重难点突破02 利用导数研究恒（能）成立问题（7大题型+知识梳理+五年真题）讲义-2026届高三数学第一轮复习（全国通用）

重难点突破02 利用导数研究恒（能）成立问题 目录： 01 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布）………………………1 02 知识梳理 二级结论 ……………………………………………………………1 03 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………3 题型一 最值+解含参不等式………………………………………………………3 题型二 端点处成立+分类讨论……………………………………………………9 题型三 构造函数法 ………………………………………………………………16 命题点1 “左减右”构造函数 ………………………………………………………16 命题点2 变形+构造函数 ……………………………………………………………23 命题点3 换元+构造函数 ……………………………………………………………28 题型四 分离参数法 ………………………………………………………………31 题型五 必要性探路 ………………………………………………………………41 题型六 同构法 ……………………………………………………………………47 题型七 双变量问题 ………………………………………………………………51 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………65 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2024年全国Ⅰ卷 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 利用导数研究不等式恒（能）成立问题是高考常考考点，经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大. 2024年全国甲卷（理） 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 2024年天津卷 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 2023年全国甲卷（理） 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 2022年全国Ⅱ卷 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 2022年全国甲卷（理） 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 知识梳理 二级结论 1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 4、洛必达法则1：若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 法则2：若函数和满足下列条件：（1）及； （2），和在与上可导，且； （3）， 那么=． 法则3：若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理，，，，，，型． （3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． ，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 题型突围 题型一 最值+解含参不等式 例1．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（2）由（1）可得，利用二阶导数讨论可知在上单调递减，且，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，，， 求导得. 当，由，解得或；由，解得. 当时，恒成立. 当时，由，解得或；由，解得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，的在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以. 令，，得. 令，，得， 所以在单调递减，得， 所以.所以在上单调递减. 因为且，所以， 则，所以a的取值范围为. 【相似题1】（2025·山东滨州·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析；(2)1 【分析】（2）根据的单调性求得的最小值，则将恒成立问题转化为，构造函数，利用导数研究其值域得，进而得，即可得解. 【详解】（1）由题意的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递减， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的最小值为，所以恒成立， 整理得，令， 则， 由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又，所以，所以. 【相似题2】（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)和；(2) 【分析】（2）分，，三种情况讨论在上的单调性，借助导数及单调性分别求出在上的最小值，令，即可求出实数a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为． 当时，， ， 令，解得或， 所以的单调递增区间为和； （2），， 令，解得或， 当时， 当时，，在单调递增； 因为对恒成立，所以， 即，移项可得， 因为，所以满足条件； 当时， 当时，，在单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以当时，取到最小值，即， 因为对恒成立，所以， 即， 令，所以， 令，所以， 因为，所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减， 又因为，且，所以． 综上，实数a的取值范围为． 【相似题3】（2025·黑龙江大庆·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析；(2)１ 【详解】（1）首先，确定函数的定义域为. 然后，对求导，可得. 接下来，分情况讨论的正负： 当时，对于，，，所以. 这表明在上单调递减. 当时，令，即，则，解得. 当时，，，所以，单调递减. 当时，，，所以，单调递增.    综上所得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值. . 因为，所以，即. 对不等式进行化简：，即. 令，，对求导，可得. 令，即，因为，所以，则，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得最大值. 因为，且，所以，此时. 【相似题4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2)． 【分析】（2）首项将问题转化为即存在，使得成立，即存在，使得成立．再设，求其最大值，即可得到答案. 【详解】（1）因为，的定义域为， 所以． 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即． 所以当时，，单调递增， 当时，若，则，单调递减，若，则，单调递增． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以． 存在，使得恒成立， 即存在，使得成立， 即存在，使得成立． 设，则． 易知，显然在上单调递减，且， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以． 所以，即的取值范围为． 题型二 端点处成立+分类讨论 例1．（2025·浙江·三模）已知函数． (1)当时，求函数的极值点个数； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)有1个极小值点，无极大值点；(2). 【详解】（1）由的定义域为，当时，， 当时，，，又， 所以，故在上单调递减，无极值； 当时，令，则，因为，， 所以，故（即）在上单调递增， 又，，所以存在唯一的使， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 综上，当时，有1个极小值点，无极大值点． （2）由题，， 令，则， 所以（即）在上单调递增，故， 当时，，此时在上单调递增，故，符合题意； 当时，， 又 ， 因为在上单调递增，所以存在，使得， 当时，，在上单调递减，此时，不合题意， 综上，实数a的取值范围为． 【相似题1】（2025·山西太原·一模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求的值． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）令，， 求导得，由当时，恒成立， 得，恒成立，而，因此是函数的最小值， 又在可导，则1是的极小值点，，解得， 当时，，， 令，，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 【相似题2】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若当时，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（2）令，求导，分，两种情况判断是否恒成立，可得结论. 【详解】（1）因为，所以切点为， 又，所以， 所以， 所以由点斜式方程得切线方程为，即； （2）当 时，恒有 ，即对恒成立， 令，， 求导得， 因为，所以在上单调递减，且， 所以在上单调递增，所以， 当时，，函数单调递增，所以， 即，所以； 当时，，又时，， 所以存在，使，当，， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以对不恒成立， 综上所述：当时，恒有，实数的取值范围为． 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数.关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】求出函数及导数，利用不等式放缩确定单调性即得；当时构造，利用导数探讨不恒成立即可. 【详解】不等式， 求导得，令， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， 则， 当时，，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，，令， 求导得，令， 求导得，当时，， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，，此时，使得， 当时，，则在上单调递减，，不符题意， 所以. 【相似题4】（2025·山东·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的单调区间； (2)关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间；(2). 【分析】（2）先化简不等式，构造函数求其导函数，利用分类讨论的思想结合常用的切线放缩判定得；再构造多次求导判定其最小值，结合隐零点验证不满足题意即可. 【详解】（1）易知函数的定义域为， ， 令，易知， 显然时，，即此时单调递增， 时，，此时单调递减，所以， 所以时，，所以函数在上单调递增， 递增区间为，无单调递减区间； （2）易知， 则， 令 再令，则， 易知时，单调递增，时，单调递减， 则，即，在时取得等号， 则， ①若，显然，即在定义域上单调递增， 即，符合题意； ②若，易知， 令， 令， 因为，显然， 则在上单调递增，， 则在上单调递增，，则此时，使得， 即上，则在此区间单调递减，，不符题意， 综上所述. 【相似题5】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数． (1)当，求在区间上的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（2）利用这个隐含条件，从而来分析导函数在左右两边的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，所以有， 当时，，即在区间上单调递增； 当时，，即在区间上单调递减； 当时，，即在区间上单调递减； 当时，，即在区间上单调递增； 综上，在区间上的单调递增区间是和，单调递减区间是和； （2）由求导得：， 因为，所以要证明， 而当时，， 此时，，则在区间上单调递减， 且，，则在区间上单调递增， 此时有，不满足题意，故舍去， 当时，， 此时，，则在区间上单调递增， 且，，则在区间上单调递减， 此时有，满足题意，故， 当时，，在区间上必存在两个根 所以当，，则在区间上单调递减， 且，，则在区间上单调递增， 所以在区间上恒有，不满足题意，故舍去， 综上可得：实数的取值范围是 题型三 构造函数法 命题点1 “左减右”构造函数 例1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（为自然对数的底数）.若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】构造差函数，利用二阶导数，分和讨论即可得解. 【详解】当时，恒成立，即在上恒成立， 设，则， 令，则. ①当时，因为，则， 可知在上单调递减，则， 所以在上单调递减， 所以，即恒成立，所以满足题意； ②当时，令，解得：， 当时，，则单调递增， 此时，则在上单调递增，所以， 即当时，，即不恒成立，可知不合题意. 综上所述，. 【相似题1】（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知函数 (1)若，求证：； (2)当时，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（2）构造函数，则在上恒成立，借助导数，分、及讨论其单调性即可得解. 【详解】（1），， 则， 令，则，由，故舍去，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，则， 故在上单调递减，故， 即当时，， 故 ； （2）， 令， 则， 当时，，则在上恒成立， 故在上单调递减，则，符合要求； 当时，，则在上恒成立， 故在上单调递增，则，不符合要求； 当时，令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 由，故不符题意； 综上所述：. 【相似题2】（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）转化为存在，使成立，令，利用导数求出的最大值可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案． 【详解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 【相似题3】（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（2）构造函数，再根据导函数得出函数单调性分和两种情况求解即可. 【详解】（1）的定义域是. 若，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减. 若，令，得或， 令，得或， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）即， 则对任意的恒成立. 设， 则， 令，则. 当时，，所以在上单调递增， 又，且， 若，则，必存在，当时，在上单调递减，此时，不符合题意. 若，则在上恒成立，在上单调递增，此时，符合题意. 即的取值范围是. 【相似题4】（24-25高三下·云南·期中）已知函数 (1)求曲线过点的切线方程； (2)若 （i） 当 时，求的极值; （ii） 若恒成立，求实数. 【答案】(1)；(2)（i）极小值为，无极大值；（ii） 【分析】（2）（i）求导，确定函数单调性即可求解；（ii）令，问题转换成，，通过和讨论函数单调性，求最值即可求解. 【详解】（1）设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即. （2）（i）当时，． 的定义域为，且； 令得，或（舍去）； 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 故函数的极小值为，无极大值． （ii）令，， 所以． 由当时，恒成立， 得，恒成立， 而，所以是函数的最小值． ①当时，，； 令，，所以当时，， 所以在上单调递减，则当时，， 故当时，， 则，； 所以，， 则在上单调递增， 则当时，，不符合题意．     ②当时，令，， 所以，则在上单调递增； 又当时，，当时，， 所以存在唯一，使得； 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 故函数，则，所以． 综上，得． 【相似题5】（2025·江西赣州·二模）已知函数，． (1)求函数，的最小值； (2)当时，，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（2）设，，多次求导，结合常见不等式及，分析的单调性，分和两种情况研究函数的最小值，即可求解. 【详解】（1）令，，则，， 由，解得或，可得当和时，，当时，，所以在单调递减，和单调递增. ，又，，， 所以函数在上的最小值为 （2）设，， 则，令，则， 令，则，所以在上单调递增， 所以，即，， 所以， 又设，，， 当时，，为减函数，当时，，为增函数， 所以，即恒成立， 所以， 所以在上单调递增，则， 当，即时，，，所以在上单调递增， 所以， 当，即时，存在，使得，即， 由于对任意的，都有，即，此时，不符题意， 综上所述，. 命题点2 变形+构造函数 例2．（2025·重庆·三模）已知函数 . (1)若 ，求曲线 在点处的切线方程； (2)若 ， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（2）将问题转化为不等式恒成立，研究单调性得出最小值大于等于0，可得实数的取值范围. 【详解】（1）当 时， ，则 ， 故切线斜率 ，又因为切点为 ， 所以曲线 在点处的切线方程为，即 . （2）不等式等价于不等式恒成立， 记，则 ，定义域为， 令 ，得 ， 当，，所以在单调递减， 当，，所以在单调递增， ，所以. 综上所述，实数 的取值范围为 . 【相似题1】（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数． (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（2）根据函数恒成立的解法，构造新函数，讨论新函数的单调性，根据单调性确定函数最大值，判断参数的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以， 所以，又， 所以函数的图象在处的切线方程为，即． （2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立． 令，所以，易知， 若，则，所以在上单调递增，所以，不符合题意； 若，方程的判别式， 当，即时，令，解得， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，不符合题意； 当，即时，则，所以在上单调递减，所以，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【相似题2】（2025·湖北武汉·二模）已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，依题意，解得； （2）因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 【相似题3】（2025·江西·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（2）方法一：化简不等式构造新函数，对进行求导，讨论和情况下函数的单调性，确定最大值，令其小于等于0，即可求出满足时的解集. 方法二：化简不等式构造一个新函数，对进行求导，确定的解，即为该函数的极大值点，从而求出的值，证明成立即可. 【详解】（1）若，则，. 故曲线在点处的切线方程为. （2）（解法一）因为函数的定义域为， 所以等价于. 设函数，则. 当时，在上为增函数. 因为，所以在上恒成立，不符合题意. 当时，函数是减函数. 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 所以. 因为，所以. 设函数，则. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以， 所以有唯一解，即. 故的取值范围是. （解法二）因为的定义域为. 所以等价于. 设函数，则. 因为，所以. 因为，所以，解得. 下面证明时，. 当时，，. 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 所以，故，得证，故的取值范围是. 【相似题4】（2025·安徽合肥·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若关于x的不等式恒成立，求m的取值构成的集合． 【答案】(1)；(2) 【分析】（2）根据题意，把不等式转化为恒成立，令，求得，由，得到所以是的最大值点，得到，求得，经检验满足题意，即可求解. 【详解】（1）解：当时，函数，可得， 则且，所以切线的斜率为，切点为，           故所求切线方程为，即. （2）解：由函数，可得其定义域为， 不等式恒成立，等价于恒成立， 令，可得，其中， 因为在区间上恒成立， 所以是的最大值点，也是极大值点，则， 可得，解得， 当时，可得，令，则， 所以在上单调递减， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以，满足条件，所以 综上所述，实数m的取值构成的集合为． 命题点3 换元+构造函数 例3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若函数恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】不等式等价于，构造函数，利用导数研究的单调性，进而可得的范围，再利用导数研究即可得到实数a的取值范围. 【详解】恒成立，即， 等价于，恒成立， 令， 因为恒成立，所以在上单调递增， 所以，即， 所以恒成立，等价于恒成立， 令， ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，，不满足题意； ③当时，因为， 令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 要使得恒成立，只需，解得， 综上，实数的取值范围为. 【相似题1】（2025·北京·模拟预测）已知函数，，. (1)求函数的极值； (2)若恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)极大值为-1，无极小值；(2) 【分析】（2）根据题意，转化为，然后构造函数，根据的单调性且分离参数得，令利用导数求出最值即可； 【详解】（1）由题意得函数， 得的定义域为， 所以， 令，得，所以函数在单调递增； 令，解得，所以函数在单调递减； 所以函数在处取得极大值，且极大值为，无极小值. （2）由， 即在恒成立，且， 所以， 即， 令， 则， 所以， 且，因为，所以， 所以在单调递增， 所以， 令， 则， 令，解得，则在单调递增， 令，解得，则在单调递减， 所以在处取得最大值， 所以实数的取值范围为， 故实数的最小值为. 题型四 分离参数法 例1．（全分离+最值）（2025高三·全国·专题练习）设函数，若对于任意的都有成立，求实数的值. 【答案】4 【详解】当时，， 当时，转化为， 设，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因此，从而， 当时，可化为. 设，则， 所以在区间上单调递增， 因此，从而. 综上，. 例2．（全分离+换元）（2025·四川成都·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（2）先化简，再构造，令，根据函数单调性得出最值即可求参. 【详解】（1）， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以， 所以，所以，所以， 令， ， 所以在上单调递增，即， 令，， 令，得，所以在上，单调递减， 在上，单调递增，所以， 所以. 例3．（全分离+放缩）（2025·河南鹤壁·二模）已知函数. (1)当时，证明:. (2)若对于定义域内的任意恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（2）由（1）的结论，得到，两边除以x，即可求得的最小值，即可求得结果. 【详解】（1）证明：当时，， 所以证明即证明， 设, 则， 所以当时，在区间单调递增； 当时，在区间单调递减， 所以在处取到最大值，即，所以，得证. （2）由恒成立，得在上恒成立； 由(1)可以得到，所以； 所以，所以，当且仅当时取等号， 于是t的取值范围是 例4．（全分离+洛必达法则）（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在恒成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】按照和分类讨论，当时，求得；当时，参变分离，令，多次求导判断在上单调递减，利用洛必达法则求得，进而，当时，利用三角函数的有界性放缩得，即可得解. 【详解】（1）当时，原不等式化为恒成立，可知． （2）当时，则，令， 则． 令，则． 当时，，则，所以在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减． 因为，所以，所以． 当时，， 所以．综上所述，． 例5．（半分离）（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)证明：在其定义域内为减函数； (3)若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）令，利用导数与函数的单调性间的关系，求出的单调区间，进可求得的最小值，即可求解； （2）对求导，得到，利用（1）中结果可得恒成立，即可求解； （3）根据条件得到，令，利用导数求出的单调区间，进而求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）令，则， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，故. （2）因为，易知，则， 令，由（1）知， 则在区间上恒成立，又， 所以恒成立，故在其定义域内为减函数. （3）易知，由，得到，即， 令，则 ， 由（1）知，当且仅当时取等号， 所以当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，故，得到， 所以实数的取值范围为. 【相似题1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，，则 所以，又， 则所求切线方程为． （2），其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为，所以． 【相似题2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为0，求； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（2）由恒成立，得，令，利用导数研究单调性求最小值即可求解. 【详解】（1）因为， 当时，，所以函数无极值， 当时，，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 令，所以， 由有，有， 所以在单调递增，在单调递减，且， 所以. （2）因为不等式恒成立，即，得， 即. 令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以，则， 所以的取值范围为. 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知（），若关于x的恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】先将原不等式变形为即恒成立，接着构造函数，利用导数求出该函数的最大值即可得解. 【详解】关于x的即恒成立， 所以恒成立且， 令，则， 所以当时,，当时,， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以即的值域为 所以，所以实数a的取值范围为. 【相似题4】（2025·湖北武汉·三模）已知函数， (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是；(2) 【分析】（2）可通过分离参数，构造新函数，利用导数研究新函数的最值来求解. 【详解】（1）已知，当时，，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，所以，则在上单调递减. 当时，，所以，则在上单调递增. 综上所得，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）当时，，即，移项可得. 当时，，此时可以取任意实数. 当时，可化为， 令，对求导，可得. 令，即，因为，，所以，解得. 当时，，所以，在上单调递减. 当时，，所以，在上单调递增. 则在处取得极小值，也是最小值，. 所以，解得. 实数的取值范围是. 【相似题5】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（2）求导得，设，得函数在上单调递增，利用零点存在定理，得到存在，满足，推得的单调性，即得 ，从而证得结论； （3）由转化为，设，求得，再设，判断其单调性得到，即得参数的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 当时，，即函数在上为增函数； 当时，由，解得， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上为增函数； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）因函数的定义域为，， 令，则， 即函数在上单调递增，当时，，且， 故存在，使，则得. 当时，，即，故函数在上单调递减； 当时，，即，故函数在上单调递增. 故， 因，故得，即，故. （3）由可得，即， 设，则，故函数在上单调递增，则. 再设，则， 当时，，故函数在上单调递减； 当时，，故函数在上单调递增， 故，故得，即的取值范围是. 【相似题6】（2025·山东济宁·二模）已知函数，. (1)讨论零点的个数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（2）首先分析得时成立，再分离参数得，对恒成立，利用导数研究右边的最值即可. 【详解】（1）时，， 令，则， 所以，时，在上单调递减， 时，在 上单调递增， 又时，时，，时，， 时，， 所以，①当时，无零点， ②或时，有1个零点， ③当时，有2个零点. （2）当时，由得， 所以，等价于对恒成立． 即对恒成立， 令，则， 当，当， 在内单调递减，在内单调递增， ，又 对恒成立 所以，时成立， 当时，，显然成立． 当时， 等价于或， 即或 对于，取，得，与矛盾，故不成立， 对于，即，对恒成立， 令，则， 在内单调递减， ，所以，， 综上，实数的取值范围是. 题型五 必要性探路 例1．（2025高三·全国·专题练习）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】首先对函数求导，然后根据定义域讨论的不同范围下函数的单调性，并求出最小值使其大于等于0，方能保证不等式恒成立. 【详解】由，估算． 当时，，舍去． 当时，单调递增， 令，得． 若，即， 则当时，，单调递增，； 若，即，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 得，解得. 所以． 【相似题1】（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求a的值． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（2）由给定不等式构造函数，得该函数在处取得最小值，结合极值的意义求出，再验证得解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）令， 由于恒成立，且，同时在上连续， 所以是的一个极大值点. 因为，所以即， 下面证明时，在上恒成立， 由（1）知，时，在上单调递增，在上单调递减； 所以，又， 故恒成立，即恒成立. 所以. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】设，只需在时恒成立即可求解． 【详解】设，只需在时恒成立即可， 又，且，所以，即. 下面证明的充分性： 当时，由， 令，所以， 记，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，所以恒成立. 综上所述，实数的取值范围是. 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】设， 只需在时恒成立即可， 又，且， 所以要使当时，， 必须满足，即. 下面证明时满足题意： ①当时，由，， 令， 求导得，令， 求导得，所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，，即； ②当时，， 令，，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，， 所以当时，不恒成立. 综上所述，实数的取值范围是. 【相似题4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.若恒成立，求的值. 【答案】 【分析】通过构造函数，利用函数的极值点性质求出的值，再证明其充分性即可. 【详解】，，即， 设，定义域为， 恒成立， 对所有的恒成立， 观察到，且的图象在定义域内是连续不间断的， 是的一个极大值点，根据极值点必要条件得， 又，，解得 下证充分性：当时，对任意的恒成立，即， 变形得，由余弦函数的性质得 令，则， 由，在单调递增； ，在单调递减； 又，即， 当时，恒成立， 综上所述，当恒成立时，. 【相似题5】（2025高三·全国·专题练习）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数.若对，有，求的取值范围. 【答案】 【分析】即对都成立，由恒成立必要条件可得，通过导数证明满足题意即可完成证明. 【详解】若对，有，转化为， 即对都成立； 设，， 因为，所以要使， 必须满足，即，所以； 下面证明时满足题意： 因为，，所以， 只需要证明即可， 设， 所以，且，， 先研究当时，设，， 因为函数、在上均为单调递减， 则在内单调递减， 又因为，， 所以，使得， 且当时，；当时，， 此时在内单调递增，在内单调递减， 又，，故对任意的，， 则在内单调递增，所以， 综上，当时，，即得，所以得证， 故所求为. 题型六 同构法 例1．（2025·河北·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，则实数的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（2）利用同构得，构造函数，利用导数讨论其单调性后可得即，再结合导数可求最小值. 【详解】（1）时，，， 得，所以， 得在点处的切线方程为. （2）由题意对恒成立.得， 所以，即， 构造函数，，在上恒成立， ， 令，解得：，令，解得：， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，则，而与1的大小不定， 但本题求实数最小值，只需考虑为负数的情况存在与否， 故此时.又因为在区间单调递减， 故在上恒成立，两边取对数得：，， 即在上恒成立， ，则， 令得，令得：， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，即，故的最小值是. 【相似题1】（2025·江西·三模）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（2）利用同构函数思想，把指对函数同构为，使得原不等式变为，然后再利用分离参变量，再利用求导来研究函数的最值，问题即可求解. 【详解】（1）由，可知定义域为，则． 当时，恒成立，所以在上是减函数，则无极值点． 当时，，则， 所以在上单调递增． 当，即时，， 当，即时，， 所以存在唯一的实数，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以是函数的极小值点，无极大值点． 综上所述，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1． （2）由得，故．① 设函数，由，可知在R上单调递增． 由于①式可化为，即有， 所以对恒成立． 设函数，则，令，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取得极大值也是最大值， 即最大值为．故． 【相似题2】（2025·北京·模拟预测）已知函数，，. (1)求函数的极值； (2)若恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)极大值为-1，无极小值；(2) 【分析】（2）根据题意，转化为，然后构造函数，根据的单调性且分离参数得，令利用导数求出最值即可； 【详解】（1）由题意得函数， 得的定义域为， 所以， 令，得，所以函数在单调递增； 令，解得，所以函数在单调递减； 所以函数在处取得极大值，且极大值为，无极小值. （2）由， 即在恒成立，且， 所以， 即， 令， 则， 所以， 且，因为，所以， 所以在单调递增， 所以， 令， 则， 令，解得，则在单调递增， 令，解得，则在单调递减， 所以在处取得最大值， 所以实数的取值范围为， 故实数的最小值为. 题型七 双变量不等式恒成立问题 例1．（双变量之构造函数）（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，. (1)讨论函数的极值点情况； (2)设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，则或， 因为，所以，当，即时，， 所以在单调递增，无极值点， 当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以是极大值点，是极小值点， 当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以是极大值点，是极小值点， 综上，当时，无极值点， 当时，是极大值点，是极小值点， 当时，是极大值点，是极小值点， （2）当时，， 不妨设，则恒成立，等价于恒成立， 令，，则在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 由均值不等式（当且仅当时取等号）， 所以，则，故实数的取值范围是. 例2．（双变量之换单变量）（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有两个极值点，满足. (1)求的取值范围； (2)判断并证明函数的对称性； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)有对称中心，无对称轴，证明见解析；(3) 【分析】（1）由条件转化为函数在区间上有2个变号零点，且满足，转化为与的图象的交点问题，即可求解； （2）首先并计算，并结合函数对称性的关系式，即可判断； （3）法一：首先根据对称性可知，再找到不等式恒成立的必要条件，再证明充分性；法二：利用对称性，根据不等式恒成立，参变分离为，再构造函数，再根据导数求函数的最大值，即可求解. 【详解】（1）由题意知： 有两个变号零点； 令，在上递减，上递增； ， 又，得，即； （2），则对称性有关的横坐标：，且， 又， 有， 故有对称中心，无对称轴； （3）法一： 有， 故有； 当时，，故. 下证充分性： 有. 令， 则， 令，有， 故在上递减，又， 故存在，使得，故在上递增，在上递减. 又，故恒成立， 若，有， 由，故存在，使得，故不合题意. 综上，若恒成立，则实数. 法二： 有， 故有， 参变分离得， 令，有， 其中，令， 有在上成立，故在上递增， 又，故， 令， 有， 在上，且单调递减，且单调递增， 故在上单调递增，又，故， 故在上单调递减，又， 故存在使得. 故在上递减，在上递增， 又，故. 例3．（双变量之最值比较）（2025·湖南·三模）已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（3）首先求得，从而问题可以转换为存在，使得，故只需，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 例4．（双变量之“比值代换”）（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数． (1)若，求函数的最大值； (2)若函数有两个不同的零点m，n． （ⅰ）求实数k的取值范围； （ⅱ）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)-1；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（2）（ⅰ）求导，分和讨论单调性，结合有两个不同的零点，可得，继而可求解； （ii）由题意可得，令，即，成立，令，利用导数分、及讨论单调性即可求解. 【详解】（1），, 由得，由得, 所以在上单调递增，在上单调递减，则． （2）（ⅰ）令，则． 当时，，单调递增， 所以在上至多有一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递减， 令，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，则， 易知当且趋向于0时，；当时，， 因为有两个不同的零点， 所以，解得． 所以的取值范围是. （ii），， 由得， 即， 令，则只需， 即，． 令， 则，令，则． 因为， 当时，，则单调递减，， 从而单调递增，故，不符合要求；    当时，在单调递减，， 从而单调递增，故，不符合要求． 当时，，则单调递增，， 从而单调递减，故，符合要求． 综上所述． 【相似题1】（24-25高三上·云南临沧·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数在上的最小值和最大值； (2)是否存在实数，对任意的，且，都有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)最小值为，最大值；(2)存在，. 【分析】（2）假设存在实数，由可得函数在上单调递增，利用导函数表示函数的单调性，结合分离参数法可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，. 则. ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增. ∴当时，取得最小值，其最小值为. 又， ∴，∴. （2）假设存在实数满足条件，不妨设， 由，知成立， 令， 则函数在上单调递增， 则，即在上恒成立， 则即， 故存在这样的实数满足题意，其取值范围是. 【相似题2】（2025·广西·三模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；(2) 【分析】 （2）设，分析可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：函数定义域为，. 当时，由得，由得. 此时函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为. （2）由，化简为， 即. 令， 因为，则，所以函数在上单调递增， 故在上恒成立，即在上恒成立， 设，，在单调递增， 所以. 综上所述，实数的取值范围为. 【相似题3】（2025·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意和任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（2）由（1）可得的最小值，令，求出的最大值后可得参数的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，， 若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 若，当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增． 综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增． （2）令，易知，由题意知，， 由（1）知， 又，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 【相似题4】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数，，． (1)求曲线过点的切线方程； (2)求函数的最大值； (3)若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）设：切点坐标为，，对函数求导得：， 所以切线斜率为：．又因为切线过点， 所以．解得， 所以切线方程为：． （2）令， 对函数求导得：， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处取得最大值，最大值为. （3）由题设得：存在，使得对任意， 都有成立，等价于， 对函数求导得：， ①当时，令,则， 所以函数在区间上单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得最大值，最大值为， 所以，符合题意．           ②时，令，即，解得：， 当，即时，函数在上单调递增，此时函数无最大值，不符合题意；   ③当，即时，函数在上单调递增， 在上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意；         ④当，即时，函数在上单调递增． 在上单调递减．此时函数无最大值，不符合题意；     ⑤当，即时．函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得最大值，最大值为， 所以，即．        综上所述，实数的取值范围是：． 【相似题5】（2025·江苏盐城·三模）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）因为，所以， 所以所求切线的斜率为，又， 所以切线方程为，即； （2），则函数定义域为， 所以，所以当时，有恒成立，在单调递减， 当时，由解得：，在上单调递减； 由解得：，在上单调递增； 综上，时，在单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，则 所以在上单调递减，所以， 则有，即， 设，，则， 所以在定义域内为减函数，又， 所以，所以，即的取值范围是. 【相似题6】（2025·江苏南京·二模）已知函数,. (1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； (2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1个；(2) 【分析】（2）利用函数在区间内的最大值与最小值之差，考虑极值点和端点，列不等式，解出的取值范围. 【详解】（1）当时，，其定义域为. 因为，所以. 所以曲线在处的切线方程为，即. 联立方程可得，. 设，，求导得. 所以在上单调递增. 又，所以有且仅有一个零点，所以直线与曲线的公共点个数为1. （2）对函数求导得，令，可得. 分情况讨论，①当时，即，此时在区间上单调递增， 则，解得. 又，所以. ②当时，即，在上单调递减，在上单调递增. 所以最小值为，，， 当最大时，即，解得. 此时，，而恒成立. 所以，满足题意. 当最大时，即，解得. 此时，即. 设，，， 所以在上递减，故，所以，满足题意. 综上，. ③当时，即，在区间上单调递减， 此时. 若其成立，则，与条件相矛盾，所以该情况下不等式不能恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. 真题呈现 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 2．（2024年全国甲卷高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值.；(2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 3．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1)；(2)2；(3)证明过程见解析 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 4．（2023年全国甲卷（理）高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 5．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)的减区间为，增区间为；(2)；(3)见解析 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 6．（2022年全国甲卷（理）高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 【答案】(1)；(2)证明见的解析 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【详解】（1）[方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 （2）[方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破02 利用导数研究恒（能）成立问题 目录： 01 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布）………………………1 02 知识梳理 二级结论 ……………………………………………………………1 03 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………3 题型一 最值+解含参不等式………………………………………………………3 题型二 端点处成立+分类讨论……………………………………………………4 题型三 构造函数法 ………………………………………………………………5 命题点1 “左减右”构造函数 ………………………………………………………5 命题点2 变形+构造函数 ……………………………………………………………6 命题点3 换元+构造函数 ……………………………………………………………6 题型四 分离参数法 ………………………………………………………………7 题型五 必要性探路 ………………………………………………………………8 题型六 同构法 ……………………………………………………………………9 题型七 双变量问题 ………………………………………………………………9 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………11 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2024年全国Ⅰ卷 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 利用导数研究不等式恒（能）成立问题是高考常考考点，经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大. 2024年全国甲卷（理） 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 2024年天津卷 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 2023年全国甲卷（理） 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 2022年全国Ⅱ卷 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 2022年全国甲卷（理） 利用导数研究不等式恒成立（解答题） 知识梳理 二级结论 1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 4、洛必达法则1：若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 法则2：若函数和满足下列条件：（1）及； （2），和在与上可导，且； （3）， 那么=． 法则3：若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理，，，，，，型． （3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． ，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 题型突围 题型一 最值+解含参不等式 例1．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 【相似题1】（2025·山东滨州·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求实数的值． 【相似题2】（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 【相似题3】（2025·黑龙江大庆·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数的值. 【相似题4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得恒成立，求的取值范围． 题型二 端点处成立+分类讨论 例1．（2025·浙江·三模）已知函数． (1)当时，求函数的极值点个数； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围． 【相似题1】（2025·山西太原·一模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求的值． 【相似题2】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若当时，恒有，求实数的取值范围． 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数.关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【相似题4】（2025·山东·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的单调区间； (2)关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【相似题5】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数． (1)当，求在区间上的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 题型三 构造函数法 命题点1 “左减右”构造函数 例1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（为自然对数的底数）.若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【相似题1】（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知函数 (1)若，求证：； (2)当时，不等式恒成立，求m的取值范围． 【相似题2】（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【相似题3】（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【相似题4】（24-25高三下·云南·期中）已知函数 (1)求曲线过点的切线方程； (2)若 （i） 当 时，求的极值; （ii） 若恒成立，求实数. 【相似题5】（2025·江西赣州·二模）已知函数，． (1)求函数，的最小值； (2)当时，，求a的取值范围． 命题点2 变形+构造函数 例2．（2025·重庆·三模）已知函数 . (1)若 ，求曲线 在点处的切线方程； (2)若 ， 恒成立，求 的取值范围. 【相似题1】（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数． (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 【相似题2】（2025·湖北武汉·二模）已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 【相似题3】（2025·江西·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. 【相似题4】（2025·安徽合肥·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若关于x的不等式恒成立，求m的取值构成的集合． 命题点3 换元+构造函数 例3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若函数恒成立，求实数a的取值范围． 【相似题1】（2025·北京·模拟预测）已知函数，，. (1)求函数的极值； (2)若恒成立，求实数的最小值. 题型四 分离参数法 例1．（全分离+最值）（2025高三·全国·专题练习）设函数，若对于任意的都有成立，求实数的值. 例2．（全分离+换元）（2025·四川成都·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 例3．（全分离+放缩）（2025·河南鹤壁·二模）已知函数. (1)当时，证明:. (2)若对于定义域内的任意恒成立，求t的取值范围. 例4．（全分离+洛必达法则）（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在恒成立，求的取值范围． 例5．（半分离）（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)证明：在其定义域内为减函数； (3)若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围． 【相似题1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【相似题2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为0，求； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知（），若关于x的恒成立，求实数a的取值范围． 【相似题4】（2025·湖北武汉·三模）已知函数， (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围． 【相似题5】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 【相似题6】（2025·山东济宁·二模）已知函数，. (1)讨论零点的个数； (2)若，求实数的取值范围. 题型五 必要性探路 例1．（2025高三·全国·专题练习）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【相似题1】（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求a的值． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.当时，恒成立，求实数的取值范围. 【相似题4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.若恒成立，求的值. 【相似题5】（2025高三·全国·专题练习）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数.若对，有，求的取值范围. 题型六 同构法 例1．（2025·河北·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，则实数的最小值. 【相似题1】（2025·江西·三模）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【相似题2】（2025·北京·模拟预测）已知函数，，. (1)求函数的极值； (2)若恒成立，求实数的最小值. 题型七 双变量不等式恒成立问题 例1．（双变量之构造函数）（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，. (1)讨论函数的极值点情况； (2)设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围. 例2．（双变量之换单变量）（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有两个极值点，满足. (1)求的取值范围； (2)判断并证明函数的对称性； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 例3．（双变量之最值比较）（2025·湖南·三模）已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 例4．（双变量之“比值代换”）（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数． (1)若，求函数的最大值； (2)若函数有两个不同的零点m，n． （ⅰ）求实数k的取值范围； （ⅱ）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【相似题1】（24-25高三上·云南临沧·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数在上的最小值和最大值； (2)是否存在实数，对任意的，且，都有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【相似题2】（2025·广西·三模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 【相似题3】（2025·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意和任意，都有，求实数的取值范围． 【相似题4】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数，，． (1)求曲线过点的切线方程； (2)求函数的最大值； (3)若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【相似题5】（2025·江苏盐城·三模）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 【相似题6】（2025·江苏南京·二模）已知函数,. (1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； (2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 真题呈现 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 2．（2024年全国甲卷高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 3．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 4．（2023年全国甲卷（理）高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 5．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 6．（2022年全国甲卷（理）高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 学科网（北京）股份有限公司 $$