第23章《旋转》第2课时旋转的性质应用 暑假预习课- 2025-—2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第23章《旋转》第2课时旋转的性质应用 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 旋转的性质： ①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前、后的图形全等., 如图，△ABC绕点O逆时针旋转60°到△A′B′C′的位置，则： (1)OA＝　OA′　，OB＝　OB′　，OC＝　OC′　； (2)旋转角有　 ∠AOA′，∠BOB′，∠COC′　，它们的度数是　60°　； (3)△ABC　 ≌　△A′B′C′. 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：利用旋转的性质求角度 【例1】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得△AB′C′.若点B′在线段BC的延长线上，则∠BB′C′的度数为　80°　. 知识点2：利用旋转的性质求线段长 【例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′.若点C′在AB上，则AA′的长为　　. 知识点3：旋转性质的综合运用 【例3】如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，连接EF，EF的长为2. (1)求BF的长； (2)若AE＝1，CE＝，求∠AEB的度数. 解：(1)由旋转的性质，得BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°. ∴△BEF为等腰直角三角形. 设BE＝BF＝x，则x2＋x2＝22. 解得x＝(负值已舍去). ∴BF的长为. (2)由旋转性质，得∠CFB＝∠AEB，CF＝AE＝1. 在△CEF中，EF＝2，CF＝1，EC＝， ∴CF2＋EF2＝CE2.∴∠EFC＝90°. ∵△BEF为等腰直角三角形，∴∠BFE＝45°. ∴∠CFB＝∠BFE＋∠EFC＝135°. ∴∠AEB＝135°., 一、选择题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在等腰三角形中，，是的中点．将绕点旋转得到，下列结论正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据旋转的性质判断，C错误，得到，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和分析可得，故D正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故B错误． 【解答】 解：将绕点顺时针旋转得到， ，，，故A错误，C错误； ， ，， ，故D正确； 不一定等于， 不一定等于，故B错误． 故选：． 3.如图，将绕点顺时针旋转 得到，若线段，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】      根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得．      本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义． 【解答】 解：绕点顺时针旋转 得到， ，， 是等边三角形， ， ， ． 故选：． 4.如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 故选：． 由旋转的性质可得，即可求解． 本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 5.如图，将绕点按照顺时针方向旋转得到，交于点若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键． 由旋转的性质得出，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】 解：将绕点按照顺时针方向旋转得到， ，， ， ， 故选：． 二、填空题： 6.如图，四边形是正方形，在上，旋转后能够与重合，若，，则          ． 【答案】  7.如图，是等边三角形内的一点，，，，若将绕点按逆时针方向旋转到，则          ． 【答案】  8.如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是          ． 【答案】  9.如图，将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，则三角板旋转的角度是          ． 【答案】  10.如图，以点为旋转中心，旋转后得到，已知，，，则          ． 【答案】  三、解答题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，且，求及的度数． 【答案】根据旋转的性质可知，，且，，是等腰直角三角形．．，．．  12.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 【答案】证明：绕点逆时针旋转得到， ， ，， ， ， ．   【解析】本题考查旋转的性质，等边对等角的性质，根据旋转得到，即可得到，，根据等边对等角的性质得到，进而可得，即可得出结论． 13.如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． 判断的形状； 求证：平分． 【答案】(1)解：，，是等边三角形；  (2)，，，.，，，，即平分.  14.如图，已知正方形的边长为，、分别是、边上的点，且，将绕点按逆时针方向旋转得到． 求证：； 当时，求的长． 【答案】解：证明：绕点逆时针旋转得到， ，， ，， ． 又，， ≌， ； 设， ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 则的长为．  【解析】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 由旋转的性质可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； 由第一问的全等得到，正方形的边长为，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． 15.如图，为等腰直角三角形，，，是延长线上一点，将射线绕点逆时针旋转得射线，与射线交于点． 求证：； 探究、、三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】证明：过点作于，如图， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 四边形为正方形， ，， 射线绕点逆时针旋转得射线， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ． ． 理由如下：≌， ， 四边形为正方形， ， ．  【解析】过点作于，如图，先证明四边形为正方形得到，，再根据旋转的性质得到，然后证明≌得到结论； 先利用≌得到，再利用四边形为正方形得到，然后利用等量代换得到． 本题考查了旋转的性质，构建与全等是解决问题的关键．也考查了正方形的判断与性质． 16.如图，已知是等边三角形，在外有一点，连接，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，． 求的大小； 若，，，求的长． 【答案】解：将绕点按顺时针方向旋转得到，是等边三角形， ，，， ， ， ； 如图，连接， ，， 是等边三角形， ，， 将绕点按顺时针方向旋转得到， ≌， ， ，，， ， ， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上 求证：平分； 连接，求证：． 【答案】(1)证明：由已知得，，，.，平分；  (2)，，，，又，，.  18.如图，将一个绕点顺时针旋转得，使得点落在的延长线上的点处，连接． 求的度数； 求证：． 【答案】的度数是；   证明见解答．  【解析】解：将绕点顺时针旋转得， ，， 是等边三角形， ， 的度数是． 证明：，点在的延长线上， ， 由旋转得，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 由旋转得，，则是等边三角形，所以； 由，点在的延长线上，求得，由旋转得，，则，推导出，则，得，所以． 此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 19.为等边内的一点，，，，将绕点顺时针旋转到位置． 判断的形状，并说明理由； 求的度数． 【答案】解：是等边三角形；理由如下： 绕点顺时针旋转到位置， ，，， 是等边三角形； 是等边三角形， ，， ， ， 是直角三角形，， ．  【解析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理． 根据旋转的性质得，，，则利用等边三角形的判定方法可判断是等边三角形； 利用是等边三角形得到，，然后利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，，再计算即可． 20.如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋能与线段重合，连接，，． 求证：． 若，求的度数． 【答案】见解析；   ．  【解析】证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ≌， ． 解：由≌得：， ，， ， ， 即的度数为． 根据旋转的性质，得到，，证明≌，即可得证； 全等三角形的性质，得到，等边对等角得到，角的和差关系求出的度数即可． 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第23章《旋转》第2课时旋转的性质应用 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 旋转的性质： ①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前、后的图形全等., 如图，△ABC绕点O逆时针旋转60°到△A′B′C′的位置，则： (1)OA＝　 　，OB＝　　 　，OC＝　　 　； (2)旋转角有　　 　 　 　 　 　，它们的度数是　　 　； (3)△ABC　 　 　△A′B′C′. 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：利用旋转的性质求角度 【例1】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得△AB′C′.若点B′在线段BC的延长线上，则∠BB′C′的度数为　　 　. 知识点2：利用旋转的性质求线段长 【例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′.若点C′在AB上，则AA′的长为　　 . 知识点3：旋转性质的综合运用 【例3】如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，连接EF，EF的长为2. (1)求BF的长； (2)若AE＝1，CE＝，求∠AEB的度数. 解： 一、选择题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在等腰三角形中，，是的中点．将绕点旋转得到，下列结论正确的是  (    ) A. B. C. D. 2.如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，将绕点顺时针旋转 得到，若线段，则(    ) A. B. C. D. 4.如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，将绕点按照顺时针方向旋转得到，交于点若，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.如图，四边形是正方形，在上，旋转后能够与重合，若，，则          ． 7.如图，是等边三角形内的一点，，，，若将绕点按逆时针方向旋转到，则          ． 8.如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是          ． 9.如图，将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，则三角板旋转的角度是          ． 10.如图，以点为旋转中心，旋转后得到，已知，，，则          ． 三、解答题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，且，求及的度数． 12.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 13.如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． 判断的形状； 求证：平分． 14.如图，已知正方形的边长为，、分别是、边上的点，且，将绕点按逆时针方向旋转得到． 求证：； 当时，求的长． 15.如图，为等腰直角三角形，，，是延长线上一点，将射线绕点逆时针旋转得射线，与射线交于点． 求证：；探究、、三条线段的数量关系，并说明理由． 16.如图，已知是等边三角形，在外有一点，连接，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，． 求的大小； 若，，，求的长． 17.如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上 求证：平分； 连接，求证：． 18.如图，将一个绕点顺时针旋转得，使得点落在的延长线上的点处，连接． 求的度数； 求证：． 19.为等边内的一点，，，，将绕点顺时针旋转到位置． 判断的形状，并说明理由； 求的度数． 20.如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋能与线段重合，连接，，． 求证：． 若，求的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$