° C. 75° D. 55° 3.下列图形不具有稳定性的是( ) A. B. C. D. 4.下列说法正确的是( ) A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B.直角三角形只有一条高 C.三角形的高至少有一条在三角形内 D.三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 5.如图，∠���是△ ���的外角．若∠��� = 110°，∠� = 50°，则∠�的度数为 ( ) A. 40° B. 50° C. 55° D. 60° 第 5题 第 6题 第 7题 第 9题 6.如图，��是△ ���的中线，已知△ ���的周长为 25 ��，��比��长 7 ��，则△ ���的周长 ( ) A. 18 �� B. 22 �� C. 19 �� D. 31 �� 7.如图，等边三角形���的两条角平分线��和��交于点�，则∠���的度数是 ( ) A. 60° B. 115° C. 120° D. 130° 8.若三角形的三边长分别为 3，4，� − 1，则�的取值范围是(    )． A. 0 < � < 8 B. 2 < � < 8 C. 0 < � < 6 D. 2 < � < 6 第 2页，共 5页 9.如图，∠�的度数是 ( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 10.如图，三角形纸片���中，∠� = 60°，∠� = 80°，将∠�沿��对折，使点�落在△ ���外的点�′处，若∠1 = 20°，则∠2 的度数为( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 第 10 题 第 12 题 第 13 题 第 14 题 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.已知一个等腰三角形的两边长分别为 3，6，则这个三角形的周长是 ． 12.如图，∠1，∠2，∠3 之间的大小关系为 . (用“<”连接) 13.将一副三角尺按如图所示的方式放置.若∠1 = 90∘，则∠2 的度数为  ∘． 14.如图，已知在△ ���中，�，�分别为边��，��的中点，且�阴影 = 10，则� △ ��� = ． 15.如图，求∠� + ∠� + ∠� + ∠� + ∠� + ∠� + ∠�的度数为______． 第 15 题 第 16 题 第 18 题 16.如图，∠���是△ ���的外角，∠���的 平分线与∠���的平分线交于点�1，∠�1��的角平分线与∠�1�� 的平分线交于�2，若∠� = 60°，则∠�2的度数为 ． 17.已知△ ���的三边长�，�，�，化简|� + � − �| − |� − � − �|的结果是 ． 18.窗棂是中国传统文化的一种元素，它常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等.图①中的窗棂 是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意.图② 是这种窗棂中的部分图案，若∠1 + ∠3 + ∠5 = 150°，则∠2 + ∠4 + ∠6 =______°. 三、解答题：本题共 6 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 3页，共 5页 19.(本小题 10 分) 求出下列图形中�的值． 20.(本小题 10 分) 如图，每个小正方形的边长为 1 个单位． (1)画出▵���的��边上的高��，垂足为�； (2)求▵���的面积． 第 4页，共 5页 21.(本小题 10 分) 如图，已知，在△ ���中，∠� < ∠�，��平分∠���，�的线段��(除去端点�、�)上一动点，�� ⊥ ��于点 �． (1)若∠� = 40°，∠��� = 10°，求∠�的度数． (2)当�在��上移动时，∠�、∠�、∠���之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由． 22.(本小题 12 分) 如图，��为△ ���的角平分线，�是��延长线上一点，�� ⊥ ��于点�． (1)若∠� = 40°，∠��� = 70°，则∠�的度数为 ； (2)若∠� = �，∠��� = �(� > �)，求∠�的度数(用�，�的代数式表示)． 23.(本小题 12 分) 如图，在△ ���中，��，��分别是△ ���的中线和高，��是△ ���的角平分线． (1)若△ ���的面积为 40，�� = 5，求��的长； (2)若∠��� = 40°，∠��� = 25°，求∠���的大小． 第 5页，共 5页 24.(本小题 12 分) 【课本引申】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么三角形的一个内角和与 它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 【尝试探究】 (1)如图①，∠���与∠���为△ ���的两个外角，试探究∠�与∠��� + ∠���之间存在怎样的数量关系，为 什么？ 【拓展运用】 (2)如图②，在纸片△ ���中剪去△ ���，得到四边形����，若∠1 + ∠2 = 230°，则剪掉的∠� =_______． (3)小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在△ ���中，��、��分别平分外角∠���，∠���，∠�与∠� 有何数量关系？请直接写出答案：∠� =_______． (4)如图④，在四边形����中，��、��分别平分外角∠���、∠���，∠�与∠�、∠�有何数量关系？为什么？ (若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由)