15.1图形的轴对称（知识点+习题精练）2025-2026学年人教版八年级数学上册

15.1 图形的轴对称 一、知识梳理 1、轴对称图形与对称轴 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的 ．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够 ，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 2、线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线的定义: 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 . 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段 . 几何语言： ∵ AD⊥BC，BD=CD， ∴ AB=AC 3、线段的垂直平分线的判定 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 . 几何语言： ∵ AB=AC， ∴点A 在线段BC 的垂直平分线上. 4、三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线 ，这个点到三角形三个顶点的 . 5、尺规作图——作线段的垂直平分线 作法： (1)分别以点A和点B为圆心， 作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线 6、互逆命题和互逆定理 互逆命题:两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作 . 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的 . 互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个定理，这两个定理叫作 ，其中一个定理叫作另一个定理的 . 二、习题精选 一、单选题 1．下面是常见的化学仪器简易平面图，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 5．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，分别以A、B为圆心画弧，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 7．通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 二、填空题 9．下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的,其中是轴对称图形的是 .(填序号) 10．如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 11．如图，在中，，，与关于直线对称，，则的度数为 ． 12．如图，正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ． 13．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 14．如图，在中，是的垂直平分线，，如果的周长为，则的周长是 ． 15．如图，中，，的垂直平分线交于点，交边于点，若，则的周长为 ． 三、解答题 16．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且是的中点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的长为，求的周长． 17．在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，求的度数． 18．如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 19．如图，点A、B分别在的边上，的平分线与的垂直平分线交于点C，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 15.1 图形的轴对称 1．D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．B 【分析】利用轴对称的性质可得阴影部分面积是正方形面积的一半，即可解答； 【详解】解：正方形的面积=4×4=16cm2， AC是正方形的对角线， ∴阴影部分的面积==8 cm2； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，掌握轴对称的两个图形的面积相等是解题关键． 3．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 【详解】解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 5．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，得到，即，求出，即可得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长等于， ， ，即， ， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质．证明，推出的周长的周长，即可得结论． 【详解】解：以为圆心，两弧分别交于，直线交于点D， 是的中垂线， ， ， 的周长， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：当点D在线段的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段垂直平分线的是C中的图形． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论． 【详解】由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故选：D． 9．①②③④ 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：①是轴对称图形，②是轴对称图形，③是轴对称图形，④是轴对称图形， 故答案为：①②③④. 10． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质以及全等的性质，根据轴对称的性质可，再根据和的度数即可求出的度数．熟练掌握轴对称的性质和全等的性质是解答此题的关键． 【详解】解：与关于直线对称， ， ，， ． 故答案为：． 11．/50度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，轴对称图形的性质，先由三角形内角和定理得到，再由轴对称图形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， 故答案为：． 12．/32平方厘米 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键，学会于转化的思想思考问题．根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解． 【详解】解：． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定， 先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质得到和，根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长， 的周长， 故答案为：． 15．15 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可，从而利用等腰三角形的性质可得，进而利用三角形外角的性质可得，然后结合已知可得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为15， 故答案为：15， 16．(1)； (2)． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，进而利用等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形的内角和定理可得，最后利用三角形的外角性质即可解答． （2）根据已知可得，再用线段的和差关系，以及等量代换可得，即可求得的周长． 【详解】（1）解：（1）∵，且是的中点，垂直平分， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵是的中点， ∴， ∵，且， ∴的周长． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，外角的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．或． 【分析】分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答．此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【详解】解：如图1， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； 如图2， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为：或． 18．见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的崔嵬作图，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的尺规作图步骤作的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点即为所求， 19．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题重点考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明及是解题的关键． （1）由线段的垂直平分线的性质得，由平分线，于点，于点，得，即可根据“”证明，得； （2）由，，，根据“”证明，得，而，则，所以； （3）由，，得，而，且，所以，则． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， 平分线，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． （2）解：平分线，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 的长为4． （3）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$