第2章 第4节 匀变速直线运动规律的应用（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中物理必修第一册（教科版2019）

第4节　匀变速直线运动规律的应用 物理观念 科学探究 科学态度与责任 匀变速直线运动的基本规律。 理解并应用匀变速直线运动的重要推论。 利用匀变速直线运动的规律分析和解决实际问题。 [对应学生用书P46] 一、匀变速直线运动的两条主要规律 1．速度与时间的关系：vt＝v0＋at。 2．位移与时间的关系：x＝v0t＋at2。 3．公式中共涉及5个物理量：初速度v0、末速度vt、加速度a、位移x和时间t，其中前面4个是矢量。对应匀变速直线运动，加速度a和初速度v0是恒量，末速度vt和位移x分别是时间t的一次函数和二次函数。 二、位移与速度的关系式 将vt＝v0＋at和x＝v0t＋at2两式联立，消去t，可得速度v与位移x的关系式：v－v＝2ax。 备课札记 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 判断下列说法的正误。(对的画“√”，错的画“×”) (1)公式v－v＝2ax适用于任何直线运动。 (　　×　　) (2)物体的末速度越大，则位移越大。 (　　×　　) (3)对匀减速直线运动，公式v－v＝2ax中的a必须取负值。 (　　×　　) (4)位移x的大小由v0、vt、a共同决定。 (　　√　　) (5)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动，而v2－v＝2ax适用于任意运动。 (　　×　　) (6)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大。 (　　×　　) (7)因为v－v＝2ax，v＝v＋2ax，所以物体的末速度vt一定大于初速度v0。 (　　×　　) (8)确定公式v－v＝2ax中的四个物理量时，必须选取同一参考系。 (　　√　　) (9)在公式v－v＝2ax中，x、v0、vt、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。 (　　√　　) [对应学生用书P46] 探究点一__匀变速直线运动的两个基本公式_ [复习探究] 前面我们学习了匀变速直线运动的两个重要规律： 速度与时间的关系：vt＝v0＋at 位移与时间的关系：x＝v0t＋at2 两个式子中共涉及5个物理量：初速度v0、末速度vt、加速度a、位移x、时间t。请思考： [问题设计] 哪些是矢量？哪些是标量？ 提示：初速度v0、末速度vt、加速度a、位移x是矢量，时间t是标量。 1．速度公式：vt＝v0＋at，当v0＝0时，vt＝at。 位移公式：x＝v0t＋at2，当v0＝0时，x＝at2。 2．公式的适用条件：两个公式均只适用于匀变速直线运动。 3．两个公式均为矢量式，其中的x、v0、vt、a都是矢量，应用时必须选取正方向，一般以初速度v0的方向为正方向。 若物体做匀加速直线运动 a与v0同向，a取正值 若物体做匀减速直线运动 a与v0反向，a取负值 若计算结果为正值 说明该量的方向与规定的正方向相同 若计算结果为负值 说明该量的方向与规定的正方向相反 4.公式x＝v0t＋at2是匀变速直线运动的位移公式而不是路程公式，利用该公式计算出的是位移而不是路程。只有在物体做单方向直线运动时，位移的大小才等于路程。 [例1] 甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变，在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍，在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半，求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。 答案：5∶7 解析：解法一：基本公式法　设汽车甲在第一段时间间隔末(时刻t0)的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为s1，加速度为a，在第二段时间间隔内行驶的路程为s2，由运动学式得v＝at0，s1＝at，s2＝vt0＋(2a)t 设汽车乙在时间t0的速度为v′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s1′、s2′，同样有v′＝(2a)t0 s1′＝(2a)t s2′＝v′t0＋at 设甲、乙两车行驶的总路程分别为s、s′，则有 s＝s1＋s2， s′＝s1′＋s2′， 联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶的总路程之比为s∶s′＝5∶7。 解法二：图像法　由题意知，甲在t0时刻的速度v甲1＝at0，2t0时刻的速度v甲2＝v甲1＋2at0＝3at0；同理，乙车在t0时刻的速度v乙1＝2at0，2t0时刻的速度v乙2＝v乙1＋at0＝3at0。 作出甲、乙两车的v－t图像如图所示， 由图线与t轴所围的面积知 s甲＝at，s乙＝at， 所以，两车各自行驶的总路程之比s甲∶s乙＝5∶7。 运用速度公式和位移公式时，由于速度、加速度、位移都是矢量，因此要注意其方向，由规定的正方向确定各量的正负，然后再代入公式中进行运算。 [练1] 如图所示为我国女子冰壶运动员参加冰壶比赛投掷冰壶时的情景，若冰壶被以6 m/s的初速度投出，运动15 s停下，冰壶的整个运动看成匀变速直线运动，则冰壶最后1 s运动的位移大小为 (　　) A．0.1 m B．0.2 m C．0.3 m D．0.4 m B　解析：冰壶被以6 m/s的初速度投出，运动15 s停下，则冰壶运动的加速度大小为a＝＝ m/s2＝0.4 m/s2。由逆向思维法可知，冰壶最后1 s运动的位移大小为x＝at＝×0.4×12 m＝0.2 m，B正确。 [练2] 一辆汽车以72 km/h的速度正在平直公路上匀速行驶，突然发现前方40 m处有需要紧急停车的危险信号，司机立即采取刹车措施。已知该车在刹车过程中加速度的大小为5 m/s2，则从刹车开始经过5 s时汽车前进的距离是多少？此时是否到达危险区域？ 答案：40 m　此时恰好未到达危险区域 解析：设汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为t0，选初速度的方向为正方向，因为汽车做匀减速直线运动，加速度a＝－5 m/s2，则由vt＝v0＋at0，得t0＝＝4 s。 可见，该汽车刹车后经过4 s就已停下，其后的时间内汽车是静止的。 由运动学公式x＝v0t＋at2知，刹车后经过5 s汽车通过的距离为x＝v0t0＋at＝40 m， 即汽车此时恰好未到达危险区域。 探究点二__速度与位移的关系式 在公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车。造成追尾的主要因素是超速和精力不集中，如图所示的是交警在处理一起事故。 [问题设计] (1)交警同志在干什么呢？他们这样做的目的是什么？ (2)为什么通过测量刹车距离就能知道是否超速？ 提示：(1)他们在测量刹车距离，目的是看看车是否超速。 (2)因为速度和位移存在一定的关系，即v－v＝2ax。 1．适用条件 速度与位移的关系v－v＝2ax仅适用于匀变速直线运动。 2．意义 公式v－v＝2ax反映了初速度v0、末速度vt、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。 3．公式的矢量性 公式中v0、vt、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。 (1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值。 (2)x>0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x<0，说明位移的方向与初速度方向相反。 4．两种特殊形式 (1)当v0＝0时，v＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动) (2)当vt＝0时，－v＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动) [例2] 某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x，则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是 (　　) A．x B．x C．2x D．3x B　解析：由v－v＝2ax得(10 m/s)2－(5 m/s)2＝2ax①，(15 m/s)2－(10 m/s)2＝2ax′②，联立①②得x′＝x，B正确。 应用速度与位移关系的两点注意 (1)若不涉及时间，优先选用v－v＝2ax。 (2)选用v－v＝2ax时，要注意符号关系，必要时应对计算结果进行分析，验证其合理性。 [练3] 假设某舰载机的起飞速度为60 m/s，某航空母舰甲板上的弹射装置使飞机获得50 m/s的初速度，飞机在甲板上滑行100 m时起飞，则飞机起飞时的加速度为 (　　) A．4.5 m/s2 B．5.0 m/s2 C．5.5 m/s2 D．6.0 m/s2 C　解析：根据速度与位移关系式v－v＝2ax，可得a＝5.5 m/s2，C正确。 [练4] 发生交通事故的最主要原因是车速过快，交通警察需要在某路段上建立一个限速路标牌，要求车辆的刹车痕迹不能超过40 m，若车辆的最大刹车加速度约为5 m/s2，则该路段的限速路标牌较为合适的是(已知：公路上的限速路标牌显示的速度单位为km/h) (　　) B　解析：根据速度与位移公式v＝2ax，解得vm＝20 m/s＝72 km/h，所以车辆的最大速度不能超过72 km/h，B选项的70 km/h略小于72 km/h，B正确。 探究点三__中间位置的速度 一个做匀加速直线运动的物体，通过A点的瞬时速度是v1，通过B点的瞬时速度是v2。 [问题设计] 那么它通过A、B中点的瞬时速度是多少(即中间位置的瞬时速度)? 提示：由v－v＝2ax得前半程 v－v＝2a·① 对后半程有v－v＝2a·② 联立①②得：v中＝ 。 1．中间位置的速度公式：在匀变速直线运动中，某段位移x的初、末速度分别是v0和vt，加速度为a，中间位置的速度为v，则v＝。 2．公式的推导：据速度与位移关系式，对前一半位移有v2－v＝2a·，对后一半位移有v－v2＝2a·，即v2－v＝v－v2，所以v＝。 3．中间时刻和中间位置速度的比较 方法一：定性分析法 ①对于匀加速直线运动，速度越来越快，所以前时间内的位移x1一定小于后时间内的位移x2，从处到处还要继续加速，故v＜v。 ②对于匀减速直线运动，速度逐渐减小，前时间内的位移x1大于后时间内的位移x2，从处至处要继续减速，故v＜v。 方法二：图像法 此法主要借助v－t图像分析，当物体做匀加速运动时，由图甲可知，v＜v。当物体做匀减速运动时，由图乙可知，此时也是v＜v。 不管是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，总有v＜v。 [例3] 物体做直线运动，在t时间内通过的位移为x，在中间位置处的速度为v1，对应的时候为t1，且在中间时刻处的速度为v2，则v1和v2的关系正确的是 (　　) A．物体做匀加速直线运动时，v1>v2，t1> B．物体做匀减速直线运动时，v1>v2，t1> C．物体做匀加速直线运动时，v1<v2，t1< D.物体做匀减速直线运动时，v1<v2，t1> A　解析：作出物体做匀加速直线运动的v－t图像，如图甲所示，由图可知中间时刻的速度v2，因图像与时间轴围成的面积表示物体通过的位移，故由图可知时刻物体的位移小于总位移的一半，故中间位置应在中间时刻的右侧，则t1>，故中间位置对应的速度v1一定大于中间时刻的速度v2；作出物体做匀减速直线运动的v－t图像，如图乙所示，同理，可得中间位置的速度v1大于中间时刻的速度v2，但t1＜，A正确。 [练5] 物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，若物体下滑到斜面底端的速度是v，则当物体下滑到斜面的中点时的瞬时速度大小是 (　　) A．v B．v C．v D．v C　解析：设斜面长为L，加速度为a，则根据位移与速度关系式可得L＝，当下滑到斜面中点时＝，联立解得v′＝v，C正确。 [练6] 做匀加速直线运动的物体途中依次经过A、B、C三点，已知AB＝BC＝(l未知)，AB段和BC段的平均速度分别为v1＝3 m/s、v2＝6 m/s。 (1)物体经B点时的瞬时速度vB为多大？ (2)若物体的加速度a＝2 m/s2，试求AC段的距离l。 答案：(1)5 m/s　(2)12 m 解析：(1)设物体经过A、B、C三点时的瞬时速度分别为vA、vB、vC，由匀变速直线运动规律有 AB段：＝v1，BC段：＝v2 AC全程，B为中间位置：vB＝ 联立以上三式得 vB＝5 m/s，vA＝1 m/s，vC＝7 m/s。 (2)对于AC全程：l＝＝12 m。 探究点四__初速度为零的匀加速直线运动的比例式 1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T) (1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为： v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。 (2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为： x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。 (3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为： x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。 2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式 (1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。 (2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。 (3)通过连续相同的位移所用时间之比为：t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。 [例4] (多选)一观察者站在一列动车的第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时(设每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计) (　　) A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…∶ B．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…∶n C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶… D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶… AC　解析：设每节车厢长为l，由v2＝2ax得第一节车厢末端经过观察者时v1＝，同理，第二节车厢末端经过观察者时v2＝…第n节车厢末端经过观察者时，vn＝，所以有v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶，A正确；相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…，C正确。 处理直线运动的方法口诀 运用一般公式法，平均速度是简法。 中间时刻速度法，初速度为零比例法。 若是相邻等时间，位移逐差是妙法。 再加几何图像法，求解运动好方法。 [练7] (多选)如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为 (　　) A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1 B．v1∶v2∶v3＝∶∶1 C．t1∶t2∶t3＝1∶∶ D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1 BD　解析：把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶，则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，B正确；子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－)，则子弹实际运动穿过每个木块的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，D正确。 [练8] 如图所示，一个斜面AE，B、C、D为AE的四等分点，一个物体由A点静止出发后做匀加速直线运动，下列结论正确的是 (　　) A．经过BC、CE时，其速度增量之比为1∶ B．物体通过AB、BC、CD、DE段所需的时间之比为1∶∶∶2 C．物体到达B、C、D、E点的速度大小之比为1∶2∶3∶4 D．物体通过B、C、D点时速度关系满足vC＝ A　解析：设斜面AE的长度为4L，根据匀变速直线运动位移与速度式关系可得2aL＝v，2a·2L＝v，2a·3L＝v，2a·4L＝v，可得物体到达B、C、D、E点的速度大小之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，则物体通过AB、BC、CD、DE段所需的时间之比t1∶t2∶t3∶t4＝∶∶∶＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)，经过BC、CE时，其速度增量之比为ΔvBC∶ΔvCE＝(atBC)∶(atCE)＝tBC∶tCE＝∶＝1∶，A正确，B、C错误；根据匀变速直线运动位移与速度关系式可得v－v＝2aL，v－v＝2aL，可得vC＝，D错误。 [对应学生用书P51] 1．小球以某一较大初速度冲上一足够长的光滑斜面，加速度大小为6 m/s2，则小球在沿斜面上滑过程中最后一秒的位移是 (　　) A．2.0 m B．2.5 m C．3.0 m D．3.5 m C　解析：将小球的运动看作反向匀加速直线运动，最后一秒即为匀加速直线运动的第一秒，根据位移与时间关系式有：x＝at2＝×6 m/s2×(1 s)2＝3 m，C正确，A、B、D错误。 2．成渝高速铁路的动车采取8节车厢编组。动车从沙坪坝站开出时做匀加速直线运动，当车头经过路边灯箱时速度大小为4 m/s，车尾经过该灯箱时速度大小为12 m/s。每节车厢的长度相等，前后四节车厢分别经过灯箱的时间之比为 (　　) A．＋1 B．－1 C． D． D　解析：设车厢总长为L，车厢中间位置的速度为v，根据运动学公式有v2－v＝2a，v－v2＝2a，可得v＝4 m/s，前四节车厢经过灯箱的时间为t1＝，后四节车厢经过灯箱的时间为t2＝，前后四节车厢分别经过灯箱的时间之比为＝，D正确。 3．(多选)对于初速度为零的匀加速直线运动，以下说法正确的是 (　　) A．物体在1 s、3 s、5 s时的速度之比为1∶3∶5 B．物体在1 s、3 s、5 s内的位移之比为1∶3∶5 C．物体经过1 m、3 m、5 m时的速度之比为1∶∶ D．物体经过1 m、3 m、5 m所用时间之比为1∶∶ ACD　解析：由v＝at得v∝t，故物体在1 s、3 s、5 s时的速度之比为1∶3∶5，A正确；由x＝at2得x∝t2，故物体在1 s、3 s、5 s内的位移之比为12∶32∶52，B错误；由v2＝2ax得v∝，故物体经过1 m、3 m、5 m时的速度之比为1∶∶，C正确；由x＝at2得t∝，物体经过1 m、3 m、5 m所用时间之比为1∶∶，D正确。 4．(多选)如图所示，一辆小汽车从M点冲上斜坡后做匀减速直线运动，经8 s停在斜坡上的N点，停止运动前的最后1 s内通过的距离为2 m，小车可视为质点，下列说法正确的是 (　　) A．汽车运动的加速度大小为2 m/s2 B．汽车通过M点时的速度大小为32 m/s C．M、N两点间的距离为128 m D．汽车经过M、N中点时的速度大小为16 m/s BCD　解析：汽车在停止运动前的最后1 s内通过的距离为2 m，根据逆向思维法有x＝at2，代入数据有a＝4 m/s2，A错误；汽车的初速度大小v0＝at0＝4×8 m/s＝32 m/s，B正确；根据匀变速直线运动位移与速度的关系有v＝2ax0，代入数据有x0＝128 m，C正确；由初速度为0的匀变速直线运动中间位置的速度推论可得，汽车经过M、N中点时的速度为v＝＝16 m/s，D正确。 5．一辆智能汽车在平直公路上沿直线进行加速和刹车性能测试，它以36 km/h的初速度从计时起点位置以0.5 m/s2的加速度匀加速行驶，20 s后立即刹车，匀减速滑行25 m停止运动。求： (1)前20 s汽车行驶的距离； (2)刹车时的加速度大小。 答案：(1)300 m　(2)8 m/s2 解析：(1)汽车初速度为v0＝36 km/h＝10 m/s 前20 s内位移为x1＝v0t1＋a1t 代入数据解得x1＝300 m。 (2)汽车刹车时的速度为 v＝v0＋a1t1＝10 m/s＋0.5×20 m/s＝20 m/s 根据运动学公式可得0－v2＝－2a2x2 解得刹车时的加速度大小为 a2＝＝ m/s2＝8 m/s2。 学科网（北京）股份有限公司 $$