【第十八章 分式 01讲 分式及其基本性质】【六大知识点+12大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十八章 分式 01讲 分式及其基本性质 题型归纳 【题型1. 分式的判断】…………………………………………………………………… 3 【题型2. 分式无意义的条件】…………………………………………………………… 3 【题型3. 分式有意义的条件】…………………………………………………………… 3 【题型4. 分式为0的条件】……………………………………………………………… 4 【题型5. 取值范围的求解】……………………………………………………………… 5 【题型6. 分式变形的判断】……………………………………………………………… 5 【题型7. 分式值的变化的判断】………………………………………………………… 6 【题型8. 将分式的分子分母各项化为正数或整数】…………………………………… 6 【题型9. 分式值为整数时求字母参数】………………………………………………… 7 【题型10. 约分】…………………………………………………………………………… 8 【题型11. 最简分式及最简公分母】……………………………………………………… 9 【题型12. 通分】…………………………………………………………………………… 9 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 11 知识清单 知识点1 分式 1.定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式. 2.元素：A叫作分子，B叫作分母. 【提示】 ① 判断一个式子是不是分式不能化简再判断，如是分式，但化简之后的是整式，即进行分式判断只看形式，不能看化简后的结果； ② 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； ③ 分式为0的条件：当分子=0，且分母≠=时，即A=0且B≠0时，=0. 知识点2 分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. （其中A，B，C（C≠0）是整式） 知识点3 约分 1.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 知识点4 最简分式 1.定义：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式.如： . 知识点5 通分 1.定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 知识点6 最简公分母 1.定义：分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫作最简公分母. 题型专练 题型1. 分式的判断 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列代数式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）下列式子：，其中是分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2. 分式无意义的条件 【例1】（2025·贵州贵阳·二模）当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（   ） A． B． C．x D．3x 【例2】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）若分式 无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河南·期末）若分式无意义，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·贵州遵义·二模）当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（    ） A． B． C．x D． 题型3. 分式有意义的条件 【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）要使分式有意义，则（    ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）要使式子有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 题型4. 分式为0的条件 【例1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）若分式的值为0，则的值是（  ） A． B． C．1 D．2 【例2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）要使分式的值为0，则x的取值应满足（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）若，则（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）对于分式下列说法正确的是 （    ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式有意义 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式的值为零 【变式3】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 题型5. 取值范围的求解 【例1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 题型6. 分式变形的判断 【例1】（24-25八年级下·重庆万州·期末）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·江苏常州·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型7. 分式值的变化的判断 【例1】（24-25八年级下·江西萍乡·期末）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 【例2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A．3 B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）把分式中的x和y都扩大10倍，分式的值（    ） A．不变 B．缩小10倍 C．扩大10倍 D．扩大20倍 【变式2】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的4倍 D．不变 题型8. 将分式的分子分母各项化为正数或整数 【例1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 【变式1】（24-25八年级上·山东滨州·期中）不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 题型9. 分式值为整数时求字母参数 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知为整数，且分式的值是整数，求的所有可能值． 【变式1】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期中）已知为整数，且为正整数，求所有符合条件的的值的和（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）学完分式的概念后，老师出了一道题：当取哪些整数时，分式的值是整数？ 小芳的解答如下：当，即，3，5时，分式的值是整数． 小芳的解答对吗？如果不对，请改正． 题型10. 约分 【例1】（2025·河北唐山·二模）若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 【例2】（2025·湖南·中考真题）约分： ； 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川巴中·期中）化简： （1） ， （2） ， （3） ． 【变式3】（2025·贵州贵阳·一模）化简的结果是 ． 【变式4】（24-25八年级下·全国·课后作业）分式约分后等于 ． 题型11. 最简分式及最简公分母 【例1】（24-25八年级下·重庆·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）分式和的最简公分母是 ． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）从代数式：，，中任选两个，组成一个最简分式 ．（写出一个即可） 【变式4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）下列4个分式：①；②；③；④，其中最简分式有 个． 【变式5】（24-25八年级下·江苏南京·期末）分式，，的最简公分母是 ． 题型12. 通分 【例1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，其中，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 【变式1】（22-23八年级上·湖南娄底·期中）把，通分，则= ， = . 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）通分： (1)，； (2)，． 【变式4】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分：与． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江温州·期末）要使分式的值为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆黔江·期末）若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川成都·期中）分式中的，的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 4．（24-25八年级下·海南·期末）要使分式有意义，则x应满足的条件是 （    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）下列有理式中，是分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）下列说法错误的是（  ） A．代数式不是分式 B．分式的值不可能为0 C．分式是最简分式 D．分式中的x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变 8．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．（23-24八年级上·山东临沂·期末）下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若分式的值为0，则的值为 ． 12．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知，且，则的值为 ． 13．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）当 时，分式没有意义． 14．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为 ． 15．（24-25八年级下·河南郑州·期末）请你写出一个满足下述两个特点的分式： ． ①这个分式中只含有字母；②当时，分式的值是0． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若的分子、分母同时加上正整数时，该分数成为整数，这样的正整数共有 个． 18．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）已知a为整数，且为正整数，求所有符合条件的a的值的和 ． 19．（24-25八年级上·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 20．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4 根据上述方法，试求分式的最大值是 ． 三、解答题 21．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）化简：． 22．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）已知，求的值． 23．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 24．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）若，求的值． 25．（2024·宁夏中卫·三模）小明在解一道分式方程过程如下： 第一步：整理 第二步，去分母… (1)请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______； (2)请把以上解分式方程的过程补充完整． 26．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知代数式，，．从.，，中任选两个分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 28．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 29．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 30．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 分式 01讲 分式及其基本性质 题型归纳 【题型1. 分式的判断】…………………………………………………………………… 3 【题型2. 分式无意义的条件】…………………………………………………………… 4 【题型3. 分式有意义的条件】…………………………………………………………… 5 【题型4. 分式为0的条件】……………………………………………………………… 7 【题型5. 取值范围的求解】……………………………………………………………… 9 【题型6. 分式变形的判断】……………………………………………………………… 10 【题型7. 分式值的变化的判断】………………………………………………………… 12 【题型8. 将分式的分子分母各项化为正数或整数】…………………………………… 15 【题型9. 分式值为整数时求字母参数】………………………………………………… 17 【题型10. 约分】…………………………………………………………………………… 20 【题型11. 最简分式及最简公分母】……………………………………………………… 22 【题型12. 通分】…………………………………………………………………………… 25 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 29 知识清单 知识点1 分式 1.定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式. 2.元素：A叫作分子，B叫作分母. 【提示】 ① 判断一个式子是不是分式不能化简再判断，如是分式，但化简之后的是整式，即进行分式判断只看形式，不能看化简后的结果； ② 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； ③ 分式为0的条件：当分子=0，且分母≠=时，即A=0且B≠0时，=0. 知识点2 分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. （其中A，B，C（C≠0）是整式） 知识点3 约分 1.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 知识点4 最简分式 1.定义：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式.如： . 知识点5 通分 1.定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 知识点6 最简公分母 1.定义：分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫作最简公分母. 题型专练 题型1. 分式的判断 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的判断，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，进行判断即可. 【详解】A、，分母为常数3，不含字母，属于整式； B、，分母为圆周率π（常数），不含字母，属于整式； C、，分母为，含字母，符合分式定义； D、，分母为（均为常数），不含字母，属于整式； 故选C. 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列代数式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的识别，理解分式的定义是解题关键．分母中含有字母的代数式称为分式．根据分式的定义，逐一分析各选项的分母是否含有字母即可． 【详解】解：A.，分母为，含有字母，是分式，符合题意； B.，分母为（圆周率，常数），不含字母，不符合题意； C.，分母为常数8，属于分数，不符合题意； D.，分母为常数2，属于整式，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）下列式子：，其中是分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题主要考查了分式的定义，如果A和B是两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：由分式的定义可得，分式有共2个， 故选：A． 题型2. 分式无意义的条件 【例1】（2025·贵州贵阳·二模）当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（   ） A． B． C．x D．3x 【分析】本题考查了分式的值无意义的条件，根据分母为零无意义计算即可． 【详解】解：当时，，，， 根据分式无意义则分母为零，可知所表示的代数式可以是， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）若分式 无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式无意义，根据分式无意义分母为解答即可求解，掌握分式无意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式 无意义， ∴， 解得， 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·河南·期末）若分式无意义，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式无意义的条件．掌握使分式无意义的条件是分母为0是解题关键．根据使分式无意义的条件“分母为0”计算即可． 【详解】解：分式无意义， ， ， 故选：B． 【变式2】（2025·贵州遵义·二模）当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（    ） A． B． C．x D． 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分母为零分式无意义可得结论． 【详解】解：当，，， ∴括号里的代数式可能是． 故选：B． 题型3. 分式有意义的条件 【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）要使分式有意义，则（    ） A． B． C． D．或 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 解得， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）要使式子有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可知， 时，分式有意义， 解得． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行求解即可，解题的关键是根据分式有意义的条件列出不等式并正确求解．． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ ∴且， 故选：． 题型4. 分式为0的条件 【例1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）若分式的值为0，则的值是（  ） A． B． C．1 D．2 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件可以求出的值．熟知需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．是解题的关键． 【详解】解：由分式的值为零的条件得且， 解得， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）要使分式的值为0，则x的取值应满足（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0的条件，即分子为零，而分母不为零，熟练掌握和运用分式有意义的条件和分式的值为零的条件是解决本题的关键．根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得：， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）若，则（   ） A． B． C．或 D． 【分析】本题考查绝对值，解分式方程，解题的关键是不能忽略分式有意义的条件． 由分式的值为零，可得分子为零且分母不为零，即可解得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）对于分式下列说法正确的是 （    ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式有意义 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式的值为零 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件，根据分式有意义要求分母不为零，分式的值为零要求分子为零且分母不为零，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：选项A：当时，分母，分式有意义，故A错误． 选项B：当时，分母，分式无意义，故B错误． 选项C：分式值为零需满足分子且分母． 由得或． 当时，分母，满足条件； 当时，分母，分式无意义，故C错误． 选项D：当时，分子，分母，分式值为零，故D正确． 故选：D． 【变式3】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意； B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意； C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意； D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 题型5. 取值范围的求解 【例1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出． 【详解】解：的值为负数， ，． 故答案为：B 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 【分析】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴， 故答案为：． 题型6. 分式变形的判断 【例1】（24-25八年级下·重庆万州·期末）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分子分母需同乘或同除同一个非零整式，分式的值不变．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A：，分子分母同乘，若则分母为0，分式无意义，故A错误． 选项B：，左边分子分母同乘，得，与右边相等，故B正确． 选项C：，分子分母分别平方，相当于分子乘、分母乘，若，分式值改变，故C错误． 选项D：，分子分母同减，不符合分式基本性质（需同乘或同除），如，，时，左边为，右边为，显然不等，故D错误． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质及符号变化规则，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 根据分式的基本性质及符号变化规则逐项判断即可． 【详解】解：A．左边（分子负负得正），右边，显然不等，故A错误． B．左边（分子整体取反），右边，分子符号不同，故B错误． C．左边，与右边完全相同，故C正确． D．左边，右边，左边为负，右边为正，故D错误． 故选C． 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·江苏常州·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项判断，注意乘除一个数或代数式的时候要保证不为0． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；     B．，故该选项正确，符合题意；     C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 题型7. 分式值的变化的判断 【例1】（24-25八年级下·江西萍乡·期末）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A．3 B． C． D． 【分析】本题考查分式的基本性质，当分式中的变量扩大3倍后，分母变为原来的9倍．要使分式的值不变，分子A必须也变为原来的9倍．因此，A的表达式在变量扩大3倍后应等于原表达式的9倍，据此进行判断即可． 【详解】解：原分式为，当和扩大为原来的3倍时，分母变为．此时分式变为．要使分式的值不变，需满足，即． 选项A：，扩大后仍为3，不满足． 选项B：，扩大后为，而，不相等． 选项C：，扩大后为，而，不相等． 选项D：，扩大后为，而，相等． 故选D． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）把分式中的x和y都扩大10倍，分式的值（    ） A．不变 B．缩小10倍 C．扩大10倍 D．扩大20倍 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的分别用替换，然后约分化简即可得到答案． 【详解】解：原分式为， 将和均扩大10倍后，新分式的分子为，分母为， 因此，新分式为，分式的值扩大10倍， 故选C． 【变式2】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的4倍 D．不变 【分析】本题考查分式的基本性质．将x和y分别扩大为原来的2倍后，代入原分式并化简，观察分式的值是否变化． 【详解】解：原分式为，将和均扩大为原来的2倍，则新的分式为： 分子和分母的公因数2可约去，得： 与原分式完全相同，因此分式的值不变． 故选D． 题型8. 将分式的分子分母各项化为正数或整数 【例1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数． 【详解】解： 故选：B． 【例2】（2024八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 【分析】（1）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （2）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （3）同时改变分子，分母的符号，分式的值不变． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）． （2）． （3）． 【变式1】（24-25八年级上·山东滨州·期中）不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （1）分式的分子与分母中各项的系数是小数，分子、分母同乘10； （2）分式的分子与分母中各项系数是分数，分子、分母同乘分子和分母中所有分数系数的分母的最小公倍数30． 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型9. 分式值为整数时求字母参数 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 【例2】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知为整数，且分式的值是整数，求的所有可能值． 【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是得出2是的倍数． 根据x为整数，且分式的值为整数，可得2是的倍数，可得答案． 【详解】解：． 由题意知或或或， ． 又， 舍去， 故的所有可能值为0，，． 【变式1】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了分式的加减，先根据分式的加减运算法则将原式化简为，结合题意得出或或，求解即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵为整数，且为正整数， ∴或或， 解得：或或， ∴则满足条件的的值有个， 故选：C． 【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期中）已知为整数，且为正整数，求所有符合条件的的值的和（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】根据分式混合运算法则先对题中分式化简，再按照要求得到所有符合条件的的值，求和即可得到答案． 【详解】解： ， 为整数，且为正整数， 当时，为正整数，解得； 当时，为正整数，解得； 所有符合条件的的值的和， 故选：D． 【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）学完分式的概念后，老师出了一道题：当取哪些整数时，分式的值是整数？ 小芳的解答如下：当，即，3，5时，分式的值是整数． 小芳的解答对吗？如果不对，请改正． 【分析】要使式子是整数，分子一定要被分母整除，因而的值是，，，故可以求出的值． 【详解】解：小芳的解答不对， 若使分式值是一个整数，则一定是4的约数，4的约数有，，共6个， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 即，，0，2，3，5时，分式的值是整数． 【点睛】本题考查的是分式的值，在解答此题时要找出4的约数，同时要注意验根． 题型10. 约分 【例1】（2025·河北唐山·二模）若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 【分析】本题考查分式的约分，因式分解是本题的关键． 对分子进行分解因式，根据是的因式判断即可， 【详解】解：∵化简后可以得到一个整式， ∴是的因式， ∵选项中BCD都是的因式，A不是的因式， ∴整式A不可能是， 故选：A． 【例2】（2025·湖南·中考真题）约分： ； 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查分式的化简，将分子和分母分别因式分解，约去公因式即可化简． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·四川巴中·期中）化简： （1） ， （2） ， （3） ． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、因式分解（完全平方公式、提取公因式 ），熟练掌握分式约分化简的方法，以及准确对多项式进行因式分解是解题的关键． （1）观察分子分母，找到公因式，利用分式基本性质，约去公因式化简． （2）先对分子用完全平方公式因式分解，再找分子分母公因式，约去公因式化简． （3）分别对分子、分母提取公因式因式分解，然后找公因式约去，完成化简． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； 【变式3】（2025·贵州贵阳·一模）化简的结果是 ． 【分析】本题考查了分式的化简，根据平方差公式和约分的方法即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级下·全国·课后作业）分式约分后等于 ． 【分析】本题考查了约分．规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 分子、分母的公因式是，通过约分进行化简． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型11. 最简分式及最简公分母 【例1】（24-25八年级下·重庆·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义“分子与分母没有公因式的分式，即一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时这个分式就被称为最简分式”逐项判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式； B、，是最简分式； C、，不是最简分式； D、，不是最简分式． 故选：B． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的最简公分母，因式分解，掌握分式的最简公分母的定义，因式分解方法是解题关键． 先将分式分母因式分解，然后根据最简公分母的确定方法解答即可． 【详解】解：先将分式分母因式分解， ∴分式的最简公分母是． 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）分式和的最简公分母是 ． 【分析】根据最简公分母系数等于各分母系数的最小公倍数，字母指数的最高次幂乘积即为最简公分母． 本题考查了最简公分母计算，熟练掌握最简公分母的构成是解题的关键． 【详解】解：和的最简公分母是， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了最简分式的判定，要判断分式是否为最简分式，需检查分子和分母是否存在公因式，若无公因式，则为最简分式．根据最简分式的判断方法，进行判断即可． 【详解】解：选项A：分子系数4与分母系数6的最大公约数为2，可约分为，故A不是最简分式，不符合题意； 选项B：分母可因式分解为，存在公因式，分式化简为，故B不是最简分式，不符合题意； 选项C：分母可分解为，存在公因式，分式化简为，故C不是最简分式，不符合题意； 选项D：分母在实数范围内无法因式分解，分子与分母无公因式，无法约分，故D是最简分式，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的最简公分母，确定两个分式的最简公分母，需将各分母分解因式后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式的分母为，分解为和； 分式的分母为，分解为和． 各分母的因式包括、、，次数均为1次． 因此，最简公分母为， 故选：A． 【变式3】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）从代数式：，，中任选两个，组成一个最简分式 ．（写出一个即可） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式为或， 故答案为：．（答案为不唯一） 【变式4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）下列4个分式：①；②；③；④，其中最简分式有 个． 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：①是最简分式，符合题意； ②不是最简分式，不符合题意； ③不是最简分式，不符合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有2个， 故答案为：2． 【变式5】（24-25八年级下·江苏南京·期末）分式，，的最简公分母是 ． 【分析】本题考查了分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式，，最简公分母是． 故答案为：． 题型12. 通分 【例1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，其中，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】化简分式B，再与A比较，得出A与B的关系即可． 【详解】解：， 已知：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的通分，掌握分解因式和通分方法是解题关键． 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 【分析】此题考查分式的通分和最简公分母，根据最简公分母的定义和通分的法则进行解答即可． 【详解】解：的最简公分母是，通分的结果是， 故答案为：， 【变式1】（22-23八年级上·湖南娄底·期中）把，通分，则= ， = . 【分析】先找出，的最简公分母，再利用分式的性质将，的分母均化为即可． 【详解】解：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查分式通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式通分的方法是解题关键． （1）先确定最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分即可得； （2）先确定最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分即可得； （3）先确定最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分即可得； （4）先确定最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分即可得． 【详解】（1）解：分式的最简公分母是， 则， ． （2）解：分式的最简公分母是， 则， ， ． （3）解：分式的最简公分母是， 则， ， ． （4）解：， 分式的最简公分母是， 则， ． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）通分： (1)，； (2)，． 【分析】此题考查了分式的通分， （1）确定公分母后利用分式的基本性质进行通分即可； （2）确定公分母后利用分式的基本性质进行通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， （2）最简公分母是， ， 【变式4】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分：与． 【分析】本题主要考查了通分，掌握分式的基本性质成为解答的关键． 先确定两分式的最简公分母，然后根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：∵与的最简公分母是， ∴ ，． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江温州·期末）要使分式的值为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，掌握分式的值为零则分子为零，分母不为零是解题的关键．时则分 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选：． 2．（24-25八年级下·重庆黔江·期末）若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 3．（24-25八年级下·四川成都·期中）分式中的，的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化，将分式中的变量扩大后，代入新值并化简，观察分式的值是否变化，据此即可作答． 【详解】解：的和都扩大为原来的2倍时， 则新分式为： ∴化简后与原分式相同，即分式的值不变， 故选B． 4．（24-25八年级下·海南·期末）要使分式有意义，则x应满足的条件是 （    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故选：D． 5．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）下列有理式中，是分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题考查了分式．熟练掌握分式的定义，是解题的关键．逐一判断各选项分母是否含有字母即可． 【详解】解：：分母为（含字母），是分式． ：分母为（不含字母），是整式． ：分母为（含字母），是分式． ：分母为（含字母和），是分式． ：分母为（含字母和），是分式． ：分母为（不含字母），是整式． 综上，分式共有、、、共4个． 故选：C． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：∵，∴不是最简分式； ∵，∴是最简分式； ∵，∴不是最简分式； ∵，∴不是最简分式． ∴最简分式有1个． 故选：Ａ． 7．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）下列说法错误的是（  ） A．代数式不是分式 B．分式的值不可能为0 C．分式是最简分式 D．分式中的x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式，分式的性质等知识，根据分式的定义，最简分式，分式的性质对各选项进行判断作答即可，熟练掌握分式的定义，最简分式，分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、代数式不是分式，说法正确，故选项不符合题意； B、分式的值不可能为0，说法正确，故选项不符合题意； C、分式是最简分式，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到，分式的值改变，故选项符合题意； 故选：D． 8．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了等式的基本性质、代数式求值、分式的基本性质等知识点，运用等式的基本性质得到成为解题的关键． 根据等式的基本性质得到，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 9．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】本题主要考查了整式运算、分式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，即可判断结论①；根据，即可判断结论②；由，易得若为正整数，则有或1或，分别求解即可判断结论③． 【详解】解：根据题意，， ①∵， ∴恒成立，该结论正确； ②∵， 又∵， ∴， ∴的最小值是； 的最小值是，该结论正确； ③∵， ∴若为正整数，则有或1或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， ∴整数值有3个，该结论正确． 综上所述，正确的有①②③，为3个． 故选：A． 10．（23-24八年级上·山东临沂·期末）下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的运算，根据分式的加法，分式的约分分别判定即可． 【详解】A选项：，而，故本选项等式不成立； B选项：，故本选项等式成立； C选项：，故本选项等式成立； D选项：，故本选项等式成立． 故选：A． 二、填空题 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若分式的值为0，则的值为 ． 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 根据分子等于0，且分母不等于0列式求解即可． 【详解】∵分式的值为0， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 12．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知，且，则的值为 ． 【分析】本题考查分式的求值，先将分式化简，再将整体代入，求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）当 时，分式没有意义． 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分母等于即可求解． 【详解】解：当分式的分母为时，分式没有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为 ． 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【详解】解： 故答案为：． 15．（24-25八年级下·河南郑州·期末）请你写出一个满足下述两个特点的分式： ． ①这个分式中只含有字母；②当时，分式的值是0． 【分析】本题主要考查分式值为零的条件，分式的定义；根据分式值为零的条件，分子为0，分母不为0，进行解答即可． 【详解】解：分式中只含有字母且当时，分式的值是0的分式为：； 故答案为：． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．熟记分式的分母不为零是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若的分子、分母同时加上正整数时，该分数成为整数，这样的正整数共有 个． 【分析】本题考查了分式的值为整数的条件，熟练掌握分离常数法是解题的关键．由，可知为998的因数，从而得到答案． 【详解】解： 为整数 为998的因数 或998 正整数n共有2个． 故答案为：2． 18．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）已知a为整数，且为正整数，求所有符合条件的a的值的和 ． 【分析】先根据分式混合运算法则将已知分式化简，再根据题意求得a值，进而求和即可． 【详解】解： ， ∵a为整数，为正整数， ∴符合条件的a的值为6，10， 则符合条件的a的值的和为， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算、分式的值，熟练掌握运算法则并正确求得a值是解答的关键． 19．（24-25八年级上·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【分析】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式； （2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求解即可； 【详解】解：（1）由题意可得， ， 故答案为：； （2）由题意可得， ， ∵为正整数，且也为正整数， ∴或5， ∴或6， 故答案为：2或6； 20．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4 根据上述方法，试求分式的最大值是 ． 【分析】仿照阅读材料，根据分式混合运算和的基本性质解答即可． 【详解】解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是3，所以的最大值是5，即的最大值是5． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、分式的基本性质等知识点，根据分式的运算法则对分式进行变形是解题的关键． 三、解答题 21．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）化简：． 【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式的约分法则是解题的关键． 先将分子与分母进行因式分解，再根据分式的基本性质，将分子与分母的公因式约去，即可求解 【详解】解：． 22．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）已知，求的值． 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用，设，，再代入化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 23．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 24．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）若，求的值． 【分析】本题考查分式化简求值，将分子、分母分别因式分解，约分化简，再将代入求值即可． 【详解】解：原式， 当时， 原式． 25．（2024·宁夏中卫·三模）小明在解一道分式方程过程如下： 第一步：整理 第二步，去分母… (1)请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______； (2)请把以上解分式方程的过程补充完整． 【分析】本题考查了分式的基本性质和等式的性质、解分式方程，掌握解分式方程的方法与步骤是解题的关键． （1）理解根据分式的基本性质整理方程，根据等式的性质去分母，得出答案即可； （2）根据解分式方程的方法与步骤，将方程整理，去分母，去括号，移项合并，系数化，验根即可． 【详解】（1）解：第一步：根据分式的基本性质将等式右边分子分母都乘以，得， 第二步：去分母根据等式的性质，等式两边都乘以， 故答案为：分式的基本性质；等式的性质； （2）解：， 第一步：整理得：， 第二步：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化得：， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 26．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知代数式，，．从.，，中任选两个分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤及方法．选择作为分子，作为分母，然后对分式进行化简即可． 【详解】解：选择作为分子，作为分母， ． 27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：不同意，理由如下： 根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小， ∴不同意小茗同学的观点； （3）解：∵， ∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小， ∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小， ∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2． 28．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 29．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 30．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）化简，根据分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，得出，求出，代入中，得出，根据，，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得：分式是假分式， 故答案为：假分式； （2）解：， ∵的值为整数，且为整数； 的值为或； ∴的值为或． （3）解： ， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为27． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$