精品解析：安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

合肥一中2024-2025学年度高二年级下学期期末联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. 2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为（ ） A. ∀c＞0，方程x2-x+c=0无解 B. ∀c≤0，方程x2-x+c=0有解 C. ∃c＞0，方程x2-x+c=0无解 D. ∃c≤0，方程x2-x+c=0有解 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 且 D. 5. 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 函数的定义域为R，对任意的，都有成立，且函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机事件A，B，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 最小值为1 D. 11. 已知直线与曲线相交于不同两点，曲线在点M处的切线与在点N处的切线相交于点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对一个零件进行次尺寸测量，以次测量结果的平均值作为该零件尺寸的最后结果.记零件尺寸的最后结果的随机变量为，若，为使零件尺寸的最后结果在内的概率不小于0.9545，则至少需要测量___________次.（若，则） 13. 从编号为1，2，3，4的四个元素中取出3个元素，排在编号为1，2，3的位置上（每个位置只排一个元素）．则：元素的编号与所处位置的号码不相同的排法______． 14. 若不等式对任意正数x恒成立，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. “十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年，某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了如下函数模型：，其中λ，t均为常数，e为自然对数的底数．令，经计算得如下数据：，，问 （1）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （2）若希望2025年盈利额y为1000亿元，请预测2025年的研发资金投入额x约为多少亿元？（结果精确到0.01） 附：回归直线中： 参考数据：． 17. 3月14日某中学进行了以“数学对”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行.初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛.决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰． （1）若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； （2）已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 19. 已知双曲正弦函数，双曲余弦函数． （1）求双曲正弦函数在处的切线方程； （2）证明：当时，； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中2024-2025学年度高二年级下学期期末联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. 2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为（ ） A. ∀c＞0，方程x2-x+c=0无解 B. ∀c≤0，方程x2-x+c=0有解 C. ∃c＞0，方程x2-x+c=0无解 D. ∃c≤0，方程x2-x+c=0有解 【答案】A 【解析】 【分析】 利用特称命题的否定是全称命题，可得结果. 【详解】命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为∀c＞0，方程x2-x+c=0无解, 故选：A. 【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性解不等式得到集合，然后求交集. 【详解】由，解得，所以. 故选：B. 3. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数单调性判定，利用对数函数单调性得到，进而得到，然后作出判定. 【详解】∵函数为上的单调递增函数，∴， ∵函数在上单调递增，∴， ∴， ∴大小关系为， 故选：C. 4. 设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解不等式，根据充分不必要条件的逻辑关系判断各选项，即得答案. 【详解】不等式即，即，解得且， 结合选项，只有对应的集合为且的真子集， 故“不等式”成立的一个充分不必要条件是， 故选：B 5. 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】可先求出目标一次都不被击中的概率，再根据“目标至少被击中一次的概率超过”列出不等式，最后通过对数运算求解的取值范围，进而确定的最小值. 【详解】已知每门大炮击中目标的概率是0.4，那么每门大炮不击中目标的概率为. 因为门大炮射击是相互独立事件，所以门大炮都不击中目标的概率为.  “目标至少被击中一次”的对立事件是“目标一次都不被击中”，根据对立事件概率之和为，可得目标至少被击中一次的概率为.  已知目标至少被击中一次的概率超过，则可列出不等式，移项可得. 两边同时取以10为底的对数，根据对数函数的单调性可得. 因为，. 将，代入中，可得，解得. 因为为大炮的门数，应为正整数，所以的最小值为.  至少需要大炮的门数是. 故选：A.. 6. 函数的定义域为R，对任意的，都有成立，且函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的对称性和减函数的性质判断即可判断. 【详解】因为函数为偶函数，所以函数图象关于直线对称， 所以， 对任意的，，都有成立， 所以，故在上单调递减， 所以在上单调递增，故. 故选：A. 7. 已知随机事件A，B，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 8. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由赋值法求系数和及奇偶项系数可判断ACD，对于B，根据，接着求的系数即可. 【详解】当时，，故A错误； ，则的系数为 ，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，， 又，所以， 则，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 最小值为1 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：利用基本不等式得出结论；对于B；利用基本不等式中的妙用求解；对于C：消元后利用函数单调性求解；对于D；利用的范围以及对数函数的性质得到，即可； 【详解】对于A，因为，，所以， 当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，， 当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，因为，所以，而， 设函数，显然函数在上单调递增， 无最小值，即无最小值，故C错误； 对于D：因为，所以，，.故D正确. 故选：AD 11. 已知直线与曲线相交于不同两点，曲线在点M处的切线与在点N处的切线相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，构造函数，利用导数判断单调性求出极值，即可判断；对B，由切线的斜率公式得和，则是方程的两根，由韦达定理结合选项A求解判断；对C，由两边取对数可得，利用对数不等式得解；对D，由选项B，结合得解. 【详解】对于A，令，则，， 当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 所以的极大值为，且，， 因为直线与曲线相交于两点， 所以与的图象有两个不同交点，所以，故A正确； 对于B，由，得，则曲线在点处切线的斜率， ，整理得， 同理，可得， 所以是方程的两根，则，， 又由A，，即，，故B正确； 对于C，先证明对数不等式， 上式等价于（其中）， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减， ，即，上式得证. ，，又，则， 同理，由，可得， ，即， 由对数不等式，，即，故C错误； 对于D，由B知，，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对一个零件进行次尺寸测量，以次测量结果的平均值作为该零件尺寸的最后结果.记零件尺寸的最后结果的随机变量为，若，为使零件尺寸的最后结果在内的概率不小于0.9545，则至少需要测量___________次.（若，则） 【答案】25 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求解即可 【详解】由正态曲线的对称性知：要使零件尺寸的最后结果在内的概率不小于0.9545， 则， 又 所以，即，解得， 所以为使零件尺寸的最后结果在内的概率不小于0.9545， 则至少需要测量次 故答案为：25 13. 从编号为1，2，3，4的四个元素中取出3个元素，排在编号为1，2，3的位置上（每个位置只排一个元素）．则：元素的编号与所处位置的号码不相同的排法______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据取出的3个元素的情况进行分类讨论，即可求得所有排法. 【详解】若取出的3个元素中有4，且从1,2,3中任取2个元素，则共有种 若从1,2,3中取出的3个元素，则共有2种排法. 综上所述，共有种排法. 故答案为：11 14. 若不等式对任意正数x恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不合要求，故，推出要使对任意正数x恒成立，有且只有即，故，令，求导得到其单调性，求出最大值，得到答案. 【详解】由题意得， 当时，， 又对任意正数x恒成立， 故恒成立， 因为的值域为R，故不可能恒成立，不合要求； 所以，由得，由得， 由得，由得， 因此，若，则当时，，， 故，不合题意； 若，当时，，， 故，不合题意， 因此，要使对任意正数x恒成立， 有且只有即，因为，所以， 此时，令，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合A与B，根据并集的定义求解即可. （2）根据是的充分不必要条件，得B是C的真子集，由此得出实数a的取值范围． 【小问1详解】 集合， ， 所以. 【小问2详解】 ， 由是的充分不必要条件，得集合B是C的真子集， 又，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 16. “十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年，某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了如下函数模型：，其中λ，t均为常数，e为自然对数的底数．令，经计算得如下数据：，，问 （1）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （2）若希望2025年盈利额y为1000亿元，请预测2025年的研发资金投入额x约为多少亿元？（结果精确到0.01） 附：回归直线中： 参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法可得，根据最小二乘法可得参数，即可求得答案； （2）结合（1）的结果代入计算，即可求得答案. 【小问1详解】 由于，令， 则，即， 则，， 故v关于x的回归方程为，即 则y关于x的回归方程为； 【小问2详解】 若希望2025年盈利额y为1000亿元，即， 则，即， 即，解得（亿元）， 预测2025年的研发资金投入额x约为34.56亿元 17. 3月14日某中学进行了以“数学对”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行.初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛.决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰． （1）若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； （2）已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率． 【答案】（1）分布列见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列； （2）所求事件可表示为事件得15分，得20分，得30分的和，再求每轮比赛抢到题目答对，抢到题目答错，没抢到题目的概率，结合概率乘法公式概率加法公式求结论. 【小问1详解】 设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为， 所以，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； 【小问2详解】 甲在决赛中总得分大于10分的情况有以下三种情况： 得15分（抢到3次且答对2次，答错1次），得20分（抢到2次且答对2次，1次没抢到），得30分（抢到3次且答对3次）， 令甲每轮抢到题目且答对为事件，则， 令抢到题目且答错的概率为事件，则， 令没抢到题目为事件，则， 得15分的概率，得20分的概率， 得30分的概率， 所以甲在决赛中总得分大于10分的概率. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1），无极大值. （2）当时，在单调递增； 当，在和单调递增， 在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 【解析】 【分析】（1）时，求导，利用导数分析函数单调性确定极值即可. （2）求导，利用判别式讨论的零点，根据零点分析的符号即可得到单调性. 【小问1详解】 ，， ， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，无极大值. 【小问2详解】 定义域为，， 当，即时，，在单调递增， 当且，即时， 此时只有一个解， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，有两个解， 所以和时，，单调递增， 时，，单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当，在和单调递增， 在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 19. 已知双曲正弦函数，双曲余弦函数． （1）求双曲正弦函数在处的切线方程； （2）证明：当时，； （3）证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，，则得到切线方程； （2）方法一：令，求导得到单调性即可证明；方法二：首先证明当时，，令，证明其单调性即可证明； （3）首先利用导数证明，令，代入得到相关不等式组，累加得，再根据（2）得到，最后即可证明原不等式. 【小问1详解】 由已知，， 所以， 又，所以，切线方程为． 【小问2详解】 方法一：令， 则， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以当时，成立． 方法二：先证：当时，， 令，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以当时，成立． 再证：当时，， 令，则， 因此在上单调递增； 所以，故． 综上，当时，． 【小问3详解】 先证：，令， 则，令，则， 在上单调递增，， 即在上单调递增，， ，当时取等号， 即， 令，则， 当时，， 即， 则有：， 相加可得：， 因为，则，所以， 即． 又由（2）知，当时，． 所以，． 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $