精品解析：江西省赣州市瑞金市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2025年春八年级数学期末练习题 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，故不是最简二次根式，不符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 已知中，分别是对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：A、∵， 设三边为、、，满足，即， 能构成直角三角形，故此选项不符合题意． B、∵ ∴，，无角为， 不是直角三角形，故此选项符合题意； C、， ， ∴ ， 为直角三角形，故此选项不符合题意； 、， ， 能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 表格记录了甲、乙、丙、丁四个科技创新小组最近几次选拔赛成绩的平均数（单位：分）和方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，应该选择（ ） 甲组 乙组 丙组 丁组 92 92 88 88 1 1.5 1 1.8 A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平均数和方差做决策， 根据丙丁两组的平均数相同，结合方差可知丙组更稳定，再根据甲乙两组的平均数相同，结合方差可知甲组更稳定，然后根据甲丙两组的方差相同，甲组的平均数可得结论． 【详解】解：因为丙丁两组的平均数相同，丙组的方差小于丁组的方差， 所以丙组更稳定； 因为甲乙两组的平均数相同，甲组的方差小于乙组的方差， 所以甲组更稳定； 因为甲丙两组的方差相同，且甲组的平均数高于丙组的平均数， 所以甲组成绩较好且稳定． 故选：A． 4. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象经过第二、四象限 C. 随的增大而增大 D. 不论为何值，总有 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质，逐项分析判断． 【详解】A．当时，，函数图象经过点，而非，故A错误； B．正比例函数中，，图象经过第一、三象限，而非第二、四象限，故B错误； C．因，随的增大而增大，故C正确； D．当时，（如时，时），故D错误． 故选：C． 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 的面积为10 D. 点到直线的距离是2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，化简二次根式，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理二次根式的化简及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、设点到直线的距离为h ∴， ∴ ∴ ∴点A到的距离为2，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图1，在中，点P从点B出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图2所示，则边的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图2信息可知，当点与点重合时，；当时，的值最小，，可求出的值，即点到线段的高；当点与点重合时，；再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据图2信息可知，当点与点重合时，；当时，的值最小，如图所示，， ∴在中，； 当点与点重合时，知， ∴， ∴在中，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查根据函数图象与几何图形变换的综合，理解函数图象信息，掌握动点与几何变换线段的关系，点到直线垂线最短等知识的综合运用是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一组数据的中位数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【详解】解：从小到大排列此数据为：2、2、4、5、6、7、7，中位数是第4个数5， 故答案为：5． 8. 在平行四边形中，若，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等进行解答即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，若， ∴， 故答案为： 9. 一个关于的一次函数同时满足两个条件：①图象过点；②随的增大而减小．这个一次函数解析式为_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，根据随的增大而减小，得到一次函数的，图象过点，得到，写出函数解析式即可． 【详解】解：设函数解析式为， ∵据随的增大而减小， ∴， ∵图象过点， ∴， ∴这个一次函数解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 10. 三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图①，连接四条线段得到如图②的新的图案．如果图①中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图②中阴影部分的面积为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先求出中间小正方形的边长，再根据阴影部分面积等于四个直角三角形面积加上中间一个正方形面积求解即可． 【详解】解；∵图①中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3， ∴中间小正方形的边长为， ∴． 故答案为：16． 11. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx＜﹣x+3的解集是_____． 【答案】x＜1 【解析】 【分析】写出直线y＝kx在直线y＝﹣x+3下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】观察图象即可得不等式kx<－x+3的解集是x＜1． 【点睛】本题主要考查了一次函数的交点问题及一次函数与一元一次不等式之间的关系，会利用数形结合思想是解决本题的关键． 12. 如图，在矩形中，，点，点分别在上，，若为矩形上一点，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】2或1或3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据矩形的性质以及已知条件可得、、、，然后分三种情况讨论，利用矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∵， ∴，， ①∵是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与点B重合时，为直角三角形，即； ②如图：当点E为直角顶点时，为直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ③如图：当点F为直角顶点时，为直角三角形， ∵， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形，即， ∴点P和点D重合，即． 综上，的长为2或1或3． 故答案为：2或1或3． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在菱形中，点分别在边和上，且．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关的运算法则和性质是解题的关键． （1）根据负整数指数幂运算法则，二次根式性质，二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据菱形的性质，三角形全等的判定方法，证明，根据全等三角形的性质得出结论即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）判断点是否在该函数的图象上． 【答案】（1） （2）在 【解析】 【分析】（1）把点代入一次函数解析式进行求解即可； （2）把点代入（1）中解析式进行判断即可． 【小问1详解】 一次函数的图象经过点， ， 解得：， 这个一次函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 点在该函数图象上． 【点睛】本题主要考查一次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 15. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加减法，按照计算法则、运用平方差公式和完全平方公式是解决本题的关键． 因为，，所以，， （1），代入数据计算即可． （2），代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：因为，， 所以， ， ， ； 【小问2详解】 解： ． 16. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子的总长度为； （2）滑块向左滑动的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．解决本题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的未知边的长度． 根据直角三角形中直角边的长度是，的长度是，利用勾股定理求出斜边的长度，绳子的长度就是斜边与直角边的长度之和； 物体升高，则斜边的长度增加，斜边的长度增加为，利用勾股定理求出的长度，用的长度减去的长度，就是滑块向左滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ， ， 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：如下图所示， ： 根据题意得，，，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 17. 如图，在正方形中，请仅用无刻度的直尺按要求画出图形． （1）在图1中，点是上任意一点，以为边画一个平行四边形； （2）在图2中，点为对角线上任意一点，以为边画一个菱形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了复杂作图以及平行四边形判定、菱形判定，正方形的性质等知识点， （1）利用正方形的性质，连接正方形的对角线交于点O，连接并延长交于点N，即可得出答案； （2）利用正方形的性质延长，交于点P，连接并延长于点Q，连接交于点F，即可得出答案； 正确应用平行四边形、菱形的判定方法是解题关键． 【小问1详解】 如图所示：四边形即为所求的平行四边形； 【小问2详解】 如图所示：四边形即为所求的菱形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，平分，且交于点平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，若交于点，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质及角平分线的定义证出，得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理可得出结论； （2）由直角三角形的性质，由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 证明：平分， ， 又， ， ， 同理，平分， ， 又， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：菱形中，，，， ，，， ． ∴． 19. 6月26日是“国际禁毒日”，某学校组织了某中学七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 整理数据： 80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1 八年级 1 2 4 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 90 39 八年级 90 30 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中 ， ， ， ； （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由； （3）该校七、八年级共有1200人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．请估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？ 【答案】（1）2，90，90，90 （2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更稳定，综上所述，八年级的学生成绩好 （3）估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有780人 【解析】 【分析】（1）根据提供数据确定八年级分的人数，利用众数、中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可； （2）利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可； （3）用两个年级成绩不低于90分的人数的占比乘以1200即可求解． 【小问1详解】 解：依据题意和表格中的数据可得，八年级抽查的总人数为10人， 故可得：． 解得：， ∴八年级分的有2人； 七年级的中位数为，故； 八年级的平均数为：，故； 八年级中分的最多，故， ，，，； 【小问2详解】 八年级的成绩比较好，理由如下： 七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更稳定，综上所述，八年级的学生成绩好； 小问3详解】 （名）， 答：估计这两个年级共名学生达到“优秀”． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键． 20. 为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． （1）购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； （2）求出当时，与的函数表达式： （3）若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 【答案】（1）120 （2） （3）当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一次函数的增减性及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据“所需费用÷购买数量”列式计算即可; （2）利用待定系数法解答即可； （3）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个，列关于m的一元一次不等式组并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W的值最小，求出其最小值及的值即可． 【小问1详解】 解：购买数量个时，B品牌足球的价格 (元/个)， 故答案为：120； 【小问2详解】 解：设当时，y与x的函数关系式为， 得，解得 即当时，y与x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个， ∵， 解得， ∵， ∵， ∴W随着m的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，此时， ∴， 答：当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 【定理证明】 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图（1））并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线相交于点，且，求证：平行四边形是矩形； 【知识应用】 （2）如图（2）在平行四边形中对角线和相交于点． ①求证：平行四边形是矩形； ②若是边上不与A和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理的应用等知点，熟练的利用面积法建立方程求解是关键． （1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定平行四边形是矩形； （2）①证明可得，结合（1）的结论即可证明结论；②如图，连接，过点分别作和的垂线，垂足为可得，再进一步解答即可． 【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）①∵平行四边形中对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． ②如图，连接， ∵过点分别作和的垂线，垂足为 ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）当的面积是的面积的二分之一时，求出这时点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为； （2）的面积是； （3）点的坐标是或． 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为，将、代入即可得解； （2）由直线的解析式得出点坐标，由即可得解； （3）由题意求出，分情况考虑：当点在上时，当点在上时，分别将代入对应的直线解析式即可得解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将、代入得， 解得， 则直线的解析式为． 【小问2详解】 解：直线的解析式为， 时，，即，， ． 【小问3详解】 解：依题得：， 动点沿路线运动， ， ， 当点在上时， 点， 直线的解析式为， 则时，， 即； 当点在上时， 直线的解析式为， 时，， 即； 综上，这时点的坐标是或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何综合，解题关键是熟练掌握一次函数． 六、（本大题共12分） 23. 在学习特殊平行四边形后，兴趣小组开展了动点问题的探究活动． 【问题情境】： 在中，，E是边上一动点，连接． 【发现问题】： （1）如图1，若交于点M，猜想线段与的数量关系，并证明； 类比探究】： （2）如图2，若且，以为边，在右侧作正方形，连接，当点E在上运动时（不与B、C重合），的大小是否发生变化，如果变化，请说明理由．如果不变，请求出的度数． 【拓展迁移】： （3）如图3，当为正方形时，延长线上有一点P，，在直线的右侧作，且，点R为线段的中点，当点E从点B运动到点C时，求出点R运动路径长度，并说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）的大小不会变化，；（3）当点从点运动到点时，点运动的路径长为，理由见解析 【解析】 【分析】题目主要考查菱形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，点的运动，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据菱形的判定得出四边形是菱形，再利用菱形的性质及全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据正方形的判定得出四边形是正方形，过点作，交的延长线于，利用全等三角形的判定和性质得出，， ，然后结合图形求解即可； （3）连接，作交于，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定点的运动轨迹是线段，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，， ， ， ； （2）解：的大小不会变化， 四边形是菱形，且， 四边形是正方形， 过点作，交的延长线于，如图， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图中，连接，作交于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 点的运动轨迹是线段， 点从运动到时， ， ， 当点从点运动到点时，点运动的路径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春八年级数学期末练习题 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 表格记录了甲、乙、丙、丁四个科技创新小组最近几次选拔赛成绩的平均数（单位：分）和方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，应该选择（ ） 甲组 乙组 丙组 丁组 92 92 88 88 1 1.5 1 1.8 A 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 4. 关于函数，下列结论正确是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象经过第二、四象限 C. 随的增大而增大 D. 不论为何值，总有 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 的面积为10 D. 点到直线的距离是2 6. 如图1，在中，点P从点B出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图2所示，则边的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一组数据的中位数是________． 8. 在平行四边形中，若，则_______． 9. 一个关于的一次函数同时满足两个条件：①图象过点；②随的增大而减小．这个一次函数解析式为_______．（写出一个即可） 10. 三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图①，连接四条线段得到如图②的新的图案．如果图①中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图②中阴影部分的面积为__________． 11. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx＜﹣x+3的解集是_____． 12. 如图，在矩形中，，点，点分别在上，，若为矩形上一点，当为直角三角形时，的长为________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在菱形中，点分别在边和上，且．求证：． 14. 如图，一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）判断点是否在该函数的图象上． 15. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 16. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 17. 如图，在正方形中，请仅用无刻度的直尺按要求画出图形． （1）在图1中，点是上任意一点，以为边画一个平行四边形； （2）在图2中，点为对角线上任意一点，以为边画一个菱形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，平分，且交于点平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，若交于点，且，求的长． 19. 6月26日是“国际禁毒日”，某学校组织了某中学七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 整理数据： 80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1 八年级 1 2 4 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 90 39 八年级 90 30 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中 ， ， ， ； （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由； （3）该校七、八年级共有1200人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．请估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？ 20. 为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． （1）购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； （2）求出当时，与的函数表达式： （3）若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 【定理证明】 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图（1））并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线相交于点，且，求证：平行四边形是矩形； 【知识应用】 （2）如图（2）在平行四边形中对角线和相交于点． ①求证：平行四边形是矩形； ②若是边上不与A和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，过点直线与直线相交于点，动点沿路线运动． （1）求直线的解析式． （2）求面积． （3）当的面积是的面积的二分之一时，求出这时点的坐标． 六、（本大题共12分） 23. 在学习特殊的平行四边形后，兴趣小组开展了动点问题的探究活动． 【问题情境】： 在中，，E是边上一动点，连接． 【发现问题】： （1）如图1，若交于点M，猜想线段与的数量关系，并证明； 【类比探究】： （2）如图2，若且，以为边，在右侧作正方形，连接，当点E在上运动时（不与B、C重合），大小是否发生变化，如果变化，请说明理由．如果不变，请求出的度数． 【拓展迁移】： （3）如图3，当为正方形时，延长线上有一点P，，在直线的右侧作，且，点R为线段的中点，当点E从点B运动到点C时，求出点R运动路径长度，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$