精品解析：福建省三明市第二中学2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题B

2024—2025学年（下）高一年级期末质量检测 数学（试题B） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数，，复数，则的共轭复数对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 样本数据2，3，6，8，9，10的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 若函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，，若与的夹角为，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（ ） A. B. C. D. 8. 某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形，已知，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（    ） A B. C. D. 与的夹角为 10. 已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确是（ ） A. 若，则点P是边BC的中点 B. 若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则 C. 若，则 D. 若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心 11. 已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的图象关于点 对称 D. 若 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个正方体的所有顶点均在一个球面上，若这个球的体积为，则这个正方体的表面积为______. 13. 如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为______. 14. 如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②的最小值为； ③不存在点E，使得与所成的角为45°； ④面积的取值范围为． 其中所有正确结论序号是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求的值； （2）若复数满足，，求的取值范围. 16. 五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了100名来欣赏蓝花楹的游客，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本数据第50百分位数； （2）估计这100名游客的平均年龄（同一组中的数据用该组中的中点值代表）． 17. 记斜的内角的对边分别为，已知，且． （1）求角； （2）为边的中点，若，求的面积； （3）如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 18. 如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足. （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网组卷网 2024一2025学年（下)高一年级期末质量检测 数学（试题B) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求 1.已知复数=2+i,=1-21,复数2=2+名，则z的共轭复数z对应的点位于（) A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的加法运算及共轭运算，再利用复数的几何意义即可得选项 【详解】由z=z2+z1=2+i+1-2i=3-i, 则z=3+i对应的点为(3,1位于第一象限，所以A正确， 故选：A 2.样本数据2,3,6,8,9,10的中位数是() A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解 【详解】因为样本数据个数是偶数，所以这组数据的中位数是第3位数和第4位数的平均数， 即6+8-7. 2 故选：B 3.己知OA=0A.0B=2,0A.0C=6,则BC的最小值为() A.1 B.2 C.2 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】应用已知条件设坐标，再应用数量积公式及模长公式计算求解 【详解】因为OA=0A.0B=2,OA.0C=6, 第1页/共19页 学科网丽组卷网 设0A=(2,0),0B=(1,y),0C=(3,y2),则BC=(2,y2-y) BC=V22+(-)2≥2， 当-y=0时，BC的最小值为2. 故选：C 4.己知m,n是两条不重合的直线，α，阝是两个不重合的平面，则下列说法正确的是() A.若mca,nca,m/1B,n/B,则a/BB.若a⊥B,m⊥B,则m/1a C.若m⊥n,⊥B,m⊥a,则n⊥B D.若m/1a,mcB,a∩B=n,则m∥n 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行判定定理、线面平行的性质定理及线线、线面、面面关系逐一分析即可. 【详解】对于A:根据面面平行判定定理，直线m,n应为相交直线，故A错误； 对于B:直线m可能在平面a内，故B错误； 对于C:若m⊥n,a⊥B,m⊥a, 则n与B垂直、平行，相交不垂直或ncB,故C错误； 对于D:若m/a,mcB,a∩B=n,则m∥n,故D正确. 故选：D. 元 5.若函数f(x)=tan(ox+p)(o>0,p>0)的图象与直线y=a的两个相邻交点之间的距离为 3 向右平移 个单位长度后得到函数gx)的图象，若gx)的图象关于坐标原点对称，则9的最小值为 18 ) A B 2π 3 C. D. 5π 6 3 6 【答案】B 【解析】 【分】由可考数的小正月期为T-子再结合8到=m3x+P】 【详解】由函数f(x=tan(ox+p)(o>0,p>0)的图象与直线y=a的两个相邻交点之间的距离为 第2页/共19页 可学科网可组卷网 元 则得函数f(x)的最小正周期为T= 3,所以==3， 6 故选：B 6已阳底量5花6：0，日+风=m日，若i6与-的夹用为行，则m值为() A.2 B.5 C.1 D.7 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意， a5=0,a+6=md,a+方与a-5的夹角 2，可得 (a+b)(a-b)=ā+万‖a-万×c二π，代入可得关于m的方程，解方程可得答案 【详解】解：a+b=ma>0,.m>0, 又.ab=0,.a⊥b,a-b曰a+b=mal, .a2+2a.b+b2=m2|a2, 62=(m2-11a2, (@+B)(a-6)-la+BIa-Bxc052x. →makm小x习=[1-(m2-]1a, 即 2m=2-m2, 得m2=4,m=2或m=-2（舍去)， 故m的值为2. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的相关知识，考查学生的基础知识与基本计算能力，属于基础题. 第3页/共19页 学科网丽组卷网 7.己知一圆台的侧面展开图扇环的面积为9π，半径为√2的球O与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则圆 台的体积等于() A72 3π B.14V2 3元 c172 3π D 26√2 3π 【答案】B 【解析】 【分析】上下底面的半径分别为，2(5<2)，则由题设可得5+2=3且3=2，求出5,3后结合公式可 求圆台的体积 【详解】如图，设圆台的上下底面的中心为O,O2, 02 G 上下底面的半径分别为，3(5<5)，一条母线为AB, 因为展开图扇环的面积为9π，故(5+5)π×AB=9π， 而半径为√2的球O与该圆台的上、下底面及侧面均相切， 故AB=1+5,且(2-)2+(22=(2+5)2， 故1+2=3且2=2，故5=1,5=2， 故圆台的体积为x×2V2×元+4玩+2元=14rV2 3 故选：B 8某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形ABC,已知cos∠ACF=13, EF=() 第4项/共19页 可学科网可组卷网 A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出si∠ACF,再利用正弦定理求解AF,最后利用余弦定理求解 EF即可 【详解】因为用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形ABC, sa0日·40=10=忆=O=8O7H啪 因为c0s∠4CF-,所以由同角三角函数的辈本关系得sin∠4CF-35 14 14 因为EP=DE=DP,所以△DEF是等边三角形，故LDFE是 t21 可得∠AFC=2，由正弦定理得3N35,解得t=9, 3 142 192+(x+9)2-212 设EF=x,由余弦定理得 ,解得x=6(负根舍去)，故A正确 2×9×(x+9) 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量和满足a1，,1b=2,a+2b=V3,下列说法中正确的有() A.a.b=-1 B.(a+b)⊥(a-b) c.a-2b=v21 D.a与b的夹角为 3 【答案】AC 【解析】 【分析】将己知等式两边平方可判断A;根据垂直向量的数量积为0可判断B;利用性质 第5页/共19页 而学科网组卷网 a-2=(a-2)计算可判断C:由向量夹角公式直接计算可判断D. 【详解】1a+26=(a+26=a2+4a-万+462=13， 将1a=1,b=2的代入，可得ab=-1,故A正确； (a+b)(a-b)=a2-b2=-3≠0，故B错误： 1a-2bP=a2-4a.b+4b2=21,故a-2b=V21,C正确 设a与b的夹角为6，则ab=lcos0=-1, 放cos0=片又0≤0≤，故0=子，D错误 故选：AC 10.已知点P是ABC所在平面内一点，且AP=2mAB+nAC,m,n∈R,则下列说法正确的是() A若m=n=2,则点P是边BC的中点 B.若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则m=n= 3 C若2m+n=2则S.c=25c 2 D.若点P在BC边的中线上，且2m+n= ，则点P是ABC的重心 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理逐一判断各选项即可 【详解】对于A,因AP=2mAB+nAC,P为边BC的中点等价于2m=n= 即m三，n=,故A错课： B 图1 对于B,如图1，点P是边BC上靠近B点的三等分点， 第6页/共19页 学科网列组卷网 则=+那=丽+号8c=+(ac-号孤+C, 21 即2m= 3n 3,即m=n=写，故B正确： B M 图2 对于C,若2m+n=7则2P=22m+n4C)=4mAB+2n4C,且4m+2n=1, 如图2，设AM=2AP,即AM=4mAB+2nAC,则点M在BC边上， 点P为4M的中点，所以Sp=)SC·即C错误： 2 B N 图3 }所以p-引2m+nC到=3m+}4C,13加+a=1, 3 对于D,若2m+n= 如图3，设AN=3AP,即AN=3mAB+nAC,则点N在BC上， 3 又因为P在BC边的中线上，则AN即为中线，从而点P为ABC的重心，故D正确 故选：BD 1.已知函数=asin0x+cos0xo>0)的盛小正周期为元，且f≤f)-=2,则下列 说法正确的是（) A.a=3 B.b=1 C.f(x)的图象关于点 ,0 3 对称 第7页/共19页 可学科网可组卷网 D.若<<，<，fx)=fx),则X+x=4切 2 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得f(x)=Va2+b2sin(ox+p),由最小正周期可求得o=2,再由 fx)≤f =2,可列出方程组，即可求得a,b,即可求出f(x)的解析式，即可对A、B判断求解， 6 ,π7π13π 利用整体代换法可求得对称中心，即可对C判断求解；利用整体代换法可得2x+二∈ 6(6’6 再结合 对称轴即可对D判断求解. b 【详解】A、B:f(x=asinox+bcos@x=Va2+b2sin(ox+p），tanp=2, 由f(x的最小正周期为π，得o= 2-2· π 因为f(x) 3 =2 asin+bcos 3 a+-b=2 a=V3 所以 2 2 ,解得 b=1 ,，故A、B正确 a2+b2=4 C:f(x)=3sin2x+cos2x=2sin2x 6)当=-子时，2x+-，故C错误 3 62 D当x 因为f(x)=f(x2),所以 2x+ +2x+π 6 6=3π，即x+x2 4红，故D正确 2 2 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9 12.已知一个正方体的所有顶点均在一个球面上，若这个球的体积为2π，则这个正方体的表面积为 【答案】18 【解析】 【分析】根据正方体的对角线是外接球的直径求得棱长，然后可得表面积， 第8页/共19页 可学科网丽组卷网 【详解】设正方体的陵长为“，则其对角线为其外接球的直径，所以外接球的半径为V5 -a, 已知号x(5y=,a=5 3 2 2 所以正方体表面积为6a2=18, 故答案为：18， 13.如图所示直角梯形OABC上下两底分别为2和4，高为2√2，则利用斜二测画法所得其直观图的面积 为 【答案】3 【解析】 【分析】按照斜二测画法画出直观图，利用梯形面积公式便可求得其面积 【详解】如图所示，作出直观图， 则0C'=0C=2,∠A0'C'=,0A=4,B'C'=2, 41 梯形A'B'C'O的高为√2sinT=1, 4 ∴.直观图的面积为 2+4×1 =3 2 故答案为：3 A和文 14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，P,E分别为线段BD,AB上的动点，M为线段 第9页/共19页 学科网丽组卷网 AD,的中点，给出下列四个结论： D B B ①三棱锥E-CDC,的体积为定值； ②PC+PM的最小值为V66 6 ③不存在点E,使得AE与BD所成的角为45°； ④△A,DP面积的取值范围为 6’2 其中所有正确结论的序号是 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对①，根据高和底面均为定值可判断；对②，转化到同一个平面，利用余弦定理计算；对③，建 系，利用夹角公式进行判断；对④，表示出点P到直线DA的距离，然后用面积公式计算判断 【详解】对①，点E到平面CDC,的距离是定值，Sacc为定值，所以三棱锥E-CDC,的体积为定值，正 确： 对②，将平面BD,C沿着BD旋转到平面ABD,如图： D B 4B=BC=lAD,=DC=2,MD=5,AB⊥AD,BC⊥DC,则BD=5, 2 第10页/共19页