第一章 丰富的图形世界 讲义 2025—2026学年北师大版数学七年级上册

1 生活中的立体图形 第一课时 认识生活中的立体图形 知识点一 生活中常见的几何体 名称 图例 特征 圆柱 底面是圆，侧面是曲的面 有两个面(底面)互相平行且形状、大小相同 棱柱 底面是多边形，侧面是平行四边形 圆锥 底面是圆，侧面是曲的面 有一个顶点 棱锥 (拓展) 底面是多边形，侧面是三角形 各侧面有一个公共顶点 球 球面是曲的面 特别提醒：(1)几何体都是由一个或几个面围成的。(2)组成棱柱和棱锥的面都是平的面，组成圆柱和圆锥的面中既有平的面又有曲的面，组成球的面是曲的面。 例1、以下物体可以近似地看成什么几何体? 用线连接起来。 知识点二 常见几何体的分类 常见几何体的分类方法有三种： 分类方法二：按有无顶点分类。 分类方法一：按柱体、球、锥体分类。 分类方法三：按围成几何体的面有无曲的面分类。 特别提醒：几何体的分类方法有很多，除上面给出的三种外，还可按底面是什么形状、有几个底面等分类。 例2、将下图中的几何体分类。 知识点三 棱柱的有关概念与特征 1.棱柱的有关概念：在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱（只有平的面与平的面的交线才叫棱），相邻两个侧面的交线叫作侧棱。 2.棱柱的特征：棱柱的所有侧棱长都相等。棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形。 3.棱柱的分类：(1)棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱。直棱柱的侧面是长方形。(本书只讨论直棱柱)斜棱柱的侧面是平行四边形。 (2)通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形…… 底面图形有几条边，就叫作几棱柱。 棱柱中各元素之间的数量关系如下表： 六棱柱图示： 棱柱和圆柱的区别与联系： 棱柱 圆柱 相同点 都有两个底面(互相平行)，且上、下底面的形状、大小完全相同 不同点 底面是多边形 底面是圆 侧面是平行四边形 侧面是曲的面 例3、下列说法中正确的是( ) A.正方体和长方体都是特殊的四棱柱 B.棱柱底面边数和侧面数不一定相等 C.棱柱的侧面可能是三角形 D.六棱柱的侧面是六边形 【3-1】七棱柱共有 个顶点、 条棱、 个面 题型专练 例4、不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征。甲同学：它有7个面；乙同学：它有10个顶点。则该几何体模型可能是( ) A.四棱柱 B.五棱柱 C.六棱柱 D.七棱柱 n棱柱的面数、棱数、顶点数： 底面形状 底面数 侧面数 总面数 侧棱数 总棱数 顶点数 n边形 2 n n+2 n 3n 2n 【4-1】下列柱体中，有9条棱的是( ) A.三棱柱 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 例5、如图所示的直八棱柱，它的底面边长都是4cm，侧棱长都是10cm，回答下列问题： (1)这个直八棱柱一共有多少个面? 它们的形状分别是什么? 哪些面的形状、面积完全相同? (2)这个直八棱柱的侧面积是多少? 第二课时 立体图形的构成 知识点 几何图形的构成元素及关系 1.图形是由点、线、面构成的。面与面相交得到线，线与线相交得到点。 点无大小，线无粗细，面无厚薄。 2.面有平的面，也有曲的面；线有直的线，也有曲的线。 3.点、线、面、体之间的关系： 例1、 (1)流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为 ； (2)一枚硬币在桌面上快速地旋转时，看上去像球，这说明了 ; (3)夏天，快速转动的电扇叶片，看上去像是一个完整的平面，这说明了 。 【1-1】朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成了 ,说明了 。( ) A.点 直线 点动成线 B.点 线 点动成线 C.线 面 线动成面 D.线 面 面动成体 【1-2】中国折扇文化底蕴深厚，历来有“制扇王国”之称。如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 例2、将下列四个选项中的平面图形绕虚线旋转一周，能得到如图所示的几何体的是( ) 题型专练 例3、有一长6cm,宽4cm的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在的直线为轴，旋转180°得到一个圆柱，可按以下两种方案进行操作：方案一:以较长的一组对边中点所在的直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在的直线为轴旋转，如图②。 请通过计算说明哪种方法得到的圆柱的体积更大。 2 从立体图形到平面图形 第一课时 正方体的展开与折叠 正方体表面的展开图 图示(共11种) “一四一”型 “二三一”型(或“一三二”型) “阶梯”型 特别提醒：下面几种类型不是正方体表面的展开图： (1)四个以上的正方形一排，或四个正方形一排且另外两个在这一排的同侧，如图： (2)出现“凹”字型或“田”字型，如图： 记忆口诀：立方展开有十一，一共需要剪七边，中间有四一两边，一二中间隔着三，二二相连像台阶，三三上下连一边。 例1、下列四个图形中，不能作为正方体表面的展开图的是( ) 【1-1】下列图形是正方体表面的展开图的是( ) 【1-2】分割并裁剪硬纸板得到如图所示的几个边长都相等的小正方形，若再剪去一个小正方形，便可折成一个正方体，则剪掉的小正方形不可能是( ) A.① B.② C.③ D.④ 知识点二 正方体表面的展开图中相对面的关系 确定正方体表面的展开图中相对面的方法： (1)根据正方体表面的展开图的特点判断：当有三个面相连时，“隔一相对”(上下隔一行或左右隔一列)，如图①，A和B是相对面；在“Z”字型图案中，位于两端的两个面是相对面，如图②③④，A和B是相对面。 (2)空间想象：先固定一个面不动，再确定其他面的位置。如上右图：若我们将3 作为前面，则2为上面，4为右面，1为左面，5为下面，6为后面，这样我们就可以按上对下、左对右、前对后来确定它们的相对关系。 (3)动手操作：画一个与该展开图相同的图形，剪下来，折成正方体即可判断。 例2、《水浒传》第三回记载：鲁提辖连忙还礼，说道：“闻名不如见面，见面胜似闻名！”其中“闻名不如见面”的意思是只听名声不如见面更能了解。如图是正方体表面的展开图，则与“闻”字相对的面上的字是( ) A.不 B.如 C.见 D.面 【2-1】如图是一个正方体表面的展开图，把展开图折叠成正方体后，“有”字一面的相对面上的字是( ) A.者 B.事 C.竟 D.成 【2-2】若要使图中平面图形折成正方体盒子后，相对面上的数字相等，则x+2y+z的值是 题型专练 例3、如图，乐乐利用网格纸做一个正方体盒子，裁剪后发现缺少一个面(阴影部分)，请你帮他在图中选一个空白正方形进行拼接，使拼接后的图形能折叠成一个封闭的正方体，则可选择的方法有( ) A.2种 B.4种 C.5种 D.11 种 例4、如图，不透明的正方体纸盒的三个外表面分别画有不同图案，另外三个面是空白的，则它表面的展开图可以是( ) 【4-1】如图是某正方体表面的展开图，则该正方体是( ) 第二课时 棱柱、圆柱、圆锥的展开与折叠 知识点 棱柱、圆柱、圆锥的侧面及表面展开图 常见柱体、锥体的侧面及表面展开图如下： 几何体 侧面展开图 表面展开图(图例) 一般为长方形 一般为长方形 此处均是直一般为长方形 一般为长方形 扇形 同一个棱柱，按不同的方式展开，得到的表面展开图可能不同。 特别提醒：由表面展开图识别几何体的技巧：(1)展开图中有圆，一般考虑圆柱或圆锥；(2)展开图中有三角形，一般考虑三棱柱； (3)展开图中只有长方形或正方形，一般考虑长方体或正方体；(4)展开图中有扇形，一般考虑圆锥。 例1、如图为几何体的表面展开图，其对应的几何体的名称依次是( ) A.圆锥、圆柱、三棱柱、正方体 B.圆锥、圆柱、四棱柱、正方体 C.圆锥、四棱柱、圆柱、正方体 D.圆锥、三棱柱、圆柱、正方体 【1-1】下列图形经过折叠不能围成棱柱的是( ) 题型专练 例2、如图①是一个三棱柱，图②是它的表面展开图，则由图①得到图②需要剪开几条棱( ) A.4 B.5 C.6 D.7 例3、如图,用高为6cm、底面直径为4cm的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为( ) A.24πcm³ B.36πcm³ C.36cm³ D.40cm³ 3 截一个几何体 知识点 用平面截一个几何体 1.截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面。 2.几种常见几何体的截面形状： 几何体 截面的形状及图示 正方体 圆柱 圆锥 三棱柱 球 截面形状总是圆。 特别提醒：(1)截面形状与原几何体的形状、平面的位置有关；(2)同一几何体可以有多种不同形状的截面，不同几何体的截面的形状可能相同；(3)用一个平面去截一个棱柱，平面与棱柱有几个面相交，截面就是几边形。n棱柱共有(n+2)个面，则截面的边数最多是(n+2)。 最少为3 例1、用平面截下列几何体，找出相应截面的形状。 题型专练 例2、用一个平面去截一个几何体，截面的形状如图所示，共有四种，该几何体是 。 【2-1】用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，则这个几何体不可能是( ) A.棱柱 B.圆柱 C.圆锥 D.棱锥 例3、如果用平面截掉正方体的一个角，则剩下的几何体最多有 个顶点，最少有 条棱。 4 从三个方向看几何体的形状 知识点一 从三个不同的方向看几何体 1.一般地，我们从正面、左面、上面三个不同的方向观察同一几何体。2.从不同方向看到的常见几何体的形状图： 特别提醒：(1)从正面、左面、上面观察都是相对观察者而言的，从任何方向观察一个几何体，看到的都只是一个平面图形。(2)几何体摆放的方式不同，看到的几何体的形状图一般也会不同。 例1、如图是由一些大小相同的小立方块搭成的几何体，则从正面看到的该几何体的形状图是( ) 【1-1】如图是由四个大小相同的小立方块搭成的几何体，从上面看到的形状图是( ) 【1-2】小明从图①中几何体的某个方向观察，看到如图②所示的形状图，则小明观察该几何体的方向为( ) A.左面 B.正面 C.上面 D.右面 知识点二 画出从三个不同的方向看到的几何体的形状图 从三个不同的方向看由小立方块搭成的几何体：先确定从三个方向看到的几何体的层数，再确定每层有多少个小立方块，最后确定每个小立方块的位置。 拓展：从不同方向看到的几何体的形状图，它们在尺寸上有一些对应关系。以长方体为例，从不同的方向看到的几何体的形状图有如下的关系： 例2、观察如图所示的几何体，分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图。 【2-1】如图是由7个相同的小立方块搭成的一个几何体，请分别画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图。 例3、用3个同样的小立方块搭成的几何体，从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体是( ) 【3-1】从不同方向看一个几何体得到的形状图如图所示，则该几何体是( ) 题型专练 例4、面一个几何体由7个相同的小立方块搭成，从上面看到的形状图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则从左面看这个几何体得到的形状图是( ) 【4-1】一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则从正面看这个几何体得到的形状图是( ) 【4-2】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，请分别画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图。 【4-3】如图是由相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，请你画出它从正面和左面看到的形状图。 例5、用10个棱长是1cm的小立方块搭成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是 cm²。 【5-1】安用6个棱长为1cm的小立方块搭成如图所示的几何体，则这个几何体的表面积为 cm²。 例6、桌上摆着一个由若干个相同小立方块搭成的几何体，其从三个方向看到的形状图如图所示，则搭成此几何体需要的小立方块的个数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【6-1】从正面、左面、上面观察一个由相同的小立方块搭成的几何体，依次得到以下的形状图，那么小立方块有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 例7、用一些大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数最多是 ，最少是 。 【7-1】用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，若从上面看到的形状图中的数字和字母表示该位置上小立方块的个数，则a，b的值是( ) A. a=2,b=3 B. a=2,b=2 C. a=1,b=3 D. a=3,b=2 变式题：一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图。若搭成该几何体所用小立方块的个数为n，则n的最大值为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 学科网（北京）股份有限公司 $$