7.1为什么要证明（2）同步练习 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §7.1为什么要证明 （2） 一、单选题（共30分） 1．（本题6分）下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 2．（本题6分）甲、乙、丙、丁四个篮球队进行小组单循环比赛（每两队都要比赛一场），结果甲队胜了乙队，并且甲、丙、丁胜的场数相同，则这三队各胜的场数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（本题6分）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两个锐角的和是锐角 C．相等的角是对顶角 D．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等 4．（本题6分）下列命题为真命题的有（　　） ①1的平方根是1；②无理数都是无限小数；③同角的余角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（本题6分）下列命题中的真命题是（　　） A．同位角相等 B．有理数都是实数 C．如果，则 D．互补的角都是邻补角 二、填空题（共30分） 6．（本题6分）下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 7．（本题6分）实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 8．（本题6分）某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是 ． 9．（本题6分）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下： 运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数 篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17 足球 12 游泳 4 实心球 排球 2 表中的 ；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有 人． 10．（本题6分）甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为 ． 三、解答题（共40分） 11．（本题8分）某岛上共有10个人，其中有些是说真话的老实人，另一些是说假话的骗子．他们每个人都想好了一个实数，然后第一个人说“我的数大于1”，第二个人说“我的数大于2”，……，第十个人说“我的数大于10”，此后，这10个人按某种顺序重新排列，依次说“我的数小于1”，“我的数小于2”，……，“我的数小于10”，那么这些人中最多有多少个老实人？ 12．（本题8分）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 13．（本题8分）四边形中，点E在边上，连接、．设，，，，给出下列五个关系式，①；②；③；④；⑤；将其中的三个关系作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题． (1)用序号写出一个真命题（书写形式如：如果xxx，那么xxx），并给出证明； (2)用序号写出三个真命题（不需要证明） (3)在本题可以书写的命题中，只有一个是假命题，是哪一个？说明理由． 14．（本题8分）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1)两个钝角的和大于平角； (2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 15．（本题8分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，_____，和是的角平分线． 求证：_____． 证明： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §7.1为什么要证明 （2） 一、单选题（共30分） 1．（本题6分）下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 解：A．命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B．真命题不一定是定理，故此选项不符合题意； C．真命题的逆命题不一定是真命题，故此选项不符合题意； D．假命题的逆命题不一定是假命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（本题6分）甲、乙、丙、丁四个篮球队进行小组单循环比赛（每两队都要比赛一场），结果甲队胜了乙队，并且甲、丙、丁胜的场数相同，则这三队各胜的场数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：四个人共有6场比赛，由于甲、丙、丁三人胜的场数相同， 所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场； 若甲只胜1场，这时丙、丁各胜1场，说明乙胜3场，这与甲胜乙矛盾， 所以甲只能是胜2场， 即：甲、丙、丁各胜2场，此时乙3场全败，也就是胜0场． 故选：C． 3．（本题6分）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两个锐角的和是锐角 C．相等的角是对顶角 D．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等 解：A、根据平行线性质，两直线平行时同位角相等，正确，是真命题； B、两个锐角（如和）的和可能为钝角（），存在反例，不是真命题； C、相等角不一定是对顶角（如平行线的同位角），错误，不是真命题； D、平方相等的实数可能互为相反数（如3和），不一定相等，错误，不是真命题； 故选：A． 4．（本题6分）下列命题为真命题的有（　　） ①1的平方根是1；②无理数都是无限小数；③同角的余角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解：1. 命题①：1的平方根是1； 平方根的定义是若一个数的平方等于a，则这个数是a的平方根。1的平方根应为±1，故①为假命题； 2. 命题②：无理数都是无限小数； 无理数的定义为无限不循环小数，因此所有无理数都是无限小数，②为真命题； 3. 命题③：同角的余角相等； 同角的余角指与同一个角相加为90°的两个角，它们的度数必然相等，③为真命题； 4. 命题④：过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 平行公理要求“在同一平面内且点在直线外”，题目未明确条件，故④为假命题； 5. 命题⑤：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 垂直的性质需明确“在同一平面内”，否则在三维空间中不成立，题目未限定平面，故⑤为假命题； 综上，真命题为②、③，共2个； 故选C． 5．（本题6分）下列命题中的真命题是（　　） A．同位角相等 B．有理数都是实数 C．如果，则 D．互补的角都是邻补角 解：A选项：同位角相等需在两条平行线被第三条直线所截时才成立，没有平行条件则同位角不一定相等，故A选项是假命题， B选项： 有理数都是实数正确，实数包括有理数和无理数，所以所有有理数均属于实数，故B选项是真命题； C选项：若，则不一定成立，反例：，时，但，故C选项是假命题， D选项：互补的角都是邻补角错误，互补角只需和为，不要求相邻，如平行线间的同旁内角互补但非邻补角，故D选项是假命题． 故选：B． 二、填空题（共30分） 6．（本题6分）下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理； ⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； 综上所述：③和④是定理，共2个． 故答案为：2． 7．（本题6分）实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 【答案】 不一定， 证明 8．（本题6分）某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是 ． 解：根据题意，列出所有可能的排列： 密码由2、5、8组成，共有6种排列： 258，285，528，582，825，852 根据婷婷的条件：2不在末位； 排除末位为2的排列： ∴剩余候选：258，285，528，825， 应用乐乐的条件：5和8相邻， ∴剩余候选：258，285 应用香香的条件：中间位不是8， 最终剩余：258； 故答案为：258． 9．（本题6分）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下： 运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数 篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17 足球 12 游泳 4 实心球 排球 2 表中的 ；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有 人． 解：由题意得某班所有男生的人数为人， 选择1分钟跳绳的人数为17人， ∴选择实心球的人数为人； 已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合， 而选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同， ∴对应的组合可能为：篮球，1分钟跳绳；篮球，实心球；足球，1分钟跳绳；足球，实心球； 在选择篮球的16人中，已经确定2人选择游泳， 因此剩余的14人需要选择健身长拳； 而在选择1分钟跳绳的17人中，选择排球而非篮球的人有2人；选择游泳而非健身长拳的人有2人；因此选择1分钟跳绳的剩余的人； 要使选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合的人数最多，则在已经确定选择篮球、健身长拳的14人中，尽可能多的选择跳绳， 而1分钟跳绳的名额剩余13人， ∴在上述14人中有13人选择1分钟跳绳即为所求， ∴选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有13人， 故答案为：13；13． 10．（本题6分）甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为 ． 解：，共7种情况，在这7种情况中，总环数分别为， 人中靶的总环数恰为4个连续整数， 其中3个人的总环数一定为15，14，13，第4个人总环数为16或， 打中过4环的人数为2人． 故答案为：2人． 三、解答题（共40分） 11．（本题8分）某岛上共有10个人，其中有些是说真话的老实人，另一些是说假话的骗子．他们每个人都想好了一个实数，然后第一个人说“我的数大于1”，第二个人说“我的数大于2”，……，第十个人说“我的数大于10”，此后，这10个人按某种顺序重新排列，依次说“我的数小于1”，“我的数小于2”，……，“我的数小于10”，那么这些人中最多有多少个老实人？ 解：假设这10个人都是老实人，那么第一轮报数中，所有人的数都大于1，这与第二轮报数中，存在一人所报的数小于1矛盾， ∴老实人最多有9人， 理由如下：在第一轮报数中，前面9个人都是老实人，最后一人为骗子，对于（且k为整数），第一轮报数中，第k人变动为第二轮的第人，而第10人变动为第二轮报数的第一人，故第k个人报的数只要大于k且小于，那么他们就没有说谎，而最后一人说谎； 综上所述，这些人中最多有9个老实人 12．（本题8分）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） （1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 13．（本题8分）四边形中，点E在边上，连接、．设，，，，给出下列五个关系式，①；②；③；④；⑤；将其中的三个关系作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题． (1)用序号写出一个真命题（书写形式如：如果xxx，那么xxx），并给出证明； (2)用序号写出三个真命题（不需要证明） (3)在本题可以书写的命题中，只有一个是假命题，是哪一个？说明理由． （1）解：（1）如果①②③，那么④⑤；理由如下： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）解：如果①②④，那么③⑤；如果①②⑤，那么③④；如果①③④，那么②⑤ （3）如果②③④，那么①⑤． 如图，和和是全等的等边三角形，此时C、D、E在同一直线上， ，，但与不平行． 14．（本题8分）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1)两个钝角的和大于平角； (2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等． （1）解：两个钝角的和大于平角，是真命题； （2）解：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，反例如下： 如图，两条不平行直线被第三条直线所截，同位角不相等. 15．（本题8分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，_____，和是的角平分线． 求证：_____． 证明： 解：已知：在中，，和是的角平分线． 求证：． 证明：， ， 和是的角平分线， ，， ， 在和中， ， ， ∴等腰三角形两底角的平分线相等． 故答案为：，. 学科网（北京）股份有限公司 $$