精品解析：江西省瑞金市黄柏中学2023-2024学年八年级下学期期末数学复习试题

2023-2024年江西省瑞金市黄柏中学初中数学人教版八年级下册 期末复习卷 一、选择题 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 2. 如图，丝带重叠的部分一定是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形． 【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同， 所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF． ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，利用平行四边形的面积公式得到一组邻边相等是解题关键． 3. 直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．先确定，，，进而得到，，即可得到直线的图象经过一、二、三象限，问题得解． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ∴，， ∴ 则直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 4. 为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A. 110，220 B. 210，215 C. 210，210 D. 220，215 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的众数和中位数，正确理解众数和中位数的概念是解题的关键．根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：数据210出现了4次，最多，故众数为210， 共10辆车，排序后位于第5和第6位的数分别为210，220， 故中位数为． 故选：B． 5. 如图，在矩形中，是对角线，将绕点B顺时针旋转到位置，H是的中点，若，，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，．作于点M，则可得，又由H是的中点，进而可证是的中位线，则可求出 、的长，进而可得的长，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点H作于点M， ∵将绕点B顺时针旋转到位置，，， ，，， ， ， ∵H是的中点， ， ， ∴是的中位线， ， ， 在中，． 答案：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形中位线的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 6. 如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程组的解即为直线和直线相交于点的横、纵坐标． 【详解】解：∵直线和直线相交于点， ∴方程组的解是． 故选：A 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 二、填空题 7. 数据6，5，x，4，7的平均数是5，那么这组数据的方差为________； 【答案】2 【解析】 【分析】先根据平均数的计算公式求出x，再利用方差的计算公式计算即可． 【详解】（6＋5＋x＋4＋7）＝5， 解得x＝3， s2＝[（6−5）2＋（5−5）2＋（3−5）2＋（4−5）2＋（7−5）2]＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是方差、平均数的计算，掌握算术平均数的计算公式、方差的计算公式S2＝ [（x1−）2＋（x2−）2＋…＋（xn−）2]是解题的关键． 8. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象上加下减，左加右减的规律即可求解． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度后：，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”． 9. 为了践行“首都市民卫生健康公约”，某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩如表所示（各项成绩均按百分制计）： 项目 书面测试 实际操作 宣传展示 成绩（分） 96 98 96 若按书面测试占30%、实际操作占50%、宣传展示占20%，计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的最后得分是________． 【答案】97 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：小明的最后得分是96×30%＋98×50%＋96×20%＝97（分）， 故答案为：97． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 10. 日常生活常用二维码是由许多大小相同的黑白两色小正方形按某种规律组成的一个大正方形，图1是一个20×20格式（即黑白两色小正方形个数的和是400），的二维码，左上角、左下角，右上角是三个相同的7×7格式的正方形，将其中一个放大后如图2，除这三个正方形外，图1中其它的小正方形黑色块数与白色块数正好满足图3所示的函数图像，则图1所示的二维码共有__________块白色的小正方形． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像中的数据可以求得一次函数的解析式，从而可以得到与的关系，再根据题意即可得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：设， ∴， 解得：， ∴， ∵黑白两色小正方形个数的和是400， ∴， 解得：， ∵三个7×7格式的正方形中白色小正方形的个数：（块）， ∴该20×20格式的二维码共有白色小正方形的块数为：（块）． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答． 11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，垂足为点E，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，求出AO和DO，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO， ∵AC＝24，BD＝10， ∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13， ∴BC＝13， ∴， ∴×24×10＝13×DE， 解得：DE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键． 12. 如图，中，，，，对角线，相交于点，过点的线段交于点，交于点，以下说法中：①；②；③；④的面积与的面积比为．其中，正确的序号有___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】过点作于点，连接，易通过证明，得到，再证四边形为菱形，进而判断①；根据平行四边形及菱形的性质，易证为等腰直角三角形，得到，则，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，解得，进而求得，由平行线的性质得，由可得，以此判断②；在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，以此判断③；易得到的距离为1，到的距离为1，则，，再进一步计算即可判断④． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴，故①正确； ∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， 在中，，则， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； 在中，， ∴， 在中，， ∴，故③正确； ∵， ∴到的距离为1，到的距离为1， ∴， ， ∴，故④正确． 综上，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 三、计算题 13. （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质，根据二次根式的性质化简各二次根式成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后在合并同类二次根式即可． （2）先根据二次根式的性质化简，然后在合并同类二次根式即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式= =， ∴当时， 原式 ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 15. 如图，在菱形中，交于点，点在上，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证四边形平行四边形，由“”可证≌，可得，可得结论． 【详解】证明：四边形为菱形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 在和中， ≌， ， 四边形为菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 16. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接 （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证； （2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积是：． 四、作图题 17. 图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按照下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边作一个菱形（正方形除外），菱形的顶点是格点． （2）在图②中，以为对角线作一个菱形（正方形除外），菱形的顶点是格点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格线的特点和菱形的判定定理是解题的关键． （2）根据网格线的特点和菱形的判定定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求． 【小问2详解】 解：如图，菱形即为所求． 【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点及菱形的性质是解题的关键． 五、解答题 18. 如图，在正方形中，点E是边中点，将沿翻折得到．延长交于点H，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质，得到，进而得到，再根据，利用即可证明； （2）根据翻折得到，，全等得到，进而推出，利用勾股定理求出的长，设，利用勾股定理建立方程求出的值，再利用进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形中，点E是边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，， 在中，， 设，则：， 在和中：， 即：， 解得：； ∴． 【点睛】本题考查正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 19. 某商店准备购进甲、乙两种型号电视机共600台进行销售．已知甲型电视机的数量不超过乙型电视机数量的2倍，且该商店出售甲、乙两种型号电视机每台分别可获利300元，200元．设该商店购进台甲型电视机． （1）求该商店最多可购进多少台甲型电视机？ （2）该商店对甲型电视机每台降价元出售，乙型电视机价格不变．若购进甲型电视机不少于200台，且购进600台的电视机全部售完，则该商店如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）400台 （2）当时，该商店购进400台甲种电视机和200台乙种电视机利润最大；当时，符合题意的所有进货方案利润相同；当时，该商店购进200台甲种电视机和400台乙种电视机利润最大． 【解析】 【分析】（1）根据已知甲型电视机的数量不超过乙型电视机数量的2倍，直接列出不等式并求解即可． （2）根据题意列出该商店出售这两种型号电视机的利润为元的函数式，然后分别讨论即可． 【小问1详解】 根据题意，得， 解得 答：该商店最多可购进400台甲型电视机； 【小问2详解】 设该商店出售这两种型号电视机的利润为元， 根据题意，得， ∵，且为整数， ①当时，，随着的增大而增大， ∴当时，最大； ②当时，， ∴符合题意的所有进货方案利润相同； ③当时，随着的增大而减小， ∴当时，最大； 答：当时，该商店购进400台甲种电视机和200台乙种电视机利润最大；当时，符合题意的所有进货方案利润相同；当时，该商店购进200台甲种电视机和400台乙种电视机利润最大． 【点睛】本题考查了一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是善于利用分类讨论的思想和熟悉一次函数的增减性． 20. 某校给全体学生推送了“天天跳绳”用来督促学生进行体育锻炼，为了检查学生体育锻炼的效果，从全年级随机抽取了若干名学生进行一分钟跳绳的次数调查统计，一分钟跳绳次数记作x，并绘制了如下的统计表： 组别 “跳绳次数”x/次 频率 组内学生的平均“跳绳次数”/次 A 10% 110 B 35% 130 C 30% 150 D 25% 170 通过体育老师了解到成绩位于C等级学生成绩为：140、141、141、142、145、148、150、153、155、156、157、159； 请根据以上信息回答下列问题： （1）本次抽样调查的学生一共有_________人；调查的学生“跳绳次数”的中位数是_________； （2）求该校学生一分钟跳绳次数的平均数； （3）该校共有学生1600人，若规定一分钟跳绳次数时为优秀．请你估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数． 【答案】（1）40，141次 （2）该校学生一分钟跳绳次数的平均数为144次 （3）估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数为880人 【解析】 【分析】（1）根据C等级的学生数及所占的百分比即可求出抽取的学生人数；根据频率计算D等级学生成绩频数，确定中位数位于C等级，从而根据C等级的学生成绩即可求出中位数； （2）根据加权平均数计算公式即可求得； （3）一分钟跳绳次数时的占比作为全校优秀的占比即可求得结果． 【小问1详解】 解：抽取的人数为：（人）； D等级的学生为，而，把数据按从大到小排列，则中位数是C等级中的141与141两个数的平均数，故中位数为：； 故答案为：次． 【小问2详解】 解：（次） 答：该校学生一分钟跳绳次数的平均数为次． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数为880人． 【点睛】本题考查了频数分布表，求中位数，求样本平均数，用样本估计总体数量等知识，掌握这些知识是关键． 21. 某公司计划购买两种设备共100台，要求种设备数量不低于种的，且不高于种的．已知两种设备的单价分别是1000元/台，1500元/台，设购买种设备台． （1）求该公司计划购买这两种设备所需费用（元）与的函数关系式； （2）求该公司按计划购买这两种设备有多少种方案? （3）由于市场行情波动，实际购买时，种设备单价上调了元/台，种设备单价下调了元/台，此时公司购买这两种设备所需最少费用为121500元，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）该公司按计划购买两种设备有6种方案 （3） 【解析】 【分析】（1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买两种设备的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用； （2）根据题意“种设备数量不低于种的，且不高于种的”，列出不等式组，解不等式组即可得到的取值范围，从而得到购买方案； （3）根据题意列出与的函数关系式，分系数和时，根据一次函数的性质，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， 解得：， 又∵取整数， 可取75，76，77，78，79，80这6个整数， 该公司按计划购买两种设备有6种方案； 【小问3详解】 解：根据题意可得： ， 当时，即时，随的增大而减小， 当时，最小， ， 解得：，不符合，舍去， 当时，即时，随的增大而增大， 当时，最小， ， 解得：， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，正确得到一次函数和一元一次不等式组． 22. 已知正方形． （1）如图1所示，若点E在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，则与的数量关系为_________，位置关系为_________． （2）如图2所示，若E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接和．请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3所示，在（2）的条件下，连接．若，求线段的长． 【答案】（1）， （2），，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图所示，延长交于H，通过证明，得到，，进而利用三角形内角和定理得到，即，由此即可得到结论； （2）延长相交于点H．证明，得到，，再由正方形的性质可得，则，由此可证明，则； （3）如图所示，过点G作交延长线于M，过点G作于N，证明，得到，则，再证明四边形是矩形，得到，，则． 【小问1详解】 解：如图所示，延长交于H， ∵正方形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系为，位置关系为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 延长相交于点H． ∵正方形、正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴，； 【小问3详解】 解：如图所示，过点G作交延长线于M，过点G作于N， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． 六、综合题 23. 如图，直线：分别交轴，轴于两点，． （1）直接写出的值为________； （2）如图1，直线与分别交轴于点，将线段平移后的对应线段（点的对应点为，点的对应点为）的两个端点恰好落在两条直线上，若四边形为菱形，求的值； （3）如图2，点在直线上，点，以为边在右侧作正方形，连接，求的最小值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，用表示出两点坐标，将两点代入，联立方程组求解即可； （2）根据题意，点的对应点为，点的对应点为，利用勾股定理先求出点坐标，在根据平移的性质由点作相同的平移变化的得到点坐标，代入求解即可； （3）根据题意，点在直线上，当点和点重合时，得，根据是正方形，得，利用勾股定理求出此时点的坐标，由正方形的性质得，此时点与点重合，进而得到点的运动轨迹，然后根据设出点的坐标，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设，则，， 将，代入得：， 解得：， 故答案为：3． 【小问2详解】 解：如图，四边形为菱形，过点作轴交于点， 由（1）知所在直线的解析式为：， ， ， ， 点在直线上，设点横坐标为， ， ， 在中，有， ， 解得：，（舍去）， ， ，， 点到点的平移过程为：向右平移6个单位，再想上平移2个单位， 点向右平移6个单位，再想上平移2个单位得到点 ，， ， 点过直线， ，解得：； 【小问3详解】 解：如图1，当点运动到时，正方形运动到位置上，此时，连接， 四边形和四边形都是正方形， ，， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 和在同一条直线上， 所在直线为点的运动轨迹， 当点和点重合时，由正方形的性质得，此时轴， ，， 此时， 设所在直线的解析式为：， 当与重合时，即， 所在直线解析式为：， ， ， ， 解得：，即：所在直线的解析式为：， 当，， ， ， 点在点的运动轨迹上， 综上所述：所在直线为点的运动轨迹，且解析式为：， 过直线外一点到直线的距离垂线段最短， 当时，有最短， 如图2，过点作轴，交轴与点， 由（1）知所在直线的解析式为：，， 此时，设，， ，， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 解得：（舍去）或， ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合问题，重点掌握待定系数求解析式方法和平移的性质及正方形的性质及运用勾股定理方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年江西省瑞金市黄柏中学初中数学人教版八年级下册 期末复习卷 一、选择题 1. 若代数式在实数范围内有意义，则取值范围是　　 A x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 2. 如图，丝带重叠的部分一定是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 都有可能 3. 直线经过一、二、四象限，则直线图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 4. 为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A. 110，220 B. 210，215 C. 210，210 D. 220，215 5. 如图，在矩形中，是对角线，将绕点B顺时针旋转到位置，H是的中点，若，，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 数据6，5，x，4，7的平均数是5，那么这组数据的方差为________； 8. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_________． 9. 为了践行“首都市民卫生健康公约”，某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩如表所示（各项成绩均按百分制计）： 项目 书面测试 实际操作 宣传展示 成绩（分） 96 98 96 若按书面测试占30%、实际操作占50%、宣传展示占20%，计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的最后得分是________． 10. 日常生活常用的二维码是由许多大小相同的黑白两色小正方形按某种规律组成的一个大正方形，图1是一个20×20格式（即黑白两色小正方形个数的和是400），的二维码，左上角、左下角，右上角是三个相同的7×7格式的正方形，将其中一个放大后如图2，除这三个正方形外，图1中其它的小正方形黑色块数与白色块数正好满足图3所示的函数图像，则图1所示的二维码共有__________块白色的小正方形． 11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，垂足为点E，则__________________． 12. 如图，中，，，，对角线，相交于点，过点的线段交于点，交于点，以下说法中：①；②；③；④的面积与的面积比为．其中，正确的序号有___________． 三、计算题 13. （1）； （2）． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，在菱形中，交于点，点在上，求证：四边形是菱形． 16. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接 （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形面积． 四、作图题 17. 图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按照下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边作一个菱形（正方形除外），菱形顶点是格点． （2）在图②中，以为对角线作一个菱形（正方形除外），菱形的顶点是格点． 五、解答题 18. 如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点H，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 某商店准备购进甲、乙两种型号电视机共600台进行销售．已知甲型电视机的数量不超过乙型电视机数量的2倍，且该商店出售甲、乙两种型号电视机每台分别可获利300元，200元．设该商店购进台甲型电视机． （1）求该商店最多可购进多少台甲型电视机？ （2）该商店对甲型电视机每台降价元出售，乙型电视机价格不变．若购进甲型电视机不少于200台，且购进600台的电视机全部售完，则该商店如何进货才能获得最大利润？ 20. 某校给全体学生推送了“天天跳绳”用来督促学生进行体育锻炼，为了检查学生体育锻炼的效果，从全年级随机抽取了若干名学生进行一分钟跳绳的次数调查统计，一分钟跳绳次数记作x，并绘制了如下的统计表： 组别 “跳绳次数”x/次 频率 组内学生的平均“跳绳次数”/次 A 10% 110 B 35% 130 C 30% 150 D 25% 170 通过体育老师了解到成绩位于C等级的学生成绩为：140、141、141、142、145、148、150、153、155、156、157、159； 请根据以上信息回答下列问题： （1）本次抽样调查的学生一共有_________人；调查的学生“跳绳次数”的中位数是_________； （2）求该校学生一分钟跳绳次数的平均数； （3）该校共有学生1600人，若规定一分钟跳绳次数时为优秀．请你估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数． 21. 某公司计划购买两种设备共100台，要求种设备数量不低于种的，且不高于种的．已知两种设备的单价分别是1000元/台，1500元/台，设购买种设备台． （1）求该公司计划购买这两种设备所需费用（元）与的函数关系式； （2）求该公司按计划购买这两种设备有多少种方案? （3）由于市场行情波动，实际购买时，种设备单价上调了元/台，种设备单价下调了元/台，此时公司购买这两种设备所需最少费用为121500元，请直接写出的值． 22. 已知正方形． （1）如图1所示，若点E在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，则与的数量关系为_________，位置关系为_________． （2）如图2所示，若E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接和．请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3所示，在（2）的条件下，连接．若，求线段的长． 六、综合题 23. 如图，直线：分别交轴，轴于两点，． （1）直接写出的值为________； （2）如图1，直线与分别交轴于点，将线段平移后的对应线段（点的对应点为，点的对应点为）的两个端点恰好落在两条直线上，若四边形为菱形，求的值； （3）如图2，点在直线上，点，以为边在右侧作正方形，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$