22.2.1二次函数与一元二次方程 导学案2025-2026学年人教版数学九年级上册

本文围绕二次函数与一元二次方程的关系展开，通过复习旧知引入，引导学生探究二者联系，构建从方程根到函数图象交点的逻辑链，培养学生抽象能力、推理能力等核心素养，为后续函数与方程综合学习奠基。 该设计创新点在于以任务驱动学生自主归纳，特色教法有小组交流。从学生层面提升思维能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破教学难点。

22.2.1 二次函数与一元二次方程 学习目标： 1.了解一元二次方程的根的几何意义； 2．建立一元二次方程与二次函数的关系，通过图象，体会数形结合； 复习： 1. 一元二次方程，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根． 2．解下列方程 （1） （2） （3） 任务1——一元二次方程的根的几何意义【要求：完成下面的探究内容，小组交流，归纳你的结论】 探究： 观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标： 函数 图象 交点 与轴交点坐标 是 与轴交点坐标 是 与轴交点坐标 是 思考：对比复习第2题各方程的解，你发现什么？ 归纳： 一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .（即把代入） 任务2——一元二次方程与二次函数的关系【要求：观察图像，完成下面的填空，阅读教材第44页至第45页的内容，进行归纳】 观察图象： （1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△_______0； （2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___________个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△_______0； （3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△___0． 归纳： 二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为） 二次函数 与 一元二次方程 与轴有 个交点 0，方程有 的实数根 与轴有 个交点；这个交点是 点 0，方程有 的实数根 与轴有 个交点 0，方程 实数根. 追踪练习： 1．抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． 2.二次函数，当＝________时，＝3． 3. 已知抛物线的顶点在x轴上，则＝____________． 巩固提升： 1.已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_________． 2.如图，一元二次方程的解为 。 3.函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（ ）. A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等实数根 D．无实数根 4.已知二次函数. （1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； （2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标. 5. 关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在第_____象限. 拓展延伸： 如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位: m)与飞行时间 t (单位: s)之间具有关系：． （1）球的飞行高度能否达到15 m? 若能,需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到20 m? 若能,需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能,需要多少时间? （4）球从飞出到落地要用多少时间? 思考：为什么有两个时间高度是15m？为什么只有一个时间高度是20m？为什么有两个时间高度是0m？ 课堂检测： 1.如图，一元二次方程的解为 ． 2.已知抛物线y＝x2－2kx＋9与x轴有交点，则k的范围是____________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$